Indukovaná metrika - Induced metric - Wikipedia

tento článek vyžaduje pozornost odborníka na fyziku. Přidejte prosím důvod nebo a mluvit parametr k této šabloně pro vysvětlení problému s článkem. Fyzika WikiProject může pomoci s náborem odborníka. (Říjen 2019)

v matematika a teoretická fyzika, indukovaná metrika je metrický tenzor definované na a podmanifold který se počítá z metrického tenzoru na větším potrubí do kterého je vložené podrozdělovač, skrz vyvolání zpětného rázu. Lze jej vypočítat pomocí následujícího vzorce (napsaného pomocí Konvence Einsteinova součtu ), což je komponentní forma operace odvolání:^[1]

${ displaystyle g_ {ab} = částečné _ {a} X ^ { mu} částečné _ {b} X ^ { nu} g _ { mu nu} }$

Tady ${ displaystyle a, b }$ popište indexy souřadnic ${ displaystyle xi ^ {a} }$ dílčího potrubí, zatímco funkce ${ displaystyle X ^ { mu} ( xi ^ {a}) }$ zakódovat vložení do vícerozměrného potrubí, jehož tečné indexy jsou označeny ${ displaystyle mu, nu }$.

Příklad - Křivka na torusu

Nechat

${ displaystyle Pi colon { mathcal {C}} to mathbb {R} ^ {3}, tau mapsto { begin {případy} { begin {zarovnáno} x ^ {1} & = (a + b cos (n cdot tau)) cos (m cdot tau) x ^ {2} & = (a + b cos (n cdot tau)) sin (m cdot tau) x ^ {3} & = b sin (n cdot tau). end {zarovnáno}} end {případy}}}$

být mapou z domény křivky ${ displaystyle { mathcal {C}}}$ s parametrem ${ displaystyle tau}$ do euklidovského potrubí ${ displaystyle mathbb {R} ^ {3}}$. Tady ${ displaystyle a, b, m, n in mathbb {R}}$ jsou konstanty.

Pak je uvedena metrika ${ displaystyle mathbb {R} ^ {3}}$ tak jako

${ displaystyle g = sum limity _ { mu, nu} g _ { mu nu} mathrm {d} x ^ { mu} otimes mathrm {d} x ^ { nu} quad { text {with}} quad g _ { mu nu} = { begin {pmatrix} 1 & 0 & 0 0 & 1 & 0 0 & 0 & 1 end {pmatrix}}}$.

a počítáme

${ displaystyle g _ { tau tau} = součet limity _ { mu, nu} { frac { částečné x ^ { mu}} { částečné tau}} { frac { částečné x ^ { nu}} { částečné tau}} podprsenka {g _ { mu nu}} _ { delta _ { mu nu}} = sum limity _ { mu} vlevo ({ frac { částečné x ^ { mu}} { částečné tau}} pravé) ^ {2} = m ^ {2} a ^ {2} + 2m ^ {2} ab cos (n cdot tau) + m ^ {2} b ^ {2} cos ^ {2} (n cdot tau) + b ^ {2} n ^ {2}}$

Proto ${ displaystyle g _ { mathcal {C}} = (m ^ {2} a ^ {2} + 2m ^ {2} ab cos (n cdot tau) + m ^ {2} b ^ {2} cos ^ {2} (n cdot tau) + b ^ {2} n ^ {2}) mathrm {d} tau otimes mathrm {d} tau}$

Viz také

• První základní forma

Reference