Průměrná Lagrangeova - Averaged Lagrangian - Wikipedia

Vysoká nadmořská výška vlnový mrak vznikl nad oblastí Hampton v Burra, Jižní Austrálie dne 16. ledna 2007.

v mechanika kontinua, Whitham zprůměrován Lagrangeově metoda - nebo ve zkratce Whithamova metoda - se používá ke studiu Lagrangeova dynamika z pomalu se měnící vlnové vlaky v nehomogenním (pohybujícím se) střední Metoda je použitelná pro obě lineární a nelineární systémy. Jako přímý důsledek průměrování použitého v metodě vlnová akce je konzervovaný majetek vlnového pohybu. Naproti tomu vlna energie není nutně zachována kvůli výměně energie se středním pohybem. Celková energie, součet energií ve vlnovém pohybu a střední pohyb, však bude po určitou dobu zachována -neměnný Lagrangian. Průměrovaný Lagrangian má dále silný vztah k disperzní vztah systému.

Metoda je způsobena Gerald Whitham, který jej vyvinul v 60. letech. Používá se například při modelování povrchové gravitační vlny na tekutinová rozhraní,^[1][2] a v fyzika plazmatu.^[3][4]

Výsledné rovnice pro čistý vlnový pohyb

V případě a Lagrangeova formulace a mechanika kontinua Pokud je k dispozici systém, lze použít průměrnou Lagrangeovu metodiku k nalezení aproximací průměrné dynamiky vlnového pohybu - a (případně) pro interakci mezi vlnovým pohybem a středním pohybem - za předpokladu, že obálka dynamika nosných vln je pomalu se měnící. Fázové průměrování Lagrangeových výsledků vede k zprůměrován Lagrangeově, který je vždy nezávislý na samotné vlnové fázi (ale závisí na pomalu se měnících vlnových veličinách, jako je vlna amplituda, frekvence a vlnové číslo ). Podle Noetherova věta, variace průměrného Lagrangeova ${ displaystyle { mathcal {L}}}$ s respektem k neměnný vlnová fáze ${ displaystyle theta ({ boldsymbol {x}}, t)}$ pak vede k a zákon o ochraně přírody:^[5]

${ displaystyle částečné _ {t} { mathcal {A}} + { boldsymbol { nabla}} cdot { boldsymbol { mathcal {B}}} = 0.}$

(1)

Tato rovnice uvádí zachování vlnová akce - zobecnění pojmu adiabatický invariant k mechanice kontinua - s^[6]

${ displaystyle { mathcal {A}} equiv - { frac { částečné { mathcal {L}}} { částečné ( částečné _ {t} theta)}} = + { frac { částečné { mathcal {L}}} { částečné omega}}}$   a   ${ displaystyle { boldsymbol { mathcal {B}}} equiv - { frac { částečný { mathcal {L}}} { částečný ({ boldsymbol { nabla}} theta)}} = - { frac { částečné { mathcal {L}}} { částečné { boldsymbol {k}}}}}$

být vlnovou akcí ${ displaystyle { mathcal {A}}}$ a vlnová akce tok ${ displaystyle { boldsymbol { mathcal {B}}}}$ resp. Dále ${ displaystyle { boldsymbol {x}}}$ a ${ displaystyle t}$ označuje prostor a čas, zatímco ${ displaystyle { boldsymbol { nabla}}}$ je operátor přechodu. The úhlová frekvence ${ displaystyle omega ({ boldsymbol {x}}, t)}$ a vlnové číslo ${ displaystyle { boldsymbol {k}} ({ boldsymbol {x}}, t)}$ jsou definovány jako^[7]

${ displaystyle omega equiv - částečné _ {t} theta}$   a   ${ displaystyle { boldsymbol {k}} equiv + { boldsymbol { nabla}} theta}$

(2)

a u obou se předpokládá, že se pomalu mění. Díky této definici ${ displaystyle omega ({ boldsymbol {x}}, t)}$ a ${ displaystyle { boldsymbol {k}} ({ boldsymbol {x}}, t)}$ musí uspokojit vztahy konzistence:

${ displaystyle částečný _ {t} { boldsymbol {k}} + { boldsymbol { nabla}} omega = { boldsymbol {0}}}$   a   ${ displaystyle { boldsymbol { nabla}} times { boldsymbol {k}} = { boldsymbol {0}}.}$

(3)

První rovnice konzistence je známá jako zachování vlnových hřebenůa druhý uvádí, že pole vlnového čísla ${ displaystyle { boldsymbol {k}} ({ boldsymbol {x}}, t)}$ je irrotační (tj. má nulu kučera ).

Metoda

Zprůměrovaný Lagrangeův přístup platí pro vlnový pohyb - možná superponovaný na střední pohyb - který lze popsat v a Lagrangeova formulace. Pomocí ansatz na tvaru vlnové části pohybu, Lagrangian je fáze průměrně. Vzhledem k tomu, že Lagrangian je spojován s Kinetická energie a potenciální energie pohybu, oscilace přispívají k Lagrangeově, i když střední hodnota oscilační odchylky vlny je nulová (nebo velmi malá).

Výsledný průměrný Lagrangian obsahuje vlnové charakteristiky jako vlnové číslo, úhlová frekvence a amplituda (nebo ekvivalentně vlna hustota energie nebo vlnová akce ). Samotná vlnová fáze ale chybí kvůli průměrování fáze. V důsledku toho prostřednictvím Noetherova věta, tady je zákon o ochraně přírody nazývá se zachování působení vln.

Původně průměrná Lagrangeova metoda byla vyvinuta Whithamem pro pomalu se měnící disperzní vlnové vlaky.^[8] Bylo provedeno několik rozšíření, např. k interakci vlnových složek,^[9][10] Hamiltoniánská mechanika,^[8][11] vyšší řád modulační efekty,^[12] rozptýlení účinky.^[13]

Variační formulace

Průměrná Lagrangeova metoda vyžaduje existenci Lagrangeovy metody popisující vlnový pohyb. Například pro a pole ${ displaystyle varphi ({ boldsymbol {x}}, t)}$, popsaný a Lagrangeova hustota ${ displaystyle L left ( částečné _ {t} varphi, { boldsymbol { nabla}} varphi, varphi right),}$ the princip stacionární činnosti je:^[14]

${ displaystyle delta left ( int , iiint , L left ( částečné _ {t} varphi ({ boldsymbol {x}}, t), { boldsymbol { nabla}} varphi ({ boldsymbol {x}}, t), varphi ({ boldsymbol {x}}, t) right) , { text {d}} { boldsymbol {x}} , { text { d}} t vpravo) = 0,}$

s ${ displaystyle { boldsymbol { nabla}}}$ the operátor přechodu a ${ displaystyle částečné _ {t}}$ the časová derivace operátor. Tento princip činnosti vede k Euler-Lagrangeova rovnice:^[14]

${ displaystyle částečné _ {t} levé ({ frac { částečné L} { částečné levé ( částečné _ {t} varphi pravé)}} pravé) + { boldsymbol { nabla} } cdot left ({ frac { částečné L} { částečné vlevo ({ boldsymbol { nabla}} varphi right)}} right) - { frac { částečné L} { částečné varphi}} = 0,}$

který je parciální diferenciální rovnice druhého řádu popisující dynamiku ${ displaystyle varphi.}$ Parciální diferenciální rovnice vyššího řádu vyžadují zahrnutí derivací vyššího než prvního řádu do Lagrangian.^[14]

Příklad

Zvažte například a bezrozměrný a nelineární Klein-Gordonova rovnice v jedné prostorové dimenzi ${ displaystyle x}$:^[15]

${ displaystyle { částečné _ {t} ^ {2} varphi} - { částečné _ {x} ^ {2} varphi} + varphi + sigma varphi ^ {3} = 0.}$

(4)

Tato Eulerova-Lagrangeova rovnice vychází z Lagrangeovy hustoty:^[15]

${ displaystyle L left ( částečné _ {t} varphi, částečné _ {x} varphi, varphi right) = { frac {1} {2}} left ( částečné _ {t} varphi right) ^ {2} - { frac {1} {2}} left ( partial _ {x} varphi right) ^ {2} - { frac {1} {2}} varphi ^ {2} - { frac {1} {4}} sigma varphi ^ {4}.}$

(5)

Aproximace s malou amplitudou pro Sine – Gordonova rovnice odpovídá hodnotě ${ displaystyle sigma = - { tfrac {1} {24}}.}$^[16] Pro ${ displaystyle sigma = 0}$ the systém je lineární a získá se klasická jednorozměrná Klein-Gordonova rovnice.

Pomalu se měnící vlny

Pomalu se měnící lineární vlny

Whitham vyvinul několik přístupů k získání průměrné Lagrangeovy metody.^[14][17] Nejjednodušší je pro pomalu se měnící lineární wavetrains, která metoda zde bude použita.^[14]

Pomalu se měnící vlkodlak - bez středního pohybu - v lineárním disperzním systému je popsán jako:^[18]

${ displaystyle varphi sim Re vlevo {A ({ boldsymbol {x}}, t) , { text {e}} ^ {i theta ({ boldsymbol {x}}, t) } right } = a ({ boldsymbol {x}}, t) , cos left ( theta ({ boldsymbol {x}}, t) + alpha right),}$   s   ${ displaystyle a = left | A right |}$   a   ${ displaystyle alpha = arg vlevo {A vpravo },}$

kde ${ displaystyle theta ({ boldsymbol {x}}, t)}$ je skutečný vlnová fáze, ${ displaystyle | A |}$ označuje absolutní hodnota z komplexní amplituda ${ displaystyle A ({ boldsymbol {x}}, t),}$ zatímco ${ displaystyle arg {A }}$ je jeho argument a ${ displaystyle Re {A }}$ označuje jeho skutečná část. Skutečná hodnota amplitudy a fázového posunu jsou označeny ${ displaystyle a}$ a ${ displaystyle alpha}$ resp.

Nyní, podle definice, úhlová frekvence ${ displaystyle omega}$ a vlnové číslo vektor ${ displaystyle { boldsymbol {k}}}$ jsou vyjádřeny jako časová derivace a spád vlnové fáze ${ displaystyle theta ({ boldsymbol {x}}, t)}$ tak jako:^[7]

${ displaystyle omega equiv - částečné _ {t} theta ,}$   a   ${ displaystyle { boldsymbol {k}} equiv + { boldsymbol { nabla}} theta. ,}$

Jako následek, ${ displaystyle omega ({ boldsymbol {x}}, t)}$ a ${ displaystyle { boldsymbol {k}} ({ boldsymbol {x}}, t)}$ musí uspokojit vztahy konzistence:

${ displaystyle částečný _ {t} { boldsymbol {k}} + { boldsymbol { nabla}} omega = { boldsymbol {0}}}$   a   ${ displaystyle { boldsymbol { nabla}} times { boldsymbol {k}} = { boldsymbol {0}}.}$

Tyto dva vztahy konzistence označují „zachování vlnových hřebenů“ a irrotationality pole vlnového čísla.

Kvůli předpokladu pomalých variací ve vlnovém sledu - stejně jako v možných nehomogenní střední a střední pohyb - veličiny ${ displaystyle A,}$ ${ displaystyle a,}$ ${ displaystyle omega,}$ ${ displaystyle { boldsymbol {k}}}$ a ${ displaystyle alpha}$ vše se v prostoru pomalu mění ${ displaystyle { boldsymbol {x}}}$ a čas ${ displaystyle t}$ - ale vlnová fáze ${ displaystyle theta}$ sám se nemění pomalu. V důsledku toho deriváty ${ displaystyle a,}$ ${ displaystyle omega,}$ ${ displaystyle { boldsymbol {k}}}$ a ${ displaystyle alpha}$ jsou zanedbávány při určování derivátů ${ displaystyle varphi ({ boldsymbol {x}}, t)}$ pro použití v průměrné Lagrangeově:^[14]

${ displaystyle částečný _ {t} varphi přibližně + omega , a , sin ( theta + alfa)}$   a   ${ displaystyle { boldsymbol { nabla}} varphi cca - { boldsymbol {k}} , a , sin ( theta + alpha).}$

Dále tyto předpoklady ${ displaystyle varphi ({ boldsymbol {x}}, t)}$ a jeho deriváty se aplikují na Lagrangeovu hustotu ${ displaystyle L left ( částečné _ {t} varphi, { boldsymbol { nabla}} varphi, varphi right).}$

Pomalu se měnící nelineární vlny

Několik přístupů k pomalu se měnícím nelineární wavetrains jsou možné. Jedním z nich je použití Stokesovy expanze,^[19] používá Whitham k analýze pomalu se měnících Stokesovy vlny.^[20] A Stokesovo rozšíření pole ${ displaystyle varphi ({ boldsymbol {x}}, t)}$ lze napsat jako:^[19]

${ displaystyle varphi = a , cos vlevo ( theta + alpha right) + a_ {2} , cos left (2 theta + alpha _ {2} right) + a_ { 3} , cos left (3 theta + alpha _ {3} right) + cdots,}$

kde jsou amplitudy ${ displaystyle a,}$ ${ displaystyle a_ {2},}$ atd. se pomalu mění, stejně jako fáze ${ displaystyle alpha,}$ ${ displaystyle alpha _ {2},}$ atd. Pokud jde o případ lineárních vln, v nejnižším pořadí (pokud jde o modulační účinky se týkají) deriváty amplitud a fází jsou s výjimkou derivátů zanedbávány ${ displaystyle omega}$ a ${ displaystyle { boldsymbol {k}}}$ rychlé fáze ${ displaystyle theta:}$

${ displaystyle částečný _ {t} varphi přibližně + omega a , sin doleva ( theta + alpha doprava) +2 omega a_ {2} , sin doleva (2 theta + alpha _ {2} right) +3 omega a_ {3} , sin left (3 theta + alpha _ {3} right) + cdots,}$   a

${ displaystyle { boldsymbol { nabla}} varphi cca - { boldsymbol {k}} a , sin left ( theta + alpha right) -2 { boldsymbol {k}} a_ { 2} , sin left (2 theta + alpha _ {2} right) -3 { boldsymbol {k}} a_ {3} , sin left (3 theta + alpha _ { 3} vpravo) + cdots.}$

Tyto aproximace se použijí v Lagrangeově hustotě ${ displaystyle L}$a jeho fázový průměr ${ displaystyle { overline {L}}.}$

Průměrná Lagrangeova pro pomalu se měnící vlny

Pro čistý vlnový pohyb Lagrangian ${ displaystyle L left ( částečné _ {t} varphi, { boldsymbol { nabla}} varphi, varphi right)}$ je vyjádřena v poli ${ displaystyle varphi ({ boldsymbol {x}}, t)}$ a jeho deriváty.^[14][17] V průměrné Lagrangeově metodě byly výše uvedené předpoklady na poli ${ displaystyle varphi ({ boldsymbol {x}}, t)}$ - a jeho deriváty - se používají k výpočtu Lagrangeovy. Lagrangian je poté zprůměrován ve vlnové fázi ${ displaystyle theta:}$^[14]

${ displaystyle { overline {L}} = { frac {1} {2 pi}} int _ {0} ^ {2 pi} L left ( partial _ {t} varphi, { boldsymbol { nabla}} varphi, varphi right) ; { text {d}} theta.}$

Posledním krokem je tento průměrný výsledek ${ displaystyle { overline {L}}}$ lze vyjádřit jako zprůměrován Lagrangeově hustota ${ displaystyle { mathcal {L}} ( omega, { boldsymbol {k}}, a)}$ - což je funkce pomalu se měnících parametrů ${ displaystyle omega,}$ ${ displaystyle { boldsymbol {k}}}$ a ${ displaystyle a}$ a nezávisle na vlnové fázi ${ displaystyle theta}$ sám.^[14]

Průměrná Lagrangeova hustota ${ displaystyle { mathcal {L}}}$ nyní navrhuje Whitham sledovat průměr variační princip:^[14]

Z variací ${ displaystyle { mathcal {L}}}$ postupujte podle dynamických rovnic pro pomalu se měnící vlnové vlastnosti.

Příklad

Pokračujeme příkladem nelineární Klein-Gordonovy rovnice, viz rovnice 4 a 5a použití výše uvedených aproximací pro ${ displaystyle varphi,}$ ${ displaystyle částečné _ {t} varphi}$ a ${ displaystyle částečné _ {x} varphi}$ (pro tento příklad 1D) v Lagrangeově hustotě výsledek po průměrování ${ displaystyle theta}$ je:

${ displaystyle { overline {L}} = { tfrac {1} {4}} ( omega ^ {2} -k ^ {2} -1) a ^ {2} - { tfrac {3} { 32}} sigma a ^ {4} + ( omega ^ {2} -k ^ {2} - { tfrac {1} {4}}) a_ {2} ^ {2} + { mathcal {O }} (a ^ {6}),}$

kde se předpokládalo, že v big-O notace, ${ displaystyle a_ {2} = { mathcal {O}} (a ^ {2})}$ a ${ displaystyle a_ {3} = { mathcal {O}} (a ^ {3})}$. Varianta ${ displaystyle { overline {L}}}$ s ohledem na ${ displaystyle a_ {2}}$ vede k ${ displaystyle a_ {2} = 0.}$ Takže průměrná Lagrangeova je:

${ displaystyle { mathcal {L}} = { tfrac {1} {4}} ( omega ^ {2} -k ^ {2} -1) a ^ {2} - { tfrac {3} { 32}} sigma a ^ {4} + { mathcal {O}} (a ^ {6}).}$

(6)

Pro lineární vlnový pohyb se průměrná Lagrangeova hodnota získá nastavením ${ displaystyle sigma}$ rovna nule.

Sada rovnic vycházející z průměrné Lagrangeovy

Uplatnění průměrného Lagrangeova principu, variace s ohledem na vlnovou fázi ${ displaystyle theta}$ vede k zachování působení vln:

${ displaystyle částečné _ {t} levé (+ { frac { částečné { mathcal {L}}} { částečné omega}} pravé) + { boldsymbol { nabla}} cdot levé (- - { frac { částečné { mathcal {L}}} { částečné { boldsymbol {k}}}} vpravo) = 0,}$

od té doby ${ displaystyle omega = - částečné _ {t} theta}$ a ${ displaystyle { boldsymbol {k}} = { boldsymbol { nabla}} theta}$ zatímco vlnová fáze ${ displaystyle theta}$ se neobjevuje v průměrné Lagrangeově hustotě ${ displaystyle { mathcal {L}}}$ kvůli průměrování fáze. Definování vlnové akce jako ${ displaystyle { mathcal {A}} equiv + částečný { mathcal {L}} / částečný omega}$ a vlnový akční tok jako ${ displaystyle { boldsymbol { mathcal {B}}} equiv - částečný { mathcal {L}} / částečný { boldsymbol {k}}}$ výsledek je:

${ displaystyle částečné _ {t} { mathcal {A}} + { boldsymbol { nabla}} cdot { boldsymbol { mathcal {B}}} = 0.}$

Rovnice vlnového doprovodu je doprovázena rovnicemi konzistence pro ${ displaystyle omega}$ a ${ displaystyle { boldsymbol {k}}}$ což jsou:

${ displaystyle částečný _ {t} { boldsymbol {k}} + { boldsymbol { nabla}} omega = { boldsymbol {0}}}$   a   ${ displaystyle { boldsymbol { nabla}} times { boldsymbol {k}} = { boldsymbol {0}}.}$

Variace vzhledem k amplitudě ${ displaystyle a}$ vede k disperzní vztah ${ displaystyle částečné { mathcal {L}} / částečné a = 0.}$

Příklad

Pokračování nelineární Klein-Gordonovy rovnice pomocí průměrného variačního principu na rovnici 6, stane se vlnová akční rovnice variací vzhledem k vlnové fázi ${ displaystyle theta:}$

${ displaystyle částečné _ {t} levé ({ tfrac {1} {2}} omega a ^ {2} pravé) + částečné _ {x} levé ({ tfrac {1} {2 }} ka ^ {2} vpravo) = 0,}$

a nelineární disperzní vztah vyplývá z variací vzhledem k amplitudě ${ displaystyle a:}$

${ displaystyle omega ^ {2} = k ^ {2} +1 + { tfrac {3} {4}} sigma a ^ {2}.}$

Takže vlnová akce je ${ displaystyle { mathcal {A}} = { tfrac {1} {2}} omega a ^ {2}}$ a vlnový akční tok ${ displaystyle { mathcal {B}} = { tfrac {1} {2}} ka ^ {2}.}$ The skupinová rychlost ${ displaystyle v_ {g}}$ je ${ displaystyle v_ {g} equiv { mathcal {B}} / { mathcal {A}} = k / omega.}$

Střední pohyb a pseudofáze

Tato část je prázdná. Můžete pomoci přidávat k tomu. (Dubna 2015)

Zachování působení vln

Zprůměrovaný Lagrangian se získá integrací Lagrangeova přes vlnová fáze. Výsledkem je, že průměrný Lagrangian obsahuje pouze deriváty vlnové fáze ${ displaystyle theta}$ (tyto deriváty jsou podle definice úhlová frekvence a vlnové číslo) a nezávisí na samotné vlnové fázi. Řešení tedy budou nezávislá na výběru nulová úroveň pro vlnovou fázi. V důsledku toho - Noetherova věta – variace průměrného Lagrangeova ${ displaystyle { overline { mathcal {L}}}}$ s ohledem na vlnovou fázi vede k a zákon o ochraně přírody:

kde

${ displaystyle displaystyle { mathcal {A}} equiv { frac { delta { overline { mathcal {L}}}} { delta omega}} = - { frac { delta { overline { mathcal {L}}}} { delta levý ( částečný _ {t} theta pravý)}}}$   a   ${ displaystyle displaystyle { boldsymbol { mathcal {B}}} equiv - { frac { delta { overline { mathcal {L}}}} { delta { boldsymbol {k}}}} = - { frac { delta { overline { mathcal {L}}}} { delta left ({ boldsymbol { nabla}} theta right)}},}$

s ${ displaystyle { mathcal {A}}}$ the vlnová akce a ${ displaystyle { boldsymbol { mathcal {B}}}}$ vlnová akce tok. Dále ${ displaystyle částečné _ {t}}$ označuje parciální derivace s ohledem na čas a ${ displaystyle { boldsymbol { nabla}}}$ je spád operátor. Podle definice je skupinová rychlost ${ displaystyle { boldsymbol {v}} _ {g}}$ darováno:

${ displaystyle { boldsymbol { mathcal {B}}} equiv { boldsymbol {v}} _ {g} { mathcal {A}}. ,}$

Všimněte si, že obecně není nutné energii vlnového pohybu konzervovat, protože může docházet k výměně energie se středním tokem. Celková energie - součet energií vlnového pohybu a středního toku - je zachována (pokud není práce vnějšími silami a žádná rozptyl energie ).

Zachování působení vln lze také zjistit použitím zobecněný Lagrangeův průměr (GLM) metoda k rovnicím kombinovaného toku vln a středního pohybu, s použitím Newtonovská mechanika místo variačního přístupu.^[21]

Úspora energie a hybnosti

Tato část je prázdná. Můžete pomoci přidávat k tomu. (Dubna 2015)

Spojení s disperzním vztahem

Čistý vlnový pohyb lineárními modely vždy vede k průměrné Lagrangeově hustotě tvaru:^[14]

${ displaystyle { mathcal {L}} = G ( omega, { boldsymbol {k}}) a ^ {2}.}$

V důsledku toho je změna vzhledem k amplitudě: ${ displaystyle částečné { mathcal {L}} / částečné a = 0}$ dává

${ displaystyle G ( omega, { boldsymbol {k}}) = 0.}$

Ukázalo se tedy, že disperzní vztah pro lineární vlny a průměrná Lagrangeova pro lineární vlny je vždy disperzní funkce ${ displaystyle G ( omega, { boldsymbol {k}})}$ krát amplituda na druhou.

Obecněji řečeno, pro slabě nelineární a pomalu modulované vlny šířící se v jedné prostorové dimenzi a zahrnující disperzní efekty vyššího řádu - nezanedbávající časové a prostorové derivace ${ displaystyle částečné _ {t} a}$ a ${ displaystyle částečné _ {x} a}$ amplitudy ${ displaystyle a ( mu x, mu t)}$ při užívání derivátů, kde ${ displaystyle mu ll 1}$ je malý modulační parametr - průměrná Lagrangeova hustota má tvar:^[22]

${ displaystyle { mathcal {L}} = G ( omega, k) a ^ {2} + G_ {2} ( omega, k) a ^ {4} + { tfrac {1} {2}} mu ^ {2} left (G _ { omega omega} ( částečné _ {T} a) ^ {2} + 2G _ { omega k} ( částečné _ {T} a) ( částečné _ { X} a) + G_ {kk} ( částečné _ {X} a) ^ {2} vpravo),}$

s pomalé proměnné ${ displaystyle X = mu x}$ a ${ displaystyle T = mu t.}$

Reference

Poznámky

Publikace Whitham o metodě

Další čtení