Trisectrix z maklaurinu - Trisectrix of Maclaurin

Maclaurinova Trisectrix jako místo průniku dvou rotujících linií

v geometrie, trisectrix z Maclaurinu je křivka kubické roviny pozoruhodný jeho trisectrix vlastnost, což znamená, že ji lze použít k trisekci úhlu. Lze jej definovat jako místo průsečíku dvou přímek, z nichž každá se otáčí rovnoměrně kolem samostatných bodů, takže poměr rychlostí otáčení je 1: 3 a přímky se původně kryjí s přímkou mezi dvěma body . Zevšeobecnění této konstrukce se nazývá a sectrix of Maclaurin. Křivka je pojmenována po Colin Maclaurin který zkoumal křivku v roce 1742.

Rovnice

Nechte dvě čáry rotovat kolem bodů ${ displaystyle P = (0,0)}$ a ${ displaystyle P_ {1} = (a, 0)}$ takže když se čára otáčí kolem ${ displaystyle P}$ má úhel ${ displaystyle theta}$ s X osa, rotující kolem ${ displaystyle P_ {1}}$ má úhel ${ displaystyle 3 theta}$ . Nechat ${ displaystyle Q}$ být průsečík, pak úhel tvořený přímkami v ${ displaystyle Q}$ je ${ displaystyle 2 theta}$ . Podle sinusový zákon,

{ displaystyle {r over sin 3 theta} = {a over sin 2 theta} !}

takže rovnice v polární souřadnice je (až do překladu a rotace)

{ displaystyle r = a { frac { sin 3 theta} { sin 2 theta}} = {a nad 2} { frac {4 cos ^ {2} theta -1} { cos theta}} = {a nad 2} (4 cos theta - sec theta) !}

.

Křivka je tedy členem Conchoid de de Sluze rodina.

v Kartézské souřadnice rovnice této křivky je

{ displaystyle 2x (x ^ {2} + y ^ {2}) = a (3x ^ {2} -y ^ {2}) !}

.

Pokud původ je přesunuto do (A, 0), potom derivace podobná výše uvedené ukazuje, že rovnice křivky v polárních souřadnicích se stane

{ displaystyle r = { frac {a} {2 cos { theta nad 3}}} !}

což je příklad epispiral.

Vlastnost trisekce

Trisectrix of Maclaurin ukazující vlastnost úhlové trisekce

Vzhledem k úhlu ${ displaystyle phi}$ , nakreslete paprsek z ${ displaystyle (a, 0)}$ jehož úhel s ${ displaystyle x}$ -os je ${ displaystyle phi}$ . Nakreslete paprsek od počátku do bodu, kde první paprsek protíná křivku. Poté, vytvořením křivky, úhel mezi druhým paprskem a ${ displaystyle x}$ -os je ${ displaystyle phi / 3}$

Pozoruhodné body a vlastnosti

Křivka má x-zachytit na ${ displaystyle 3a nad 2}$ a a dvojitý bod na počátku. Svislá čára ${ displaystyle x = {- {a nad 2}}}$ je asymptot. Křivka protíná přímku x = a nebo bod odpovídající trisekci pravého úhlu v ${ displaystyle (a, { pm {1 nad { sqrt {3}}} a})}$ . Jako nodální krychlový to je rod nula.