Objednávka loewneru - Loewner order

V matematice Loewner objednat je částečný řád definovaný konvexním kuželem z pozitivní semi-definitivní matice. Toto pořadí se obvykle používá k zobecnění definic monotónních a konkávních / konvexních skalárních funkcí na monotónní a konkávní / konvexní hermitovské hodnotné funkce. Tyto funkce přirozeně vznikají v teorii matic a operátorů a mají uplatnění v mnoha oblastech fyziky a inženýrství.

Definice

Nechat A a B být dva Hermitovské matice řádu n. Říkáme to A ≥ B -li A − B je pozitivní semi-definitivní. Podobně to říkáme A> B -li A − B je pozitivní určitý.

Vlastnosti

Když A a B jsou skutečné skaláry (tj. n = 1), objednávka Loewner se snižuje na obvyklé objednávání R. Ačkoli některé známé vlastnosti obvyklého pořadí R jsou také platné, když n ≥ 2, některé vlastnosti již nejsou platné. Například srovnatelnost dvou matic již nemusí být platná. Ve skutečnosti, pokud${ displaystyle A = { begin {bmatrix} 1 & 0 0 & 0 end {bmatrix}} }$ a ${ displaystyle B = { begin {bmatrix} 0 & 0 0 & 1 end {bmatrix}} }$ pak ani jeden A ≥ B nebo B ≥ A platí.

Navíc od té doby A a B jsou hermitovské matice, jejich vlastní čísla jsou všechna reálná čísla λ₁(B) je maximální vlastní hodnota B a λ_n(A) minimální vlastní hodnota A, dostatečné kritérium A ≥ B je to λ_n(A) ≥ λ₁(B). Li A nebo B je násobkem matice identity, pak je toto kritérium také nezbytné.

Objednávka Loewner ano ne mít vlastnost s nejmenší horní hranicí, a proto netvoří a mříž.

Viz také

• Stopové nerovnosti

Reference

• Pukelsheim, Friedrich (2006). Optimální návrh experimentů. Společnost pro průmyslovou a aplikovanou matematiku. str. 11–12. ISBN  9780898716047.
• Bhatia, Rajendra (1997). Maticová analýza. New York, NY: Springer. ISBN  9781461206538.
• Zhan, Xingzhi (2002). Maticové nerovnosti. Berlín: Springer. s. 1–15. ISBN  9783540437987.