Funkce Källén - Källén function

The Funkce Källén, také známý jako funkce trojúhelníku, je polynomiální funkce ve třech proměnných, která se objevuje v geometrii a fyzice částic. V druhém poli je obvykle označen symbolem ${ displaystyle lambda}$. Je pojmenována po teoretickém fyzikovi Gunnar Källén, který ji ve své učebnici představil jako krátkou ruku Fyzika základních částic.^[1]

Definice

Funkce je dána kvadratickým polynomem ve třech proměnných

${ displaystyle lambda (x, y, z) equiv x ^ {2} + y ^ {2} + z ^ {2} -2xy-2yz-2zx.}$

Aplikace

V geometrii funkce popisuje oblast ${ displaystyle A}$ trojúhelníku s bočními délkami ${ displaystyle a, b, c}$:

${ displaystyle A = { frac {1} {4}} { sqrt {- lambda (a ^ {2}, b ^ {2}, c ^ {2})}}}}$

Viz také Heronův vzorec.

Funkce se přirozeně objeví v Kinematika z relativistické částice, např. při vyjádření složek energie a hybnosti ve středu hmotného rámu pomocí Proměnné Mandelstam.^[2]

Vlastnosti

Funkce je (samozřejmě) symetrická v permutacích svých argumentů a také nezávislá na společném znaménkovém překlopení jejích argumentů:

${ displaystyle lambda (-x, -y, -z) = lambda (x, y, z).}$

Li ${ displaystyle y, z> 0}$ polynom faktorizuje do dvou faktorů

${ displaystyle lambda (x, y, z) = (x - ({ sqrt {y}} + { sqrt {z}}) ^ {2}) (x - ({ sqrt {y}} - { sqrt {z}}) ^ {2}).}$

Li ${ displaystyle x, y, z> 0}$ polynom faktorizuje do čtyř faktorů

${ displaystyle lambda (x, y, z) = - ({ sqrt {x}} + { sqrt {y}} + { sqrt {z}}) (- { sqrt {x}} + { sqrt {y}} + { sqrt {z}}) ({ sqrt {x}} - { sqrt {y}} + { sqrt {z}}) ({ sqrt {x}} + { sqrt {y}} - { sqrt {z}}).}$

Jeho nejkondenzovanější forma je

${ displaystyle lambda (x, y, z) = (x-y-z) ^ {2} -4yz.}$

Zajímavé zvláštní případy jsou^{[2]:ekv. (II.6.8–9)}

${ displaystyle lambda (x, y, y) = x (x-4y) ,,}$

${ displaystyle lambda (x, y, 0) = (x-y) ^ {2} ,.}$

Reference