B - přípustné zastoupení - B-admissible representation

v matematika, formalismus B-přípustná prohlášení poskytuje stavby úplný Tannakian podkategorií kategorie reprezentace a skupina G na konečně-dimenzionální vektorové prostory nad daným pole E. V této teorii B je vybrán jako tzv (E, G) - pravidelný prsten, tj E-algebra s E-lineární akce z G splňující určité podmínky uvedené níže. Tato teorie je nejvíce prominentně používána v str-adická Hodgeova teorie definovat důležité podkategorie str-adické Galoisovy reprezentace z absolutní skupina Galois z místní a globální pole.

(E, G) -kroužky a funktor D

Nechat G být skupinou a E pole. Let Rep (G) označují netriviální přísně plná podkategorie tannakovské kategorie E-lineární reprezentace G na konečných trojrozměrných vektorových prostorech E stabilní pod podobjekty, kvocientové objekty, přímé částky, tenzorové výrobky, a duální.^[1]

An (E, G)-prsten je komutativní prsten B to je E-algebra s E-lineární působení G. Nechat F = B^G být G-invariáty z B. The kovarianční funktor D_B : Rep (G) → Mod_F definován

{ displaystyle D_ {B} (V): = (B otimes _ {E} V) ^ {G}}

je E-lineární (mod_F označuje kategorii F- moduly ). Zahrnutí D_B(V) v B ⊗_EPROTI vyvolává homomorfismus

{ displaystyle alpha _ {B, V}: B otimes _ {F} D_ {B} (V) longrightarrow B otimes _ {E} V}

volal srovnávací morfismus.^[2]

Pravidelné (E, G) -kroužky a B-přípustná prohlášení

An (E, G)-prsten B je nazýván pravidelný -li

B je snížena;
pro každého PROTI v Rep (G), α_{B, V} je injekční;
každý b ∈ B pro které je linka být je G-stabilní je invertibilní v B.

Třetí podmínka znamená F je pole. Li B je pole, je automaticky regulární.

Když B je pravidelný,

{ displaystyle dim _ {F} D_ {B} (V) leq dim _ {E} V}

s rovností tehdy a jen tehdy, když α_{B, V} je izomorfismus.

Reprezentace PROTI ∈ Rep (G) je nazýván B-přípustný pokud α_{B, V} je izomorfismus. Celá podkategorie B-přípustná prohlášení, označená Rep_B(G), je Tannakian.

Li B má zvláštní strukturu, například a filtrace nebo E-lineární endomorfismus, pak D_B(PROTI) zdědí tuto strukturu a funktor D_B lze považovat za hodnoty v odpovídající kategorii.

Příklady

Nechat K. být oborem charakteristický str (prvočíslo) a K._s A oddělitelný uzávěr z K.. Li E = F_str (dále jen konečné pole s str prvky) a G = Gal (K._s/K.) (absolutní skupina Galois z K.), pak B = K._s je pravidelný (E, G)-prsten. Na K._s existuje injekční Frobeniova endomorfismus σ: K._s → K._s odesílání X na X^str. Vzhledem k zastoupení G → GL (PROTI) pro některé konečně-dimenzionální F_str-vektorový prostor PROTI, ${ displaystyle D = D_ {K_ {s}} (V)}$ je konečný trojrozměrný vektorový prostor F=(K._s)^G = K. který dědí z B = K._s injektivní funkce φ_D : D → D což je σ-semilineární (tj. φ (inzerát) = σ (A) φ (d) pro všechny ∈ K. a vše d ∈ D). The K._s-přípustná reprezentace jsou souvislá (kde G má Krullská topologie a PROTI má diskrétní topologie ). Ve skutečnosti, ${ displaystyle D_ {K_ {s}}}$ je rovnocennost kategorií mezi K._s-přijatelné reprezentace (tj. spojité) a konečné trojrozměrné vektorové prostory K. vybavené injektivem σ-semilineární φ.

Potenciálně B-přípustná prohlášení

A potenciálně B-přípustné zastoupení zachycuje myšlenku reprezentace, která se stane B-přípustné, když omezený některým podskupina z G.

Poznámky

^ Lze samozřejmě vzít celou kategorii reprezentací, ale tato obecnost umožňuje, například pokud G a E mít topologie, pouze zvážit kontinuální reprezentace.
^ A protikladný Lze také definovat formalizmus. V tomto případě je použit funktor ${ displaystyle D_ {B} ^ { ast} (V): = mathrm {Hom} _ {G} (V, B)}$ , G-invariantní lineární homomorfismy z PROTI na B.

Reference

Fontaine, Jean-Marc (1994), „Représentations str-adiques semi-stáje ", in Fontaine, Jean-Marc (vyd.), Périodes p-adiques, Astérisque, 223, Paříž: Société Mathématique de France, s. 113–184, PAN 1293969

[1] Lze samozřejmě vzít celou kategorii reprezentací, ale tato obecnost umožňuje, například pokud G a E mít topologie, pouze zvážit kontinuální reprezentace.

[2] A protikladný Lze také definovat formalizmus. V tomto případě je použit funktor ${ displaystyle D_ {B} ^ { ast} (V): = mathrm {Hom} _ {G} (V, B)}$ , G-invariantní lineární homomorfismy z PROTI na B.

[1]

[2]