Afinní involuce

v Euklidovská geometrie, zvláštního zájmu jsou involuce což jsou lineární nebo afinní transformace přes Euklidovský prostor Rⁿ. Takové involuce lze snadno charakterizovat a lze je popsat geometricky.

Lineární involuce

Dát lineární involuci je stejné jako dát involutory matice, a čtvercová matice A takhle

{ displaystyle A ^ {2} = I quad quad quad quad (1)}

kde Já je matice identity.

Jedná se o rychlou kontrolu, že čtvercová matice D jehož prvky jsou všechny nulové od hlavní úhlopříčky a ± 1 na úhlopříčce, tj. a podpisová matice formuláře

{ displaystyle D = { begin {pmatrix} pm 1 & 0 & cdots & 0 & 0 0 & pm 1 & cdots & 0 & 0 vdots & vdots & ddots & vdots & vdots 0 & 0 & cdots & pm 1 & 0 0 & 0 & cdots & 0 & pm 1 end {pmatrix}}}

satisfies (1), tj. je matice lineární involuce. Ukazuje se, že všechny matice vyhovující (1) mají tvar

A=U⁻¹DU,

kde U je invertibilní a D je jako výše. To znamená, že matice jakékoli lineární involuce má formu D až do A podobnost matice. Geometricky to znamená, že jakoukoli lineární involuci lze získat pomocí šikmé odrazy proti libovolnému číslu od 0 do n hyperplanes prochází původem. (Termín šikmý odraz jak se zde používá, zahrnuje běžné odrazy.)

Lze to snadno ověřit A představuje lineární involuci právě tehdy A má formu

A = ± (2P - I)

pro lineární projekce P.

Li A představuje lineární involuci X→A(X−b)+b je afinní involuce. Lze zkontrolovat, že jakákoli afinní involuce má ve skutečnosti tuto formu. Geometricky to znamená, že jakoukoli afinní involuci lze získat provedením šikmých odrazů proti libovolnému číslu od 0 do n hyperplány procházející bodem b.

Afinní involuce lze kategorizovat podle dimenze afinní prostor z pevné body; to odpovídá počtu hodnot 1 na úhlopříčce podobné matice D (viz výše), tj. rozměr vlastního prostoru pro vlastní číslo 1.

Afinní involuce ve 3D jsou:

identita
šikmý odraz vzhledem k rovině
šikmý odraz vzhledem k přímce
odraz ve vztahu k bodu.

Izometrické involuce

V případě, že vlastní prostor pro vlastní hodnotu 1 je ortogonální doplněk z toho pro vlastní hodnotu −1, tj. každý vlastní vektor s vlastní hodnotou 1 je ortogonální pro každý vlastní vektor s vlastní hodnotou −1 je taková afinní involuce izometrie. Dva extrémní případy, pro které to vždy platí, jsou funkce identity a inverze v bodě.

Ostatní involutivní izometrie jsou inverze v přímce (ve 2D, 3D a nahoru; toto je ve 2D a odraz a ve 3D a otáčení o čáru o 180 °), inverze v rovině (ve 3D a výše; ve 3D se jedná o odraz v rovině), inverze v 3D prostoru (ve 3D: identita) atd.