Atiyah – Bottova věta o pevném bodě - Atiyah–Bott fixed-point theorem

v matematika, Atiyah – Bottova věta o pevném bodě, prokázáno Michael Atiyah a Raoul Bott v roce 1960, je obecná forma Lefschetzova věta o pevném bodě pro hladké potrubí M, který používá eliptický komplex na M. Toto je systém eliptické diferenciální operátory na vektorové svazky, zobecňující komplex de Rham vyrobeno z hladkého diferenciální formy který se objevuje v původní Lefschetzově teorémě o pevném bodě.

Formulace

Cílem je najít správnou náhradu za Lefschetzovo číslo, což je v klasickém výsledku celé číslo počítající správný příspěvek a pevný bod plynulého mapování

${displaystyle fcolon M o M.}$

Pevné body jsou intuitivně průsečíky graf z F s úhlopříčkou (graf mapování identity) v ${displaystyle M imes M}$ , a Lefschetzovo číslo se tak stává číslo křižovatky. Atiyah – Bottova věta je rovnice, ve které LHS musí být výsledkem globálního topologického (homologického) výpočtu a RHS součet místních příspěvků na pevných bodech F.

Počítací codimensions v ${displaystyle M imes M}$ , a transverzálnost předpoklad pro graf F a úhlopříčka by měla zajistit, aby množina pevných bodů byla nulová. Za předpokladu M A uzavřené potrubí by pak měl zajistit, že množina křižovatek je konečná, čímž se získá konečný součet jako RHS očekávaného vzorce. Další potřebná data se týkají eliptického komplexu vektorových svazků ${displaystyle E_ {j}}$ , jmenovitě a mapa svazku

{displaystyle varphi _ {j} dvojtečka f ^ {- 1} (E_ {j}) o E_ {j}}

pro každého j, takže výsledné mapy na sekce vést k endomorfismus z eliptický komplex ${displaystyle T}$ . Takový endomorfismus ${displaystyle T}$ má Lefschetzovo číslo

{displaystyle L (T),}

což je podle definice střídavý součet jeho stopy na každé odstupňované části homologie eliptického komplexu.

Forma věty je tedy

{displaystyle L (T) = součet _ {x} vlevo (součet _ {j} (- 1) ^ {j} mathrm {trace}, varphi _ {j, x} ight) / delta (x).}

Tady stopa ${displaystyle varphi _ {j, x}}$ znamená stopu ${displaystyle varphi _ {j}}$ v pevném bodě X z F, a ${displaystyle delta (x)}$ je určující endomorfismu ${displaystyle I-Df}$ na X, s ${displaystyle Df}$ derivát F (nemizení tohoto je důsledkem transverzality). Vnější součet je přes pevné body Xa vnitřní součet nad indexem j v eliptickém komplexu.

Specializací věty Atiyah – Bott na de Rhamův komplex hladkých diferenciálních forem se získá původní Lefschetzův vzorec s pevným bodem. Slavná aplikace věty Atiyah – Bott je jednoduchým důkazem Weylův vzorec znaků v teorii Lež skupiny.^{[je zapotřebí objasnění ]}

Dějiny

Počáteční historie tohoto výsledku je zapletena s historií Atiyah – Singerova věta o indexu. Došlo k dalšímu vstupu, jak naznačuje alternativní název Věta o pevném bodě Woods Hole který byl použit v minulosti (správně odkazující na případ izolovaných pevných bodů).^[1] Setkání v roce 1964 v Woods Hole shromáždili pestrou skupinu:

Eichler zahájil interakci mezi větami s pevným bodem a automorfní formy. Šimura hrál důležitou roli v tomto vývoji tím, že to vysvětlil Bottovi na konferenci Woods Hole v roce 1964.^[2]

Jak říká Atiyah:^[3]

[na konferenci] ... s Bottem jsme se dozvěděli domněnku o Shimuře týkající se zevšeobecnění Lefschetzova vzorce pro holomorfní mapy. Po velkém úsilí jsme se přesvědčili, že by měl existovat obecný vzorec tohoto typu [...]; .

a oni byli vedeni k verzi pro eliptické komplexy.

Při vzpomínce na William Fulton, který byl také na konferenci, jako první předložil důkaz Jean-Louis Verdier.

Důkazy

V kontextu algebraická geometrie, prohlášení platí pro hladké a správné odrůdy přes algebraicky uzavřené pole. Tuto variantu vzorce s pevným bodem Atiyah – Bott prokázal Kondyrev & Prikhodko (2018) vyjádřením obou stran vzorce, jak je vhodně zvoleno kategorické stopy.

Viz také

Vzorec zbytků Bott

Poznámky

^ „Zpráva o zasedání k oslavě 35. výročí Atiyah-Bottovy věty“. Oceánografická instituce Woods Hole. Archivovány od originál 30. dubna 2001.
^ „Práce Roberta MacPhersona“ (PDF).
^ Shromážděné dokumenty III str.2.

Reference

Atiyah, Michael F.; Bott, Raoul (1966), „Lefschetzův vzorec s pevným bodem pro eliptické diferenciální operátory“, Bulletin of the American Mathematical Society, 72 (2): 245–50, doi:10.1090 / S0002-9904-1966-11483-0. Toto uvádí teorém, který počítá Lefschetzovo číslo endomorfismu eliptického komplexu.
Atiyah, Michael F.; Bott, Raoul (1967), „Lefschetzův vzorec s pevným bodem pro eliptické komplexy: I“, Annals of Mathematics, Druhá série, 86 (2): 374–407, doi:10.2307/1970694, JSTOR 1970694 a Atiyah, Michael F.; Bott, Raoul (1968), „Lefschetzův vzorec s pevným bodem pro eliptické komplexy: II. Aplikace“, Annals of Mathematics, Druhá série, 88 (3): 451–491, doi:10.2307/1970721, JSTOR 1970721. To poskytuje důkazy a některé aplikace výsledků oznámených v předchozím článku.

Kondyrev, Grigory; Prikhodko, Artem (2018), „Kategorický důkaz vzorce Holomorphic Atiyah – Bott“, J. Inst. Matematika. Jussieu: 1–25, arXiv:1607.06345, doi:10.1017 / S1474748018000543

externí odkazy

Tu, Loring W. (21. prosince 2005). „Věta o pevném bodě Atiyah-Bott“. Život a díla Raoula Botta.
Tu, Loring W. (listopad 2015). „The Genesis of the Woods Hole Fixed Point Theorem“ (PDF). Oznámení Americké matematické společnosti. Providence, RI: American Mathematical Society. 1200–1206.

[1] „Zpráva o zasedání k oslavě 35. výročí Atiyah-Bottovy věty“. Oceánografická instituce Woods Hole. Archivovány od originál 30. dubna 2001.

[2] „Práce Roberta MacPhersona“ (PDF).

[3] Shromážděné dokumenty III str.2.

[1]

[2]

[3]