Binomický poměr intervalu spolehlivosti - Binomial proportion confidence interval

v statistika, a binomický poměr intervalu spolehlivosti je interval spolehlivosti pro pravděpodobnost úspěchu vypočítanou z výsledku řady experimentů úspěch - neúspěch (Bernoulliho zkoušky ). Jinými slovy, interval spolehlivosti pro binomické proporce je intervalovým odhadem pravděpodobnosti úspěchu p když pouze počet experimentů n a počet úspěchů n_S jsou známy.

Existuje několik vzorců pro binomický interval spolehlivosti, ale všechny se spoléhají na předpoklad a binomická distribuce. Obecně platí, že binomické rozdělení platí, když se experiment opakuje fixně několikrát, každá zkouška experimentu má dva možné výsledky (úspěch a neúspěch), pravděpodobnost úspěchu je pro každou studii stejná a pokusy jsou statisticky nezávislé. Protože binomická distribuce je a diskrétní rozdělení pravděpodobnosti (tj. není spojitý) a je obtížné jej vypočítat pro velký počet pokusů, k výpočtu tohoto intervalu spolehlivosti se používají různé aproximace, vše s vlastními kompromisy v přesnosti a výpočetní intenzitě.

Jednoduchým příkladem binomického rozdělení je soubor různých možných výsledků a jejich pravděpodobností pro počet pozorovaných hlav, když mince je převrácena desetkrát. Pozorovaný binomický podíl je zlomek obratů, které se ukáží jako hlavy. Vzhledem k tomuto pozorovanému podílu je interval spolehlivosti pro skutečnou pravděpodobnost přistání mince na hlavách rozsah možných rozměrů, které mohou nebo nemusí obsahovat skutečný podíl. Například 95% interval spolehlivosti pro podíl bude obsahovat skutečný podíl 95% případů, kdy je použit postup pro konstrukci intervalu spolehlivosti.^[1]

Normální přibližný interval

Běžně používaný vzorec pro binomický interval spolehlivosti se opírá o aproximaci distribuce chyby o binomicky distribuovaném pozorování, ${displaystyle {hat {p}}}$ , s normální distribuce.^[2] Tato aproximace je založena na teorém centrálního limitu a je nespolehlivý, když je velikost vzorku malá nebo se pravděpodobnost úspěchu blíží 0 nebo 1.^[3]

Při použití normální aproximace je pravděpodobnost úspěchu p se odhaduje na

{displaystyle {hat {p}} pm z {sqrt {frac {{hat {p}} vlevo (1- {hat {p}} ight)} {n}}},}

nebo ekvivalent

{displaystyle {frac {n_ {S}} {n}} pm {frac {z} {n {sqrt {n}}}} {sqrt {n_ {S} n_ {F}}},}

kde ${displaystyle {hat {p}} = n_ {S} / n}$ je podíl úspěchů v a Bernoulliho soud proces, měřeno pomocí ${displaystyle n}$ výsledky zkoušek ${displaystyle n_ {S}}$ úspěchy a ${displaystyle n_ {F} = n-n_ {S}}$ selhání a ${displaystyle z}$ je ${displaystyle 1- {frac {alpha} {2}}}$ kvantil a standardní normální rozdělení (tj probit ) odpovídající cílové míře chyb ${displaystyle alpha}$ . U 95% úrovně spolehlivosti došlo k chybě ${displaystyle alpha = 1-0,95 = 0,05}$ , tak ${displaystyle 1- {frac {alpha} {2}} = 0,975}$ a ${displaystyle z = 1,96}$ .

Důležité teoretické odvození tohoto intervalu spolehlivosti zahrnuje inverzi testu hypotézy. Podle této formulace představuje interval spolehlivosti ty hodnoty parametru populace, které by měly velké p-hodnoty, pokud byly testovány jako hypotéza podíl populace. Sbírka hodnot, ${displaystyle heta}$ , pro které platí normální aproximace, lze vyjádřit jako

{displaystyle left {heta ,, {igg |} ,, yleq {frac {{hat {p}} - heta} {sqrt {{frac {1} {n}} {hat {p}} left (1- {hat {p}} ight)}}} leq z_ {frac {alpha} {2}} ight},}

kde ${displaystyle y}$ je ${displaystyle {frac {alpha} {2}}}$ kvantil a standardní normální rozdělení. Jelikož test uprostřed nerovnosti je a Waldův test, normální aproximační interval se někdy nazývá Wald interval, ale poprvé to popsal Pierre-Simon Laplace v roce 1812.^[4]

Standardní chyba odhadu podílu při použití vážených dat

Nechť existuje jednoduchý náhodný vzorek ${displaystyle X_ {1}, ldots, X_ {n}}$ kde každý ${displaystyle X_ {i}}$ je i.i.d od a Bernoulli p) rozložení a hmotnost ${displaystyle w_ {i}}$ je váha pro každé pozorování. Standardizujte (kladné) váhy ${displaystyle w_ {i}}$ tedy sečtou k 1. The vážený podíl vzorku je: ${displaystyle {hat {p}} = součet _ {i = 1} ^ {n} w_ {i} X_ {i}}$ . Protože ${displaystyle X_ {i}}$ jsou nezávislé a každý má rozptyl ${displaystyle {ext {Var}} (X_ {i}) = p (1-p)}$ , rozptyl vzorkování podílu proto je:^[5]

${displaystyle {ext {Var}} ({hat {p}}) = suma _ {i = 1} ^ {n} {ext {Var}} (omega _ {i} X_ {i}) = p (1 p) součet _ {i = 1} ^ {n} omega _ {i} ^ {2}}$ .

The standardní chyba z ${displaystyle {hat {p}}}$ je druhá odmocnina tohoto množství. Protože nevíme ${displaystyle p (1-p)}$ , musíme to odhadnout. Ačkoli existuje mnoho možných odhadů, je třeba použít běžný ${displaystyle {hat {p}}}$ , vzorový průměr, a zapojte to do vzorce. To dává:

${displaystyle {ext {SE}} ({hat {p}}) = {sqrt {{hat {p}} (1- {hat {p}}) sum _ {i = 1} ^ {n} w_ {i } ^ {2}}}}$

U nevážených dat ${displaystyle w_ {i} = 1 / n}$ dávat ${displaystyle sum _ {i = 1} ^ {n} w_ {i} ^ {2} = 1 / n}$ . SE se stává ${displaystyle {sqrt {p (1-p) / n}}}$ , což vede ke známým vzorcům, které ukazují, že výpočet vážených dat je jejich přímým zobecněním.

Interval Wilsonova skóre

Interval Wilsonova skóre je zlepšení oproti běžnému intervalu aproximace v tom skutečném pravděpodobnost pokrytí je blíže jmenovité hodnotě. Byl vyvinut společností Edwin Bidwell Wilson (1927).^[6]

Wilson začal s normální aproximací k binomickému:

{displaystyle zapprox {frac {~ left (, p- {hat {p}}, ight) ~} {sigma _ {n}}}}

s analytickým vzorcem pro směrodatnou odchylku vzorku danou

{displaystyle sigma _ {n} = {sqrt {, {frac {, pleft (1-pight),} {n}} ~}} ~}

.

Kombinace dvou a druhou mocninu radikálu dává rovnici, která je kvadratická $p$ :

{displaystyle left (, {hat {p}} - p, ight) ^ {2} = z ^ {2} cdot {frac {, pleft (1-pight),} {n}}}

Transformace vztahu na kvadratickou rovnici standardního tvaru pro $p$ , léčení ${displaystyle {hat {p}}}$ a $n$ jako známé hodnoty ze vzorku (viz předchozí část) a použití hodnoty $z$ což odpovídá požadované spolehlivosti pro odhad $p$ dává toto:

{displaystyle {iggl (} 1+ {frac {, z ^ {2},} {n}} {iggr)}, p ^ {2} + {iggl (} -2 {hat {p}} - {frac { , z ^ {2},} {n}} {iggr)}, p + {iggl (} {hat {p}} ^ {2} {iggr)} = 0 ~}

,

kde všechny hodnoty v závorkách jsou známé veličiny. Řešení pro $p$ odhaduje horní a dolní mez intervalu spolehlivosti pro $p$ . Proto pravděpodobnost úspěchu $p$ se odhaduje na

{displaystyle {frac {1} {~ 1 + {frac {, z ^ {2},} {n}} ~}} vlevo ({hat {p}} + {frac {, z ^ {2},} { 2n}} ight) pm {frac {z} {~ 1 + {frac {z ^ {2}} {n}} ~}} {sqrt {{frac {, {hat {p}} (1- {hat { p}}),} {n}} + {frac {, z ^ {2},} {4n ^ {2}}} ~}}}

nebo ekvivalent

{displaystyle {frac {~ n_ {S} + {frac {1} {2}} z ^ {2} ~} {n + z ^ {2}}} pm {frac {z} {n + z ^ {2 }}} {sqrt {{frac {~ n_ {S}, n_ {F} ~} {n}} + {frac {z ^ {2}} {4}} ~}} ~.}

Praktické pozorování z používání tohoto intervalu spočívá v tom, že má dobré vlastnosti i pro malý počet pokusů a / nebo extrémní pravděpodobnost.

Střední hodnota tohoto intervalu je intuitivně vážený průměr ${displaystyle {hat {p}}}$ a ${displaystyle {frac {1} {2}}}$ , s ${displaystyle {hat {p}}}$ získává větší váhu s rostoucí velikostí vzorku. Formálně hodnota středu odpovídá použití a pseudopočet z $1 / 2 z ²$ , počet standardních odchylek intervalu spolehlivosti: přidejte toto číslo k počtu úspěchů i neúspěchů, abyste získali odhad poměru. U běžných dvou standardních odchylek v každém směru (přibližně 95% pokrytí, což je samo o sobě přibližně 1,96 standardních odchylek), se získá odhad ${displaystyle (n_ {S} +2) / (n + 4)}$ , které je známé jako „pravidlo plus čtyři“.

I když lze kvadratickou řešit explicitně, ve většině případů lze Wilsonovy rovnice řešit také numericky pomocí iterace s pevným bodem

{displaystyle p_ {k + 1} = {hat {p}} pm zcdot {sqrt {frac {p_ {k} cdot left (1-p_ {k} ight)} {n}}}}

s ${displaystyle p_ {0} = {hat {p}}}$ .

Wilsonův interval lze odvodit z Pearsonův test chí-kvadrát se dvěma kategoriemi. Výsledný interval,

{displaystyle left {heta ,, {igg |} ,, yleq {frac {{hat {p}} - heta} {sqrt {{frac {1} {n}} heta (1- heta)}}} leq zight} ,}

pak lze vyřešit pro ${displaystyle heta}$ k vytvoření Wilsonova intervalu skóre. Test uprostřed nerovnosti je a bodový test.

Interval Wilsonova skóre s korekcí kontinuity

Wilsonův interval lze upravit použitím a korekce spojitosti, za účelem sladění minima pravděpodobnost pokrytí, spíše než průměrná pravděpodobnost, s nominální hodnotou.

Stejně jako Wilsonův interval se zrcadlí Pearsonův test chí-kvadrát, Wilsonův interval s korekcí kontinuity zrcadlí ekvivalent Yatesův chí-kvadrát test.

Následující vzorce pro dolní a horní mez intervalu Wilsonova skóre s korekcí kontinuity ${displaystyle (w ^ {-}, w ^ {+})}$ jsou odvozeny od Newcombe (1998).^[7]

{displaystyle {egin {aligned} w ^ {-} & = max left {0, {frac {2n {hat {p}} + z ^ {2} -left [z {sqrt {z ^ {2} - {frac {1} {n}} + 4n {hat {p}} (1- {hat {p}}) + (4 {hat {p}} - 2)}} + 1ight]} {2 (n + z ^ {2})}} ight} w ^ {+} & = min vlevo {1, {frac {2n {hat {p}} + z ^ {2} + vlevo [z {sqrt {z ^ {2} - {frac {1} {n}} + 4n {hat {p}} (1- {hat {p}}) - (4 {hat {p}} - 2)}} + 1ight]} {2 (n + z ^ {2})}} hned} konec {zarovnáno}}}

Pokud však p = 0, ${displaystyle w ^ {-}}$ musí být bráno jako 0; -li p = 1, ${displaystyle w ^ {+}}$ je pak 1.

Jeffreysův interval

The Jeffreysův interval má Bayesiánskou derivaci, ale má dobré frekventované vlastnosti. Zejména má vlastnosti pokrytí, které jsou podobné vlastnostem Wilsonova intervalu, ale je to jeden z mála intervalů, jehož výhodou je rovný ocas (např. pro 95% interval spolehlivosti jsou obě pravděpodobnosti intervalu ležící nad nebo pod skutečnou hodnotou blízké 2,5%). Naproti tomu Wilsonův interval má systematické zkreslení, takže je vystředěn příliš blízko p = 0.5.^[8]

Jeffreysův interval je Bayesian důvěryhodný interval získané při použití neinformativní Jeffreys před pro binomický podíl $p$ . The Jeffreys před tímto problémem je Distribuce beta s parametry $(1/2, 1/2)$ , to je před konjugátem. Po pozorování $X$ úspěchy v $n$ pokusy, zadní distribuce pro $p$ je Beta distribuce s parametry $(X + 1/2, n - X + 1/2)$ .

Když $X \neq0$ a $X \neq n$ , je Jeffreysův interval považován za $100(1 - α)%$ rovnoměrný zadní interval pravděpodobnosti, tj $α / 2$ a $1 - α / 2$ kvantily distribuce beta s parametry $(X + 1/2, n - X + 1/2)$ . Tyto kvantily je třeba počítat numericky, i když je to s moderním statistickým softwarem poměrně jednoduché.

Aby se zabránilo pravděpodobnosti pokrytí s tendencí k nule, když $p \to 0$ nebo $1$ , když $X = 0$ horní limit se počítá jako předtím, ale dolní limit je nastaven na 0 a kdy $X = n$ spodní limit se počítá jako předtím, ale horní limit je nastaven na 1.^[3]

Clopper – Pearsonův interval

Clopper – Pearsonův interval je časná a velmi běžná metoda pro výpočet binomických intervalů spolehlivosti.^[9] Často se tomu říká „přesná“ metoda, protože je založena na kumulativních pravděpodobnostech binomického rozdělení (tj. Přesně na správném rozdělení spíše než na aproximaci). V případech, kdy známe velikost populace, však intervaly nemusí být nejmenší možné. Například pro populaci velikosti 20 se skutečným podílem 50% dává Clopper-Pearson [0,272, 0,728], která má šířku 0,456 (a kde jsou hranice 0,0280 od „dalších dosažitelných hodnot“ 6/20 a 14 / 20); zatímco Wilson's dává [0,299, 0,701], což má šířku 0,401 (a je 0,0007 od dalších dosažitelných hodnot).

Interval Clopper – Pearson lze zapsat jako

{displaystyle S_ {leq} čepice S_ {geq}}

nebo ekvivalentně

{displaystyle left (inf S_ {geq} ,,, sup S_ {leq} ight)}

s

{displaystyle S_ {leq}: = left {heta ,, {Big |} ,, Pleft [operatorname {Bin} left (n; heta ight) leq xight]> {frac {alpha} {2}} ight} {ext { and}} S_ {geq}: = left {heta ,, {Big |} ,, Pleft [operatorname {Bin} left (n; heta ight) geq xight]> {frac {alpha} {2}} ight},}

kde 0 ≤ X ≤ n je počet úspěchů pozorovaných ve vzorku a Bin (n; θ) je binomická náhodná proměnná s n zkoušky a pravděpodobnost úspěchuθ.

Ekvivalentně můžeme říci, že interval Clopper – Pearson je ${extstyle left ({frac {x} {n}} - varepsilon _ {1}, {frac {x} {n}} + varepsilon _ {2} ight)}$ s úrovní spolehlivosti ${displaystyle 1-alpha}$ -li ${displaystyle varepsilon _ {i}}$ je infimum těch, že následující testy hypotéz uspějí s významem ${extstyle {frac {alpha} {2}}}$ :

H₀: ${displaystyle heta = {frac {x} {n}} - varepsilon _ {1}}$ s H._A: ${displaystyle heta> {frac {x} {n}} - varepsilon _ {1}}$
H₀: ${displaystyle heta = {frac {x} {n}} + varepsilon _ {2}}$ s H._A: ${displaystyle heta <{frac {x} {n}} + varepsilon _ {2}}$ .

Kvůli vztahu mezi binomickou distribucí a beta distribuce „Clopper – Pearsonův interval je někdy prezentován v alternativním formátu, který využívá kvantily z distribuce beta.

{displaystyle Bleft ({frac {alpha} {2}}; x, n-x + 1ight)

kde X je počet úspěchů, n je počet pokusů a B(p; proti,w) je pth kvantil z distribuce beta s parametry tvaru proti a w.

Když ${displaystyle x}$ je buď ${displaystyle 0}$ nebo ${displaystyle n}$ , jsou k dispozici uzavřené výrazy pro intervalové meze: když ${displaystyle x = 0}$ interval je ${extstyle left (0,, 1-left ({frac {alpha} {2}} ight) ^ {frac {1} {n}} ight)}$ a kdy ${displaystyle x = n}$ to je ${extstyle left (left ({frac {alpha} {2}} ight) ^ {frac {1} {n}} ,, 1ight)}$ .^[10]

Distribuce beta zase souvisí s F-distribuce takže třetí formulace Clopper – Pearsonova intervalu lze napsat pomocí F kvantilů:

{displaystyle left (1+ {frac {n-x + 1} {x, F! left [{frac {alpha} {2}}; 2x, 2 (n-x + 1) ight]}} ight) ^ { -1}

kde X je počet úspěchů, n je počet pokusů a F(C; d₁, d₂) je C kvantil z F-distribuce s d₁ a d₂ stupně svobody.^[11]

Clopper – Pearsonův interval je přesný interval, protože je založen přímo na binomickém rozdělení, nikoli na jakékoli aproximaci k binomickému rozdělení. Tento interval nikdy nemá menší než nominální pokrytí pro jakýkoli podíl populace, ale to znamená, že je obvykle konzervativní. Například skutečná míra pokrytí 95% intervalu Clopper – Pearson může být výrazně nad 95%, v závislosti na n aθ.^[3] Interval tedy může být širší, než je třeba k dosažení 95% spolehlivosti. Naproti tomu stojí za zmínku, že jiné hranice spolehlivosti mohou být užší než jejich nominální šířka spolehlivosti, tj. Normální aproximační (nebo „standardní“) interval, Wilsonův interval,^[6] Interval Agresti – Coull,^[11] atd., s nominálním pokrytím 95% může ve skutečnosti pokrýt méně než 95%.^[3]

Definici intervalu Clopper – Pearson lze také upravit tak, aby se získaly přesné intervaly spolehlivosti pro různá rozdělení. Lze jej například použít také v případě, že jsou vzorky odebírány bez nahrazení z populace známé velikosti, namísto opakovaných tahů binomické distribuce. V tomto případě by podkladovou distribucí byla hypergeometrická distribuce.

Interval Agresti – Coull

Interval Agresti – Coull je také dalším přibližným binomickým intervalem spolehlivosti.^[11]

Dáno ${displaystyle X}$ úspěchy v ${displaystyle n}$ pokusy, definovat

{displaystyle {ilde {n}} = n + z ^ {2}}

a

{displaystyle {ilde {p}} = {frac {1} {ilde {n}}} vlevo (X + {frac {z ^ {2}} {2}} vpravo)}

Poté interval spolehlivosti pro ${displaystyle p}$ darováno

{displaystyle {ilde {p}} pm z {sqrt {{frac {ilde {p}} {ilde {n}}} vlevo (1- {ilde {p}} noc)}}

kde ${displaystyle z = Phi ^ {- 1}! left (1- {frac {alpha} {2}}! ight)}$ je kvantil standardního normálního rozdělení, jako dříve (například vyžaduje 95% interval spolehlivosti ${displaystyle alpha = 0,05}$ , čímž produkuje ${displaystyle z = 1,96}$ ). Podle Hnědý, Cai a DasGupta,^[3] brát ${displaystyle z = 2}$ místo 1,96 vytvoří interval „přidání 2 úspěchů a 2 selhání“, který dříve popsal Agresti a Coull.^[11]

Tento interval lze shrnout jako použití nastavení středového bodu, ${displaystyle {ilde {p}}}$ Wilsonova intervalu skóre a poté se použije normální aproximace k tomuto bodu.^[2]^[3]

{displaystyle {ilde {p}} = {frac {{hat {p}} + {frac {z ^ {2}} {2n}}} {1+ {frac {z ^ {2}} {n}}} }}

Arcsinova transformace

Arcsine transformace má za následek vytažení konců distribuce.^[12] I když dokáže stabilizovat rozptyl (a tedy intervaly spolehlivosti) proporcionálních dat, jeho použití bylo v několika kontextech kritizováno.^[13]

Nechat X být počet úspěchů v n zkoušky a nechte p = X/n. Rozptyl p je

{displaystyle operatorname {var} (p) = {frac {p (1-p)} {n}}.}

Pomocí arc sine transformujte rozptyl arcsine z p^1/2 je^[14]

{displaystyle operatorname {var} left (arcsin left ({sqrt {p}} ight) ight) cca {frac {operatorname {var} (p)} {4p (1-p)}} = {frac {p (1- p)} {4np (1-p)}} = {frac {1} {4n}}.}

Samotný interval spolehlivosti má tedy následující podobu:

{displaystyle sin ^ {2} left (arcsin left ({sqrt {p}} ight) - {frac {z} {2 {sqrt {n}}}} ight)

kde ${displaystyle z}$ je ${displaystyle scriptstyle 1, -, {frac {alpha} {2}}}$ kvantil standardního normálního rozdělení.

Tuto metodu lze použít k odhadu rozptylu p ale jeho použití je problematické, když p je blízko 0 nebo 1.

t_A přeměnit

Nechat p být podílem úspěchů. Pro 0 ≤ A ≤ 2,

{displaystyle t_ {a} = log left ({frac {p ^ {a}} {(1-p) ^ {2-a}}} ight) = alog (p) - (2-a) log (1- p)}

Tato rodina je zevšeobecněním logitové transformace, což je zvláštní případ A = 1 a lze jej použít k transformaci proporcionální distribuce dat na přibližně normální distribuce. Parametr A je třeba odhadnout pro soubor dat.

Pravidlo tři - pro případ, že nejsou pozorovány žádné úspěchy

The pravidlo tří se používá k poskytnutí jednoduchého způsobu stanovení přibližného 95% intervalu spolehlivosti pro p, ve zvláštním případě, že žádný úspěch ( ${displaystyle {hat {p}} = 0}$ ) byly pozorovány.^[15] Interval je (0,3/n).

Podle symetrie lze očekávat pouze úspěchy ( ${displaystyle {hat {p}} = 1}$ ), interval je (1 − 3/n,1).

Porovnání různých intervalů

Existuje několik výzkumných prací, které porovnávají tyto a další intervaly spolehlivosti pro binomický podíl.^[2]^[7]^[16]^[17] Agresti i Coull (1998)^[11] a Ross (2003)^[18] zdůrazněte, že přesné metody, jako je Clopper-Pearsonův interval, nemusí fungovat stejně dobře jako určité aproximace. Normální aproximace a její prezentace v učebnicích byla kritizována a mnoho statistiků se vyslovilo pro její nepoužívání.^[3]

Z výše uvedených aproximací se ukázalo, že metody Wilsonova intervalu skóre (s korekcí kontinuity nebo bez ní) jsou nejpřesnější a nejrobustnější,^[2]^[3]^[7] ačkoli někteří dávají přednost přístupu Agresti – Coull pro větší velikosti vzorků.^[3]

Mnoho z těchto intervalů lze vypočítat v R pomocí balíčků jako "binom", nebo v Krajta pomocí balíčku „ebcic“ (Přesná binomická spolehlivost Interval Calculator).

Viz také

Reference

^ Sullivan, Lisa (2017-10-27). „Intervaly spolehlivosti“. Boston University School of Public Health.
^ ^A ^b ^C ^d Wallis, Sean A. (2013). „Binomické intervaly spolehlivosti a pohotovostní testy: matematické základy a vyhodnocení alternativních metod“ (PDF). Journal of Quantitative Linguistics. 20 (3): 178–208. doi:10.1080/09296174.2013.799918. S2CID 16741749.
^ ^A ^b ^C ^d ^E ^F ^G ^h ⁱ Brown, Lawrence D.; Cai, T. Tony; DasGupta, Anirban (2001). "Odhad intervalu pro binomický poměr". Statistická věda. 16 (2): 101–133. CiteSeerX 10.1.1.50.3025. doi:10.1214 / ss / 1009213286. PAN 1861069. Zbl 1059.62533.
^ Laplace, Pierre Simon (1812). Théorie analytique des probabilités (francouzsky). Ve. Courcier. str. 283.
^ Jak vypočítat standardní chybu poměru pomocí vážených dat?
^ ^A ^b Wilson, E. B. (1927). "Pravděpodobný závěr, zákon posloupnosti a statistický závěr". Journal of the American Statistical Association. 22 (158): 209–212. doi:10.1080/01621459.1927.10502953. JSTOR 2276774.
^ ^A ^b ^C Newcombe, R. G. (1998). "Oboustranné intervaly spolehlivosti pro jediný podíl: srovnání sedmi metod". Statistika v medicíně. 17 (8): 857–872. doi:10.1002 / (SICI) 1097-0258 (19980430) 17: 8 <857 :: AID-SIM777> 3.0.CO; 2-E. PMID 9595616.
^ Cai, TT (2005). "Jednostranné intervaly spolehlivosti v diskrétních distribucích". Journal of Statistical Planning and Inference. 131 (1): 63–88. doi:10.1016 / j.jspi.2004.01.005.
^ Clopper, C .; Pearson, E. S. (1934). Msgstr "Použití důvěryhodnosti nebo výchozích limitů ilustrovaných v případě dvojčlenu". Biometrika. 26 (4): 404–413. doi:10.1093 / biomet / 26.4.404.
^ Thulin, Måns (01.01.2014). "Náklady na použití přesných intervalů spolehlivosti pro binomický podíl". Elektronický statistický věstník. 8 (1): 817–840. arXiv:1303.1288. doi:10.1214 / 14-EJS909. ISSN 1935-7524. S2CID 88519382.
^ ^A ^b ^C ^d ^E Agresti, Alan; Coull, Brent A. (1998). "Přibližný je lepší než 'přesný' pro intervalový odhad binomických rozměrů". Americký statistik. 52 (2): 119–126. doi:10.2307/2685469. JSTOR 2685469. PAN 1628435.
^ Holland, Steven. „Transformace proporcí a procent. vrstvy.uga.edu. Citováno 2020-09-08.
^ Warton, David I .; Hui, Francis K. C. (leden 2011). „Arcsine je asinine: analýza proporcí v ekologii“. Ekologie. 92 (1): 3–10. doi:10.1890/10-0340.1. hdl:1885/152287. ISSN 0012-9658.
^ Shao J (1998) Matematická statistika. Springer. New York, New York, USA
^ Steve Simon (2010) „Interval spolehlivosti s nulovými událostmi“ The Hospital of Mercy Hospital, Kansas City, Mo. (webové stránky: „Ask Professor Mean at Statistická témata nebo lékařský výzkum Archivováno 15. října 2011 v Wayback Machine )
^ Reiczigel, J (2003). "Intervaly spolehlivosti pro binomický parametr: některé nové úvahy" (PDF). Statistika v medicíně. 22 (4): 611–621. doi:10.1002 / sim.1320. PMID 12590417.
^ Sauro J., Lewis J.R. (2005) "Porovnání Waldových, Adj-Waldových, přesných a Wilsonových kalkulaček intervalů" Archivováno 18. 06. 2012 na Wayback Machine. Sborník společnosti Human Factors and Ergonomics Society, 49. výroční zasedání (HFES 2005), Orlando, FL, s. 2100–2104
^ Ross, T. D. (2003). „Přesné intervaly spolehlivosti pro binomický podíl a odhad Poissonovy rychlosti“. Počítače v biologii a medicíně. 33 (6): 509–531. doi:10.1016 / S0010-4825 (03) 00019-2. PMID 12878234.

[Sullivan-1] Sullivan, Lisa (2017-10-27). „Intervaly spolehlivosti“. Boston University School of Public Health.

[Wallis2013-2] A ^b ^C ^d Wallis, Sean A. (2013). „Binomické intervaly spolehlivosti a pohotovostní testy: matematické základy a vyhodnocení alternativních metod“ (PDF). Journal of Quantitative Linguistics. 20 (3): 178–208. doi:10.1080/09296174.2013.799918. S2CID 16741749.

[Brown2001-3] A ^b ^C ^d ^E ^F ^G ^h ⁱ Brown, Lawrence D.; Cai, T. Tony; DasGupta, Anirban (2001). "Odhad intervalu pro binomický poměr". Statistická věda. 16 (2): 101–133. CiteSeerX 10.1.1.50.3025. doi:10.1214 / ss / 1009213286. PAN 1861069. Zbl 1059.62533.

[4] Laplace, Pierre Simon (1812). Théorie analytique des probabilités (francouzsky). Ve. Courcier. str. 283.

[5] Jak vypočítat standardní chybu poměru pomocí vážených dat?

[Wilson1927-6] A ^b Wilson, E. B. (1927). "Pravděpodobný závěr, zákon posloupnosti a statistický závěr". Journal of the American Statistical Association. 22 (158): 209–212. doi:10.1080/01621459.1927.10502953. JSTOR 2276774.

[New-7] A ^b ^C Newcombe, R. G. (1998). "Oboustranné intervaly spolehlivosti pro jediný podíl: srovnání sedmi metod". Statistika v medicíně. 17 (8): 857–872. doi:10.1002 / (SICI) 1097-0258 (19980430) 17: 8 <857 :: AID-SIM777> 3.0.CO; 2-E. PMID 9595616.

[8] Cai, TT (2005). "Jednostranné intervaly spolehlivosti v diskrétních distribucích". Journal of Statistical Planning and Inference. 131 (1): 63–88. doi:10.1016 / j.jspi.2004.01.005.

[9] Clopper, C .; Pearson, E. S. (1934). Msgstr "Použití důvěryhodnosti nebo výchozích limitů ilustrovaných v případě dvojčlenu". Biometrika. 26 (4): 404–413. doi:10.1093 / biomet / 26.4.404.

[10] Thulin, Måns (01.01.2014). "Náklady na použití přesných intervalů spolehlivosti pro binomický podíl". Elektronický statistický věstník. 8 (1): 817–840. arXiv:1303.1288. doi:10.1214 / 14-EJS909. ISSN 1935-7524. S2CID 88519382.

[AgrestiCoull1998-11] A ^b ^C ^d ^E Agresti, Alan; Coull, Brent A. (1998). "Přibližný je lepší než 'přesný' pro intervalový odhad binomických rozměrů". Americký statistik. 52 (2): 119–126. doi:10.2307/2685469. JSTOR 2685469. PAN 1628435.

[12] Holland, Steven. „Transformace proporcí a procent. vrstvy.uga.edu. Citováno 2020-09-08.

[13] Warton, David I .; Hui, Francis K. C. (leden 2011). „Arcsine je asinine: analýza proporcí v ekologii“. Ekologie. 92 (1): 3–10. doi:10.1890/10-0340.1. hdl:1885/152287. ISSN 0012-9658.

[Shao1998-14] Shao J (1998) Matematická statistika. Springer. New York, New York, USA

[15] Steve Simon (2010) „Interval spolehlivosti s nulovými událostmi“ The Hospital of Mercy Hospital, Kansas City, Mo. (webové stránky: „Ask Professor Mean at Statistická témata nebo lékařský výzkum Archivováno 15. října 2011 v Wayback Machine )

[Rei-16] Reiczigel, J (2003). "Intervaly spolehlivosti pro binomický parametr: některé nové úvahy" (PDF). Statistika v medicíně. 22 (4): 611–621. doi:10.1002 / sim.1320. PMID 12590417.

[SL-17] Sauro J., Lewis J.R. (2005) "Porovnání Waldových, Adj-Waldových, přesných a Wilsonových kalkulaček intervalů" Archivováno 18. 06. 2012 na Wayback Machine. Sborník společnosti Human Factors and Ergonomics Society, 49. výroční zasedání (HFES 2005), Orlando, FL, s. 2100–2104

[Ross-18] Ross, T. D. (2003). „Přesné intervaly spolehlivosti pro binomický podíl a odhad Poissonovy rychlosti“. Počítače v biologii a medicíně. 33 (6): 509–531. doi:10.1016 / S0010-4825 (03) 00019-2. PMID 12878234.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

[14]

[15]

[16]

[17]

[18]