Lürothsova věta - Lüroths theorem - Wikipedia

v matematika, Lürothova věta tvrdí, že každý pole která leží mezi dvěma dalšími poli K. a K.(X) musí být vygenerován jako rozšíření z K. jediným prvkem K.(X). Tento výsledek je pojmenován po Jacob Lüroth, který to dokázal v roce 1876.^[1]

Prohlášení

Nechat ${ displaystyle K}$ být oborem a ${ displaystyle M}$ být mezilehlým polem mezi ${ displaystyle K}$ a ${ displaystyle K (X)}$, pro některé neurčité X. Pak existuje a racionální funkce ${ displaystyle f (X) v K (X)}$ takhle ${ displaystyle M = K (f (X))}$. Jinými slovy, každé mezilehlé rozšíření mezi ${ displaystyle K}$ a ${ displaystyle K (X)}$ je jednoduché rozšíření.

Důkazy

Důkaz Lürothovy věty lze snadno odvodit z teorie racionální křivky, za použití geometrický rod.^[2]Tato metoda je neelementární, ale několik krátkých důkazů používajících pouze základy teorie pole mnoho z těchto jednoduchých důkazů se používá Gaussovo lema o primitivních polynomech jako hlavní krok.^[3]

Reference