Limaçon trisectrix - Limaçon trisectrix

Limaçon Trisectrix

v geometrie, a limaçon trisectrix (nazývá se jednoduše a trisectrix od některých autorů) je členem Limaçon rodina křivky který má trisectrix nebo úhlová trisekce, vlastnictví. Lze jej definovat jako lokus průsečíku dvou přímek, z nichž každá se otáčí rovnoměrně kolem samostatných bodů, takže poměr rychlostí otáčení je 2: 3 a přímky se původně kryjí s přímkou ​​mezi dvěma body . Jedná se tedy o příklad a sectrix of Maclaurin.

Rovnice

Pokud se první řádek otáčí kolem počátku, tvoří úhel ${displaystyle heta}$ s ${displaystyle x}$-osa a druhá čára se otáčí kolem bodu ${displaystyle (a, 0)}$ s úhlem ${displaystyle {3 heta nad 2}}$, pak úhel mezi nimi je ${displaystyle {heta nad 2}}$a Zákon Sines lze použít k určení vzdálenosti od průsečíku k počátku jako

${displaystyle r = a {frac {sin {frac {3} {2}} heta} {sin {frac {1} {2}} heta}} = a (3cos ^ {2} {frac {1} {2} } heta -sin ^ {2} {frac {1} {2}} heta) = a (1 + 2cos heta)}$.

To je rovnice s polární souřadnice, což ukazuje, že křivka je Limaçon. Křivka se kříží v počátku, nejpravější bod vnější smyčky je v ${displaystyle (3a, 0)}$ a špička vnitřní smyčky je na ${displaystyle (a, 0)}$.

Pokud je křivka posunuta tak, že počátek je na špičce vnitřní smyčky, stane se rovnice

${displaystyle r = 2acos {heta nad 3}}$

tak je to také v růže rodina křivek.

Vlastnost trisekce

druhá metoda: ${displaystyle eta = {frac {1} {3}} alfa}$

Existuje několik způsobů, jak použít křivku k trisekci úhlu. Nechat ${displaystyle varphi}$ být úhel, který má být rozříznut. Nejprve nakreslete paprsek ze špičky malé smyčky na ${displaystyle (a, 0)}$ s úhlem ${displaystyle varphi}$ s ${displaystyle x}$-osa. Nechat ${displaystyle P}$ je bod, kde paprsek protíná křivku, předpokládá se, že je na vnější smyčce, pokud ${displaystyle varphi}$ je malý. Nakreslete další paprsek od počátku do ${displaystyle P}$. Pak úhel mezi dvěma paprsky na ${displaystyle P}$ trisects ${displaystyle varphi}$. To snadno vyplývá z výše uvedené konstrukce křivky.

U druhé metody nakreslete kružnici o poloměru ${displaystyle a}$ a centrovat na počátek. Nakreslete paprsek z počátku s úhlem ${displaystyle varphi}$ s ${displaystyle x}$-osa. Nechat ${displaystyle C}$ být bodem, kde tento paprsek protíná kruh a kreslí čáru ${displaystyle C}$ na ${displaystyle (a, 0)}$. Nechat ${displaystyle P '}$ je bod, kde tato přímka protíná křivku, předpokládá se, že je na vnitřní smyčce, pokud ${displaystyle varphi}$ je malý. Linka od počátku do ${displaystyle P '}$ má úhel ${displaystyle {varphi nad 3}}$ s ${displaystyle x}$-osa.

Otáčením křivky se stává druhá forma rovnice

${displaystyle r = asin {heta nad 3}}$.

Pokud je tedy pravý trojúhelník sestaven se stranou ${displaystyle r}$ a přepona ${displaystyle a}$ pak úhel mezi nimi bude ${displaystyle {heta nad 3}}$. Z toho je jednoduché vygenerovat třetí metodu.

Reference

• „Limaçon“ na 2dcurves.com
• „Trisectrix“ at A Visual Dictionary of Special Plane Curves
• "Limaçon Trisecteur" ve společnosti Encyclopédie des Formes Mathématiques Remarquables
• Jim „Trisection of an Angle“, část VI (archivovaná verze) Poskytuje 5 různých způsobů, jak pomocí této křivky trisect úhel.