Vážení inverzní odchylky - Inverse-variance weighting

v statistika, vážení inverzní variance je metoda agregace dvou nebo více náhodné proměnné minimalizovat rozptyl váženého průměru. Každá náhodná proměnná je vážena inverzní poměr na jeho rozptyl, tj. úměrný jeho přesnost.

Vzhledem k posloupnosti nezávislých pozorování y_i s odchylkami σ_i², vážený průměr inverzní odchylky je dán vztahem^[1]

${ displaystyle { hat {y}} = { frac { sum _ {i} y_ {i} / sigma _ {i} ^ {2}} { sum _ {i} 1 / sigma _ { i} ^ {2}}}.}$

Vážený průměr inverzní odchylky má nejmenší rozptyl ze všech vážených průměrů, které lze vypočítat jako

${ displaystyle D ^ {2} ({ hat {y}}) = { frac {1} { sum _ {i} 1 / sigma _ {i} ^ {2}}}.}$

Pokud jsou odchylky měření všechny stejné, stává se vážený průměr s inverzní odchylkou jednoduchým průměrem.

Vážení inverzní odchylky se obvykle používá ve statistice metaanalýza kombinovat výsledky nezávislých měření.

Kontext

Předpokládejme, že si experimentátor přeje změřit hodnotu veličiny, řekněme zrychlení kvůli gravitace Země, jehož skutečná hodnota je shodou okolností ${ displaystyle mu}$. Pečlivý experimentátor provede několik měření, která označujeme ${ displaystyle n}$ náhodné proměnné ${ displaystyle X_ {1}, X_ {2}, ..., X_ {n}}$. Pokud jsou všechny hlučné, ale nezaujaté, tj. Měřicí zařízení systematicky nadhodnocuje nebo nepodceňuje skutečnou hodnotu a chyby jsou rozptýleny symetricky, pak očekávaná hodnota ${ displaystyle E [X_ {i}] = mu}$ ${ displaystyle forall i}$. Rozptyl v měření je pak charakterizován rozptyl náhodných proměnných ${ displaystyle Var (X_ {i}): = sigma _ {i} ^ {2}}$, a pokud se měření provádějí za stejných scénářů, pak všechny ${ displaystyle sigma _ {i}}$ jsou stejné, na které se budeme odvolávat ${ displaystyle sigma}$. Vzhledem k ${ displaystyle n}$ měření, typická odhadce pro ${ displaystyle mu}$, označeno jako ${ displaystyle { hat { mu}}}$, je dán jednoduchým průměrný ${ displaystyle { overline {X}} = { frac {1} {n}} součet _ {i} X_ {i}}$. Všimněte si, že tento empirický průměr je také náhodná proměnná, jejíž očekávaná hodnota ${ displaystyle E [{ overline {X}}]}$ je ${ displaystyle mu}$ ale také má rozptyl. Pokud jsou jednotlivá měření nekorelovaná, je čtverec chyby v odhadu dán vztahem ${ displaystyle Var ({ overline {X}}) = { frac {1} {n ^ {2}}} sum _ {i} sigma _ {i} ^ {2} = left ({ frac { sigma} { sqrt {n}}} vpravo) ^ {2}}$. Proto, pokud všechny ${ displaystyle sigma _ {i}}$ jsou stejné, pak chyba v odhadu klesá s nárůstem v ${ displaystyle n}$ tak jako ${ displaystyle 1 / { sqrt {n}}}$, čímž se zvýhodňuje větší počet pozorování.

Namísto ${ displaystyle n}$ opakovaná měření s jedním nástrojem, pokud experimentátor provede ${ displaystyle n}$ stejného množství s ${ displaystyle n}$ různé přístroje s různou kvalitou měření, pak není důvod očekávat odlišné ${ displaystyle sigma _ {i}}$ být stejný. Některé nástroje mohou být hlučnější než jiné. V příkladu měření gravitačního zrychlení mohou měřit různé „přístroje“ ${ displaystyle g}$ od a jednoduché kyvadlo, z analýzy a pohyb střely Jednoduchý průměr již není optimálním odhadcem, protože chyba v ${ displaystyle { overline {X}}}$ může skutečně překročit chybu v nejméně hlučném měření, pokud mají různá měření velmi odlišné chyby. Namísto vyřazení hlučných měření, která zvyšují konečnou chybu, může experimentátor kombinovat všechna měření s příslušnými váhami tak, aby kladl větší důraz na nejméně hlučná měření a naopak. Vzhledem k znalostem ${ displaystyle sigma _ {1} ^ {2}, sigma _ {2} ^ {2}, ..., sigma _ {n} ^ {2}}$, optimální odhad k měření ${ displaystyle mu}$ by bylo Vážený průměr měření ${ displaystyle { hat { mu}} = { frac { sum _ {i} w_ {i} X_ {i}} { sum _ {i} w_ {i}}}}$, pro konkrétní volbu vah ${ displaystyle w_ {i} = 1 / sigma _ {i} ^ {2}}$. Rozptyl odhadce ${ displaystyle Var ({ hat { mu}}) = { frac { sum _ {i} w_ {i} ^ {2} sigma _ {i} ^ {2}} { left ( sum _ {i} w_ {i} right) ^ {2}}}}$, které se pro optimální volbu vah stanou ${ displaystyle Var ({ hat { mu}} _ { text {opt}}) = left ( sum _ {i} sigma _ {i} ^ {- 2} right) ^ {- 1 }.}$

Všimněte si, že od té doby ${ displaystyle Var ({ hat { mu}} _ { text {opt}}) < min _ {j} sigma _ {j} ^ {2}}$, odhadovatel má rozptyl menší než rozptyl v jakémkoli jednotlivém měření. Dále se rozptyl dovnitř ${ displaystyle { hat { mu}} _ { text {opt}}}$ s přidáním dalších měření klesá, jakkoli však mohou být tato měření hlučnější.

Derivace

Zvažte obecnou váženou částku ${ displaystyle Y = součet _ {i} w_ {i} X_ {i}}$, kde váhy ${ displaystyle w_ {i}}$ jsou normalizovány tak, že ${ displaystyle sum _ {i} w_ {i} = 1}$. Pokud ${ displaystyle X_ {i}}$ jsou všechny nezávislé, rozptyl ${ displaystyle Y}$ darováno

${ displaystyle Var (Y) = součet _ {i} w_ {i} ^ {2} sigma _ {i} ^ {2}.}$

Z důvodu optimality bychom chtěli minimalizovat ${ displaystyle Var (Y)}$ což lze provést rovněním spád s ohledem na váhy ${ displaystyle Var (Y)}$ na nulu, při zachování omezení, které ${ displaystyle sum _ {i} w_ {i} = 1}$. Používat Lagrangeův multiplikátor ${ displaystyle w_ {0}}$ k prosazení omezení vyjádříme odchylku

${ displaystyle Var (Y) = součet _ {i} w_ {i} ^ {2} sigma _ {i} ^ {2} -w_ {0} ( součet _ {i} w_ {i} -1 ).}$

Pro ${ displaystyle k> 0}$,

${ displaystyle 0 = { frac { částečné} { částečné w_ {k}}} Var (Y) = 2w_ {k} sigma _ {k} ^ {2} -w_ {0},}$

což z toho vyplývá

${ displaystyle w_ {k} = { frac {w_ {0} / 2} { sigma _ {k} ^ {2}}}.}$

Tady je hlavní jídlo ${ displaystyle w_ {k} propto 1 / sigma _ {k} ^ {2}}$. Od té doby ${ displaystyle sum _ {i} w_ {i} = 1}$,

${ displaystyle { frac {2} {w_ {0}}} = součet _ {i} { frac {1} { sigma _ {i} ^ {2}}}: = { frac {1} { sigma _ {0} ^ {2}}}.}$

Jednotlivé normalizované váhy jsou

${ displaystyle w_ {k} = { frac {1} { sigma _ {k} ^ {2}}} left ( sum _ {i} { frac {1} { sigma _ {i} ^ {2}}} vpravo) ^ {- 1}.}$

Je snadné vidět, že toto extrémní řešení odpovídá minimu z druhý dílčí derivační test konstatováním, že odchylka je kvadratickou funkcí vah. Minimální odchylka odhadce je tedy dána vztahem

${ displaystyle Var (Y) = součet _ {i} { frac { sigma _ {0} ^ {4}} { sigma _ {i} ^ {4}}} sigma _ {i} ^ { 2} = sigma _ {0} ^ {4} sum _ {i} { frac {1} { sigma _ {i} ^ {2}}} = sigma _ {0} ^ {4} { frac {1} { sigma _ {0} ^ {2}}} = sigma _ {0} ^ {2} = { frac {1} { sum _ {i} 1 / sigma _ {i } ^ {2}}}.}$

Normální rozdělení

Pro normálně distribuováno jako odhad maximální pravděpodobnosti pro skutečnou hodnotu lze také odvodit vážené průměry vážených inverzních odchylek. Dále z a Bayesian perspektiva zadní distribuce pro skutečnou hodnotu vzhledem k normálně distribuovaným pozorováním ${ displaystyle y_ {i}}$ a flat prior je normální rozdělení s inverzním rozptylem váženým průměrem jako průměr a rozptyl ${ displaystyle Var (Y)}$

Vícerozměrný případ

U vícerozměrných distribucí vede ekvivalentní argument k optimálnímu vážení na základě kovariančních matic ${ displaystyle Sigma _ {i}}$ jednotlivých odhadů ${ displaystyle x_ {i}}$:

${ displaystyle { hat {x}} = left ( sum _ {i} Sigma _ {i} ^ {- 1} right) ^ {- 1} sum _ {i} Sigma _ {i } ^ {- 1} x_ {i}}$

Pro vícerozměrné distribuce se běžně používá termín „přesně vážený“ průměr.

Viz také

• Vážené nejméně čtverce

Reference

tento článek potřebuje další citace pro ověření. Prosím pomozte vylepšit tento článek podle přidávání citací ke spolehlivým zdrojům. Zdroj bez zdroje může být napaden a odstraněn. Najít zdroje: „Vážení inverzní odchylky“  – zprávy  · noviny  · knihy  · učenec  · JSTOR (Září 2012) (Zjistěte, jak a kdy odstranit tuto zprávu šablony)