Wallisovy integrály - Wallis integrals - Wikipedia

v matematika a přesněji v analýza, Wallisovy integrály tvoří rodinu integrály představil John Wallis.

Definice, základní vlastnosti

The Wallisovy integrály jsou pojmy sekvence ${ displaystyle (W_ {n}) _ {n geq 0}}$ definován

${ displaystyle W_ {n} = int _ {0} ^ { frac { pi} {2}} sin ^ {n} x , dx,}$

nebo ekvivalentně (nahrazením ${ displaystyle x = { tfrac { pi} {2}} - t}$),

${ displaystyle W_ {n} = int _ {0} ^ { frac { pi} {2}} cos ^ {n} x , dx.}$

Prvních několik termínů této sekvence je:

${ displaystyle W_ {0}}$	${ displaystyle W_ {1}}$	${ displaystyle W_ {2}}$	${ displaystyle W_ {3}}$	${ displaystyle W_ {4}}$	${ displaystyle W_ {5}}$	${ displaystyle W_ {6}}$	${ displaystyle W_ {7}}$	${ displaystyle W_ {8}}$	...	${ displaystyle W_ {n}}$
${ displaystyle { frac { pi} {2}}}$	${ displaystyle 1}$	${ displaystyle { frac { pi} {4}}}$	${ displaystyle { frac {2} {3}}}$	${ displaystyle { frac {3 pi} {16}}}$	${ displaystyle { frac {8} {15}}}$	${ displaystyle { frac {5 pi} {32}}}$	${ displaystyle { frac {16} {35}}}$	${ displaystyle { frac {35 pi} {256}}}$	...	${ displaystyle { frac {n-1} {n}} W_ {n-2}}$

Sekvence ${ displaystyle (W_ {n})}$ klesá a má pozitivní podmínky. Ve skutečnosti pro všechny ${ displaystyle n geq 0:}$

• ${ displaystyle W_ {n}> 0,}$ protože se jedná o integrál nezáporné spojité funkce, která není identicky nulová;
• ${ displaystyle W_ {n} -W_ {n + 1} = int _ {0} ^ { frac { pi} {2}} sin ^ {n} x , dx- int _ {0} ^ { frac { pi} {2}} sin ^ {n + 1} x , dx = int _ {0} ^ { frac { pi} {2}} ( sin ^ {n} x) (1- sin x) , dx> 0,}$ opět proto, že poslední integrál má nezápornou funkci.

Od sekvence ${ displaystyle (W_ {n})}$ klesá a je ohraničen pod 0, konverguje k nezápornému limitu. Ve skutečnosti je limit nulový (viz níže).

Vztah opakování

Prostřednictvím integrace po částech, a relace opakování lze získat. Používání identity ${ displaystyle sin ^ {2} x = 1- cos ^ {2} x}$, máme pro všechny ${ displaystyle n geq 2}$,

${ displaystyle { begin {aligned} int _ {0} ^ { frac { pi} {2}} sin ^ {n} x , dx & = int _ {0} ^ { frac { pi} {2}} ( sin ^ {n-2} x) (1- cos ^ {2} x) , dx & = int _ {0} ^ { frac { pi} { 2}} sin ^ {n-2} x , dx- int _ {0} ^ { frac { pi} {2}} sin ^ {n-2} x cos ^ {2} x , dx. qquad { text {Rovnice (1)}} end {zarovnáno}}}$

Integrace druhého integrálu po částech s:

• ${ displaystyle u '(x) = cos (x) sin ^ {n-2} (x)}$, jehož anti-derivát je ${ displaystyle u (x) = { frac {1} {n-1}} sin ^ {n-1} (x)}$
• ${ displaystyle v (x) = cos (x)}$, jehož derivát je ${ displaystyle v '(x) = - sin (x)}$

my máme:

${ displaystyle int _ {0} ^ { frac { pi} {2}} sin ^ {n-2} x cos ^ {2} x , dx = left [{ frac { sin ^ {n-1} x} {n-1}} cos x right] _ {0} ^ { frac { pi} {2}} + { frac {1} {n-1}} int _ {0} ^ { frac { pi} {2}} sin ^ {n-1} x sin x , dx = 0 + { frac {1} {n-1}} W_ {n }.}$

Dosazením tohoto výsledku do rovnice (1) se získá

${ displaystyle W_ {n} = W_ {n-2} - { frac {1} {n-1}} W_ {n},}$

a tudíž

${ displaystyle W_ {n} = { frac {n-1} {n}} W_ {n-2},}$

pro všechny ${ displaystyle n geq 2.}$

Toto je relace opakování ${ displaystyle W_ {n}}$ ve smyslu ${ displaystyle W_ {n-2}}$. To spolu s hodnotami ${ displaystyle W_ {0}}$ a ${ displaystyle W_ {1},}$ dejte nám dvě sady vzorců pro výrazy v pořadí ${ displaystyle (W_ {n})}$, podle toho, zda ${ displaystyle n}$ je liché nebo sudé:

• ${ displaystyle W_ {2p} = { frac {2p-1} {2p}} cdot { frac {2p-3} {2p-2}} cdots { frac {1} {2}} W_ { 0} = { frac {(2p-1) !!} {(2p) !!}} cdot { frac { pi} {2}} = { frac {(2p)!} {2 ^ { 2p} (p!) ^ {2}}} cdot { frac { pi} {2}},}$
• ${ displaystyle W_ {2p + 1} = { frac {2p} {2p + 1}} cdot { frac {2p-2} {2p-1}} cdots { frac {2} {3}} W_ {1} = { frac {(2p) !!} {(2p + 1) !!}} = { frac {2 ^ {2p} (p!) ^ {2}} {(2p + 1) !}}.}$

Další vztah k hodnocení Wallisových integrálů

Wallisovy integrály lze vyhodnotit pomocí Eulerovy integrály:

1. Euler integrální prvního druhu: Funkce Beta:

   ${ displaystyle mathrm {B} (x, y) = int _ {0} ^ {1} t ^ {x-1} (1-t) ^ {y-1} , dt = { frac { Gamma (x) Gamma (y)} { Gamma (x + y)}}}$ pro Re(X), Re (y) > 0

2. Eulerův integrál druhého druhu: Funkce gama:

   ${ displaystyle Gamma (z) = int _ {0} ^ { infty} t ^ {z-1} e ^ {- t} , dt}$ pro Re(z) > 0.

Pokud ve funkci Beta provedeme následující substituci:${ displaystyle quad left {{ begin {matrix} t = sin ^ {2} u 1-t = cos ^ {2} u dt = 2 sin u cos u, , du end {matrix}} right.}$
získáváme:

${ displaystyle mathrm {B} (a, b) = 2 int _ {0} ^ { frac { pi} {2}} sin ^ {2a-1} u cos ^ {2b-1} u , du,}$

To nám dává následující vztah k vyhodnocení Wallisových integrálů:

${ displaystyle W_ {n} = { frac {1} {2}} mathrm {B} vlevo ({ frac {n + 1} {2}}, { frac {1} {2}} right) = { frac { Gamma left ({ tfrac {n + 1} {2}} right) Gamma left ({ tfrac {1} {2}} right)} {2 , Gamma left ({ tfrac {n} {2}} + 1 right)}}}$

Takže pro zvláštní ${ displaystyle n}$, psaní ${ displaystyle n = 2p + 1}$, my máme:

${ displaystyle W_ {2p + 1} = { frac { gama vlevo (p + 1 vpravo) gama vlevo ({ frac {1} {2}} vpravo)} {2 , gama left (p + 1 + { frac {1} {2}} right)}} = { frac {p! Gamma left ({ frac {1} {2}} right)} {( 2p + 1) , Gamma left (p + { frac {1} {2}} right)}} = { frac {2 ^ {p} ; p!} {(2p + 1) !! }} = { frac {2 ^ {2 , p} ; (p!) ^ {2}} {(2p + 1)!}}}$

zatímco pro sudé ${ displaystyle n}$, psaní ${ displaystyle n = 2p}$ a to věděl ${ displaystyle Gamma ({ tfrac {1} {2}}) = { sqrt { pi}}}$, dostaneme :

${ displaystyle W_ {2p} = { frac { Gamma doleva (p + { frac {1} {2}} doprava) Gamma doleva ({ frac {1} {2}} doprava)} {2 , Gamma left (p + 1 right)}} = { frac {(2p-1) !! ; pi} {2 ^ {p + 1} ; p!}} = { frac {(2p)!} {2 ^ {2 , p} ; (p!) ^ {2}}} cdot { frac { pi} {2}}.}$

Rovnocennost

• Z výše uvedeného vzorce opakování ${ displaystyle mathbf {(2)}}$, to můžeme odvodit

${ displaystyle W_ {n + 1} sim W_ {n}}$ (ekvivalence dvou sekvencí).

Ve skutečnosti pro všechny ${ displaystyle n in , mathbb {N}}$ :

${ displaystyle W_ {n + 2} leqslant W_ {n + 1} leqslant W_ {n}}$ (protože sekvence klesá)

${ displaystyle { frac {W_ {n + 2}} {W_ {n}}} leqslant { frac {W_ {n + 1}} {W_ {n}}} leqslant 1}$ (od té doby ${ displaystyle W_ {n}> 0}$)

${ displaystyle { frac {n + 1} {n + 2}} leqslant { frac {W_ {n + 1}} {W_ {n}}} leqslant 1}$ (podle rovnice ${ displaystyle mathbf {(2)}}$).

Podle sendvičová věta z toho usuzujeme ${ displaystyle { frac {W_ {n + 1}} {W_ {n}}} až 1}$, a tedy ${ displaystyle W_ {n + 1} sim W_ {n}}$.

• Zkoumáním ${ displaystyle W_ {n} W_ {n + 1}}$, jeden získá následující ekvivalenci:

${ displaystyle W_ {n} sim { sqrt { frac { pi} {2 , n}}} quad}$ ( a následně ${ displaystyle quad lim _ {n rightarrow infty} { sqrt {n}} , W_ {n} = { sqrt { pi / 2}} quad}$ ).

Odpočítávání Stirlingova vzorce

Předpokládejme, že máme následující ekvivalenci (známou jako Stirlingův vzorec ):

${ displaystyle n! sim C { sqrt {n}} vlevo ({ frac {n} {e}} vpravo) ^ {n},}$

pro nějakou konstantu ${ displaystyle C}$ které chceme určit. Z výše uvedeného máme

${ displaystyle W_ {2p} sim { sqrt { frac { pi} {4p}}} = { frac { sqrt { pi}} {2 { sqrt {p}}}}}$ (rovnice (3))

Rozšiřuje se ${ displaystyle W_ {2p}}$ a pomocí výše uvedeného vzorce pro faktoriály dostaneme

${ displaystyle { begin {aligned} W_ {2p} & = { frac {(2p)!} {2 ^ {2p} (p!) ^ {2}}} cdot { frac { pi} { 2}} & sim { frac {C vlevo ({ frac {2p} {e}} vpravo) ^ {2p} { sqrt {2p}}} {2 ^ {2p} C ^ { 2} left ({ frac {p} {e}} right) ^ {2p} left ({ sqrt {p}} right) ^ {2}}} cdot { frac { pi} {2}} & = { frac { pi} {C { sqrt {2p}}}}. { Text {(rovnice (4))}} end {zarovnáno}}}$

Z (3) a (4) získáme tranzitivitou:

${ displaystyle { frac { pi} {C { sqrt {2p}}}} sim { frac { sqrt { pi}} {2 { sqrt {p}}}}.}$

Řešení pro ${ displaystyle C}$ dává ${ displaystyle C = { sqrt {2 pi}}.}$ Jinými slovy,

${ displaystyle n! sim { sqrt {2 pi n}} vlevo ({ frac {n} {e}} vpravo) ^ {n}.}$

Hodnocení Gaussovské integrály

The Gaussův integrál lze vyhodnotit pomocí Wallisových integrálů.

Nejprve dokážeme následující nerovnosti:

• ${ displaystyle forall n in mathbb {N} ^ {*} quad forall u in mathbb {R} _ {+} quad u leqslant n quad Rightarrow quad (1-u / n) ^ {n} leqslant e ^ {- u}}$
• ${ displaystyle forall n in mathbb {N} ^ {*} quad forall u in mathbb {R} _ {+} qquad e ^ {- u} leqslant (1 + u / n) ^ {- n}}$

Ve skutečnosti, nechat ${ displaystyle quad u / n = t}$, první nerovnost (ve které ${ displaystyle t v [0,1]}$) je ekvivalentní s ${ displaystyle 1-t leqslant e ^ {- t}}$; zatímco druhá nerovnost klesá na${ displaystyle e ^ {- t} leqslant (1 + t) ^ {- 1}}$, který se stává ${ displaystyle e ^ {t} geqslant 1 + t}$Tyto 2 poslední nerovnosti vyplývají z konvexnosti exponenciální funkce (nebo z analýzy funkce ${ displaystyle t mapsto e ^ {t} -1-t}$).

Pronájem ${ displaystyle u = x ^ {2}}$ a využíváme základní vlastnosti nesprávných integrálů (konvergence integrálů je zřejmá), dostaneme nerovnosti:

${ displaystyle int _ {0} ^ { sqrt {n}} (1-x ^ {2} / n) ^ {n} dx leqslant int _ {0} ^ { sqrt {n}} e ^ {- x ^ {2}} dx leqslant int _ {0} ^ {+ infty} e ^ {- x ^ {2}} dx leqslant int _ {0} ^ {+ infty} ( 1 + x ^ {2} / n) ^ {- n} dx}$pro použití s sendvičová věta (tak jako ${ displaystyle n to infty}$).

První a poslední integrál lze snadno vyhodnotit pomocí integrálů společnosti Wallis ${ displaystyle x = { sqrt {n}} , sin , t}$(t měnící se od 0 do ${ displaystyle pi / 2}$Potom se stane integrál ${ displaystyle { sqrt {n}} , W_ {2n + 1}}$U posledního integrálu nechte ${ displaystyle x = { sqrt {n}} , tan , t}$(t lišící se od ${ displaystyle 0}$ na ${ displaystyle pi / 2}$) Potom se to stane ${ displaystyle { sqrt {n}} , W_ {2n-2}}$.

Jak jsme již ukázali dříve,${ displaystyle lim _ {n rightarrow + infty} { sqrt {n}} ; W_ {n} = { sqrt { pi / 2}}}$. Z toho tedy vyplývá${ displaystyle int _ {0} ^ {+ infty} e ^ {- x ^ {2}} dx = { sqrt { pi}} / 2}$.

Poznámka: Existují i ​​jiné metody hodnocení Gaussova integrálu, některé z nich jsou přímější.

Poznámka

Stejné vlastnosti vedou k Produkt Wallis, který vyjadřuje ${ displaystyle { frac { pi} {2}} ,}$(vidět ${ displaystyle pi}$ ) ve formě nekonečný produkt.

externí odkazy

• Pascal Sebah a Xavier Gourdon. Úvod do funkce gama. v PostScript a HTML formáty.