Alexander dualita - Alexander duality - Wikipedia

v matematika, Alexander dualita označuje a teorie duality předznamenán výsledkem z roku 1915 J. W. Alexander, a následně dále rozvíjeny, zejména Pavel Alexandrov a Lev Pontryagin. Platí pro teorie homologie vlastnosti doplňku a podprostor X v Euklidovský prostor, a koule, nebo jiný potrubí. Zobecňuje to Spanier – Whiteheadská dualita.

Moderní prohlášení

Nechat ${ displaystyle X}$ být kompaktní, místně smluvní podprostor koule ${ displaystyle S ^ {n}}$ dimenze n. Nechat ${ displaystyle S ^ {n} setminus X}$ být doplňkem ${ displaystyle X}$ v ${ displaystyle S ^ {n}}$ . Pak pokud ${ displaystyle { tilde {H}}}$ znamená snížená homologie nebo snížená kohomologie, s koeficienty v daném abelianská skupina, tady je izomorfismus

{ displaystyle { tilde {H}} _ {q} (S ^ {n} setminus X) cong { tilde {H}} ^ {n-q-1} (X)}

pro všechny ${ displaystyle q geq 0}$ . Všimněte si, že můžeme snížit místní kontraktibilitu jako součást hypotézy, pokud ji použijeme Čechova kohomologie, který je určen k řešení místních patologií.

Alexanderův výsledek z roku 1915

Abychom se vrátili k Alexandrově původní práci, předpokládá se to X je zjednodušený komplex.

Alexander měl málo moderního aparátu a jeho výsledek byl pouze pro Betti čísla, se zohledněnými koeficienty modulo 2. Co lze očekávat, vyplývá z příkladů. Například Clifford torus stavba v 3 koule ukazuje, že doplněk a pevný torus je další pevný torus; který bude otevřen, pokud bude druhý uzavřen, ale to neovlivní jeho homologii. Každý z pevných tori je z homotopy úhel pohledu a kruh. Pokud si jen zapíšeme čísla Betti

1, 1, 0, 0

kruhu (až do ${ displaystyle H_ {3}}$ , protože jsme ve 3 sféře), pak obráceně jako

0, 0, 1, 1

a potom posuňte jeden doleva, abyste se dostali

0, 1, 1, 0

je tu obtíž, protože nedostáváme to, s čím jsme začali. Na druhé straně stejný postup platil pro EU snížena Čísla Betti, u kterých je počáteční číslo Betti sníženo o 1, začínají

0, 1, 0, 0

a dává

0, 0, 1, 0

odkud

0, 1, 0, 0.

Tento dělá cvičit, předpovídat snížená čísla Betti doplňku.

Prototyp zde je Jordanova věta o křivce, který topologicky týká se doplňku a kruh v Riemannova koule. Rovněž vypráví stejný příběh. Máme poctivá čísla Betti

1, 1, 0

kruhu, a proto

0, 1, 1

převrácením a

1, 1, 0

posunutím doleva. To vrací něco jiného od toho, co uvádí Jordanova věta, to znamená, že existují dvě složky smluvní (Věta Schoenflies, abych byl přesný o tom, co se zde používá). To znamená, že správná odpověď v poctivých číslech Betti je

2, 0, 0.

Znovu fungují snížená čísla Betti. U těch začínáme

0, 1, 0

skončit s

1, 0, 0.

Z těchto dvou příkladů lze tedy odvodit Alexandrovu formulaci: snížená čísla Betti ${ displaystyle { tilde {b}} _ {i}}$ souvisí v doplňcích od

{ displaystyle { tilde {b}} _ {i} na { tilde {b}} _ {n-i-1}}

.

Reference

Hatcher, Allen (2002). Algebraická topologie (PDF). Cambridge: Cambridge University Press. p. 254. ISBN 0-521-79540-0.
„Alexander dualita“, Encyclopedia of Mathematics, Stiskněte EMS, 2001 [1994]

Další čtení

Miller, Ezra; Sturmfels, Bernd (2005). Kombinatorická komutativní algebra. Postgraduální texty z matematiky. 227. New York, NY: Springer-Verlag. Ch. 5 Alexander Dualita. ISBN 0-387-22356-8.