Nerovnost konvoluce mladých - Youngs convolution inequality - Wikipedia

v matematika, Youngova konvoluční nerovnost je matematická nerovnost o konvoluce dvou funkcí,^[1] pojmenoval podle William Henry Young.

Prohlášení

Euklidovský prostor

v skutečná analýza, následující výsledek se nazývá Youngova konvoluční nerovnost:^[2]

Předpokládat F je v L^p(R^d) a G je v L^q(R^d) a

${ displaystyle { frac {1} {p}} + { frac {1} {q}} = { frac {1} {r}} + 1}$

s 1 ≤ p, q ≤ r ≤ ∞. Pak

${ displaystyle | f * g | _ {r} leq | f | _ {p} | g | _ {q}.}$

Tady hvězda označuje konvoluce, L^p je Lebesgueův prostor, a

${ displaystyle | f | _ {p} = { Bigl (} int _ { mathbf {R} ^ {d}} | f (x) | ^ {p} , dx { Bigr)} ^ {1 / p}}$

označuje obvyklé L^p norma.

Ekvivalentně, pokud ${ displaystyle p, q, r geq 1}$ a ${ displaystyle textstyle { frac {1} {p}} + { frac {1} {q}} + { frac {1} {r}} = 2}$ pak

${ displaystyle int _ { mathbf {R} ^ {d}} int _ { mathbf {R} ^ {d}} f (x) g (xy) h (y) , mathrm {d} x , mathrm {d} y leq left ( int _ { mathbf {R} ^ {d}} vert f vert ^ {p} right) ^ { frac {1} {p} } left ( int _ { mathbf {R} ^ {d}} vert g vert ^ {q} right) ^ { frac {1} {q}} left ( int _ { mathbf {R} ^ {d}} vert h vert ^ {r} doprava) ^ { frac {1} {r}}}$

Zobecnění

Youngova konvoluční nerovnost má přirozené zobecnění, které nahrazujeme ${ displaystyle mathbb {R} ^ {d}}$ podle a unimodulární skupina ${ displaystyle G}$. Pokud to necháme ${ displaystyle mu}$ být bi-invariantní Haarovo opatření na ${ displaystyle G}$ a necháme ${ displaystyle f, g: G to mathbb {R}}$ nebo ${ displaystyle mathbb {C}}$ být integrovatelné funkce, pak definujeme ${ displaystyle f * g}$ podle

${ displaystyle f * g (x) = int _ {G} f (y) g (y ^ {- 1} x) , mathrm {d} mu (y).}$

Pak v tomto případě Youngova nerovnost říká, že pro ${ displaystyle f v L ^ {p} (G, mu)}$ a ${ displaystyle g v L ^ {q} (G, mu)}$ a ${ displaystyle p, q, r v [1, infty]}$ takhle

${ displaystyle { frac {1} {p}} + { frac {1} {q}} = { frac {1} {r}} + 1}$

máme vázaný

${ displaystyle lVert f * g rVert _ {r} leq lVert f rVert _ {p} lVert g rVert _ {q}.}$

Ekvivalentně, pokud ${ displaystyle p, q, r geq 1}$ a ${ displaystyle textstyle { frac {1} {p}} + { frac {1} {q}} + { frac {1} {r}} = 2}$ pak

${ displaystyle int _ {G} int _ {G} f (x) g (y ^ {- 1} x) h (y) , mathrm {d} mu (x) , mathrm { d} mu (y) leq left ( int _ {G} vert f vert ^ {p} right) ^ { frac {1} {p}} left ( int _ {G} vert g vert ^ {q} right) ^ { frac {1} {q}} left ( int _ {G} vert h vert ^ {r} right) ^ { frac {1 } {r}}.}$

Od té doby ${ displaystyle mathbb {R} ^ {d}}$ je ve skutečnosti lokálně kompaktní abelianská skupina (a tedy unimodulární) s Lebesgueovým opatřením požadovaného Haarova opatření, jedná se ve skutečnosti o zobecnění.

Aplikace

Příkladem aplikace je, že Youngova nerovnost může být použita k prokázání, že tepelná poloskupina je smluvní poloskupina používající L² norma (tj Weierstrassova transformace nezvětší L² norma).

Důkaz

Důkaz Hölderovy nerovnosti

Youngova nerovnost má elementární důkaz s neoptimální konstantou 1.^[3]

Předpokládáme, že funkce ${ displaystyle f, g, h: G to mathbb {R}}$ jsou nezáporné a integrovatelné, kde ${ displaystyle G}$ je unimodulární skupina obdařená bi-invariantním Haarovým měřítkem ${ displaystyle mu}$. Využíváme skutečnost, že ${ displaystyle mu (S) = mu (S ^ {- 1})}$ pro všechny měřitelné ${ displaystyle S podmnožina G}$.Od té doby ${ displaystyle textstyle p (2 - { frac {1} {q}} - { frac {1} {r}}) = q (2 - { frac {1} {p}} - { frac {1} {r}}) = r (2 - { frac {1} {p}} - { frac {1} {q}}) = 1}$

${ displaystyle int _ {G} int _ {G} f (x) g (y ^ {- 1} x) h (y) , mathrm {d} mu (x) , mathrm { d} mu (y) = int _ {G} int _ {G} vlevo (f (x) ^ {p} g (y ^ {- 1} x) ^ {q} vpravo) ^ { 1 - { frac {1} {r}}} vlevo (f (x) ^ {p} h (y) ^ {r} vpravo) ^ {1 - { frac {1} {q}}} left (g (y ^ {- 1} x) ^ {q} h (y) ^ {r} right) ^ {1 - { frac {1} {p}}} , mathrm {d} mu (x) , mathrm {d} mu (y)}$

Podle Hölderova nerovnost pro tři funkce to odvodíme

${ displaystyle int _ {G} int _ {G} f (x) g (y ^ {- 1} x) h (y) , mathrm {d} mu (x) , mathrm { d} mu (y) leq left ( int _ {G} int _ {G} f (x) ^ {p} g (y ^ {- 1} x) ^ {q} , mathrm {d} mu (x) , mathrm {d} mu (y) vpravo) ^ {1 - { frac {1} {r}}} vlevo ( int _ {G} int _ {G} f (x) ^ {p} h (y) ^ {r} , mathrm {d} mu (x) , mathrm {d} mu (y) vpravo) ^ {1- { frac {1} {q}}} left ( int _ {G} int _ {G} g (y ^ {- 1} x) ^ {q} h (y) ^ {r} , mathrm {d} mu (x) , mathrm {d} mu (y) right) ^ {1 - { frac {1} {p}}}.}$

Závěr následuje poté levou invariantností Haarovy míry, skutečností, že integrály jsou zachovány inverzí domény, a Fubiniho věta.

Důkaz interpolací

Youngovu nerovnost lze prokázat také interpolací; viz článek na Interpolace Riesz – Thorin pro důkaz.

Ostrá konstanta

V případě p, q > 1 Youngovu nerovnost lze posílit do ostré podoby prostřednictvím

${ displaystyle | f * g | _ {r} leq c_ {p, q} | f | _ {p} | g | _ {q}.}$

kde konstanta C_p,q < 1.^[4][5][6] Když je dosaženo této optimální konstanty, funkce ${ displaystyle f}$ a ${ displaystyle g}$ jsou vícerozměrné Gaussovy funkce.

Poznámky

externí odkazy

• Youngova nerovnost pro spory na ProofWiki