Časově se vyvíjející decimace bloku - Time-evolving block decimation

tento článek potřebuje další citace pro ověření. Prosím pomozte vylepšit tento článek podle přidávání citací ke spolehlivým zdrojům. Zdroj bez zdroje může být napaden a odstraněn. Najít zdroje: "Časově se vyvíjející decimace bloku"  – zprávy  · noviny  · knihy  · učenec  · JSTOR (Březen 2011) (Zjistěte, jak a kdy odstranit tuto zprávu šablony)

The časově se vyvíjející decimace bloku (TEBD) algoritmus je numerické schéma používané k simulaci jednorozměrného kvantová systémy mnoha těl, charakterizované nanejvýš interakcemi nejbližších sousedů. Nazývá se Time-evolving Block Decimation, protože dynamicky identifikuje příslušné nízkodimenzionální Hilbertovy podprostory exponenciálně většího originálu Hilbertův prostor. Algoritmus, založený na formalizmu Matrix Product States, je vysoce efektivní, když je množství zapletení v systému je omezený, požadavek splněný velkou třídou kvantových systémů mnoha těl v jedné dimenzi.

Úvod

tento článek je psán jako osobní reflexe, osobní esej nebo argumentační esej který uvádí osobní pocity editora Wikipedie nebo představuje originální argument o tématu. Prosím pomozte to vylepšit přepsáním do encyklopedický styl. (Říjen 2010) (Zjistěte, jak a kdy odstranit tuto zprávu šablony)

V současné době existuje značný zájem o oblast kvantové teorie o výpočetní metody vhodné pro fyziku systémů mnoha těl. Vzhledem k inherentním obtížím simulace obecných kvantových systémů mnoha těl, exponenciální nárůst v parametrech s velikostí systému a odpovídajícími vysokými výpočetními náklady by jedním řešením bylo hledat numerické metody, které se zabývají zvláštními případy, kdy lze těžit z fyziky systému. Surový přístup, přímý přístup ke všem parametrům použitým k úplné charakterizaci kvantového systému mnoha těl, je vážně narušen bohatě exponenciálním nárůstem s velikostí systému a množstvím proměnných potřebných pro simulaci, což v nejlepším případě vede k k nepřiměřeně dlouhým výpočtovým časům a rozšířenému využití paměti. Aby bylo možné tento problém obejít, bylo v průběhu času vyvinuto a zavedeno do praxe několik různých metod, přičemž jednou z nejúspěšnějších je kvantová metoda Monte Carlo (QMC). Také skupina renormalizace matice hustoty (DMRG) metoda, vedle QMC, je velmi spolehlivá metoda s rozšiřující se komunitou uživatelů a rostoucím počtem aplikací do fyzických systémů.

Když první kvantový počítač Je-li zapojen a funguje, bude perspektiva pro oblast výpočetní fyziky vypadat docela slibně, ale do té doby se člověk musí omezit na pozemské nástroje nabízené klasickými počítači. Zatímco experimentální fyzici vynakládají velké úsilí na to, aby postavili první kvantový počítač, teoretičtí fyzici hledají v oblasti kvantová informace teorie (QIT), pro skutečné kvantové algoritmy, vhodné pro problémy, které by fungovaly špatně, když by se snažily vyřešit na klasickém počítači, ale docela rychle a úspěšně na kvantovém. Hledání těchto algoritmů stále pokračuje, nejznámější (a téměř jediné nalezené) jsou Shorův algoritmus, pro factoring velké počty a Groverův vyhledávací algoritmus.

V oblasti QIT je třeba identifikovat primární zdroje nezbytné pro skutečný kvantový výpočet. Takový zdroj může být zodpovědný za nárůst zrychlení v kvantové versus klasické, jejich identifikace znamená také identifikaci systémů, které lze na klasickém počítači simulovat přiměřeně účinným způsobem. Takový zdroj je Kvantové zapletení; proto je možné stanovit zřetelnou dolní mez pro zapletení potřebné pro kvantová výpočetní zrychlení.

Guifré Vidal, pak v Ústavu pro kvantové informace, Caltech, nedávno navrhl schéma užitečné pro simulaci určité kategorie kvanta^[1] systémy. Tvrdí to „jakýkoli kvantový výpočet s čistými stavy lze efektivně simulovat na klasickém počítači za předpokladu, že je dostatečně omezeno množství zapletení“.To se stává v případě generik Hamiltonians zobrazování místních interakcí, například Hubbard - jako Hamiltonians. Metoda vykazuje polynomiální chování nízkého stupně při zvyšování výpočetního času s ohledem na množství zapletení přítomného v systému. Algoritmus je založen na schématu, které využívá skutečnosti, že v těchto jednorozměrných systémech vlastní hodnoty redukovaného matice hustoty na bipartitním rozdělení systému exponenciálně chátrají, což nám umožňuje pracovat v prostoru nové velikosti překlenutém vlastními vektory odpovídajícími vlastní čísla jsme vybrali.

Lze také odhadnout množství výpočetních zdrojů potřebných pro simulaci kvantového systému na klasickém počítači, protože je známo, jak se zapletení obsažené v systému mění s velikostí systému. Klasicky (a také kvantově) proveditelné simulace jsou ty, které zahrnují systémy pouze lehce zapletené - ty silně zapletené jsou na druhé straně dobrými kandidáty pouze pro skutečné kvantové výpočty.

Numerická metoda je účinná při simulaci dynamiky v reálném čase nebo při výpočtech základní stavy pomocí evoluce v imaginárním čase nebo isentropic interpolace mezi cílovým Hamiltonianem a Hamiltonianem s již známým základním stavem. Výpočetní časové stupnice lineárně s velikostí systému lze tedy zkoumat systémy s mnoha částicemi v 1D.

Užitečnou vlastností algoritmu TEBD je, že jej lze spolehlivě použít pro vývoj času simulace časově závislých Hamiltoniánů, popisující systémy, které lze realizovat pomocí Studený atomy v optické mřížky, nebo v systémech daleko od rovnováhy v kvantovém transportu. Z tohoto pohledu měl TEBD určitou převahu nad DMRG, velmi silnou technikou, ale donedávna nebyl příliš vhodný pro simulaci vývoje času. Vzhledem k tomu, že formalizmus Matrix Product States je v matematickém jádru DMRG, byl komunitou DMRG přijat systém TEBD, čímž vznikl časově závislý DMRG [2]^{[trvalý mrtvý odkaz ]}, zkráceně t-DMRG.

Přibližně ve stejnou dobu vyvinuly jiné skupiny podobné přístupy, ve kterých hraje kvantová informace převládající roli, například v implementacích DMRG pro periodické okrajové podmínky [3], a pro studium dynamiky smíšených stavů v jednorozměrných kvantových mřížkových systémech.^[2][3] Tyto poslední přístupy ve skutečnosti poskytují formalizmus, který je obecnější než původní přístup TEBD, protože také umožňuje vypořádat se s vývojem u operátorů maticových produktů; to umožňuje simulaci netriviálních neinfinitezimálních evolucí na rozdíl od případu TEBD a je to klíčová složka pro řešení výškových analogů stavů maticového produktu.

Rozklad státu

Představujeme rozklad státu

Zvažte řetězec N qubits, popsané funkcí ${displaystyle | Psi úhel v H ^ {{ot}} N}}$. Nejpřirozenější způsob popisu ${displaystyle | Psi úhel}$ bude používat místní ${displaystyle M ^ {N}}$-dimenzionální základ ${displaystyle | i_ {1}, i_ {2}, .., i_ {N-1}, i_ {N} úhel}$:

${displaystyle | Psi úhel = limity součtu _ {i = 1} ^ {M} c_ {i_ {1} i_ {2} .. i_ {N}} | {i_ {1}, i_ {2}, .., i_ {N-1}, i_ {N}} úhel}$

kde M je dimenze na místě.

Trik TEBD spočívá v přepisování koeficientů ${displaystyle c_ {i_ {1} i_ {2} .. i_ {N}}}$:

${displaystyle c_ {i_ {1} i_ {2} .. i_ {N}} = limity součtu _ {alpha _ {1}, .., alpha _ {N-1} = 0} ^ {chi} Gamma _ { alpha _ {1}} ^ {[1] i_ {1}} lambda _ {alpha _ {1}} ^ {[1]} Gamma _ {alpha _ {1} alpha _ {2}} ^ {[2] i_ {2}} lambda _ {alpha _ {2}} ^ {[2]} Gamma _ {alpha _ {2} alpha _ {3}} ^ {[3] i_ {3}} lambda _ {alpha _ { 3}} ^ {[3]} cdot ..cdot Gamma _ {alpha _ {N-2} alpha _ {N-1}} ^ {[{N-1}] i_ {N-1}} lambda _ { alpha _ {N-1}} ^ {[N-1]} Gamma _ {alpha _ {N-1}} ^ {[N] i_ {N}}}$

Tato forma, známá jako a Stav maticového produktu, výrazně zjednodušuje výpočty.

Abychom pochopili proč, můžeme se podívat na Schmidtův rozklad státu, který používá rozklad singulární hodnoty jednodušeji vyjádřit stav s omezeným zapletením.

Schmidtův rozklad

Zvažte stav bipartitního systému ${displaystyle vert Psi angle in {H_ {A} otimes H_ {B}}}$. Každý takový stát ${displaystyle | {Psi} úhel}$ lze reprezentovat na vhodně zvoleném základě jako:

${displaystyle | {Psi} úhel = limity součtu _ {i = 1} ^ {M_ {A | B}} a_ {i} | {Phi _ {i} ^ {A} Phi _ {i} ^ {B}} úhel}$

kde ${displaystyle | {Phi _ {i} ^ {A} Phi _ {i} ^ {B}} úhel = | {Phi _ {i} ^ {A}} úhel krát | {Phi _ {i} ^ {B} } úhel}$ jsou tvořeny vektory ${displaystyle | {Phi _ {i} ^ {A}} úhel}$ které tvoří ortonormální základ v ${displaystyle H_ {A}}$ a odpovídajícím způsobem vektory ${displaystyle | {Phi _ {i} ^ {B}} úhel}$, které tvoří ortonormální základ v ${displaystyle {H_ {B}}}$, s koeficienty ${displaystyle a_ {i}}$ být skutečný a pozitivní, ${limity součtu displaystyle _ {i = 1} ^ {M_ {A | B}} a_ {i} ^ {2} = 1}$. Toto se nazývá Schmidtův rozklad (SD) stavu. Obecně se součet zvyšuje ${displaystyle M_ {A | B} = min (dim ({H_ {A}}), dim ({H_ {B}}))}}$. Schmidtova hodnost bipartitního rozdělení je dána počtem nenulových Schmidtových koeficientů. Pokud je Schmidtova hodnost jedna, je rozdělení charakterizováno stavem produktu. Vektory SD jsou určovány až do fáze a vlastní čísla a Schmidtova pozice jsou jedinečné.

Například stav dvou qubitů:

${displaystyle | {Psi} angle = {frac {1} {2 {sqrt {2}}}} vlevo (| {00} angle + {sqrt {3}} | {01} angle + {sqrt {3}} | {10} úhel + | {11} úhel vpravo)}$

má následující SD:

${displaystyle | {Psi} angle = {frac {{sqrt {3}} + 1} {2 {sqrt {2}}}} | {phi _ {1} ^ {A} phi _ {1} ^ {B} } úhel + {frac {{sqrt {3}} - 1} {2 {sqrt {2}}}} | {phi _ {2} ^ {A} phi _ {2} ^ {B}} úhel}$

s

${displaystyle | {phi _ {1} ^ {A}} angle = {frac {1} {sqrt {2}}} (| {0_ {A}} úhel + | {1_ {A}} úhel), | { phi _ {1} ^ {B}} úhel = {frac {1} {sqrt {2}}} (| {0_ {B}} úhel + | {1_ {B}} úhel), | {phi _ {2 } ^ {A}} úhel = {frac {1} {sqrt {2}}} (| {0_ {A}} úhel - | {1_ {A}} úhel), | {phi _ {2} ^ {B }} úhel = {frac {1} {sqrt {2}}} (| {1_ {B}} úhel - | {0_ {B}} úhel)}$

Na druhou stranu stát:

${displaystyle | {Phi} angle = {frac {1} {sqrt {3}}} | {00} angle + {frac {1} {sqrt {6}}} | {01} angle - {frac {i} { sqrt {3}}} | {10} úhel - {frac {i} {sqrt {6}}} | {11} úhel}$

je stav produktu:

${displaystyle | {Phi} angle = {(} {frac {1} {sqrt {3}}} | {0_ {A}} úhel - {frac {i} {sqrt {3}}} | {1_ {A} } úhel {)} další {(} | {0_ {B}} úhel + {frac {1} {sqrt {2}}} | {1_ {B}} úhel {)}}$

Budování rozkladu státu

V tomto okamžiku pravděpodobně víme dost, abychom se pokusili zjistit, jak explicitně stavíme rozklad (řekněme tomu D).

Zvažte bipartitní rozdělení ${displaystyle [1]: [2..N]}$. SD má koeficienty ${displaystyle lambda _ {{alpha} _ {1}} ^ {[1]}}$ a vlastní vektory ${displaystyle | {Phi _ {alpha _ {1}} ^ {[1]}} úhel | {Phi _ {alpha _ {1}} ^ {[2..N]}} úhel}$Rozšířením ${displaystyle | {Phi _ {alpha _ {1}} ^ {[1]}} úhel}$na místním základě lze napsat:

${displaystyle | {Psi} angle = sum limits _ {i_ {1}, {alpha _ {1} = 1}} ^ {M, chi} Gamma _ {alpha _ {1}} ^ {[1] i_ {1 }} lambda _ {alpha _ {1}} ^ {[1]} | {i_ {1}} úhel | {Phi _ {alpha _ {1}} ^ {[2..N]}} úhel}$

Proces lze rozložit ve třech krocích, iterovaných pro každou vazbu (a odpovídajícím způsobem i SD) v řetězci:

Krok 1: vyjádřit ${displaystyle | {Phi _ {alpha _ {1}} ^ {[2..N]}} úhel}$je na místní bázi pro qubit 2:

${displaystyle | {Phi _ {alpha _ {1}} ^ {[2..N]}} úhel = součet _ {i_ {2}} | {i_ {2}} úhel | {au _ {alfa _ {1 } i_ {2}} ^ {[3..N]}} úhel}$

Vektory ${displaystyle | {au _ {alpha _ {1} i_ {2}} ^ {[3..N]}} úhel}$ nejsou nutně normalizováno.

Krok 2: napsat každý vektor ${displaystyle | {au _ {alpha _ {1} i_ {2}} ^ {[3..N]}} úhel}$ z hlediska nejvíce (Vidalovo zdůraznění) ${displaystyle chi}$ Schmidtovy vektory ${displaystyle | {Phi _ {alpha _ {2}} ^ {[3..N]}} úhel}$ a odpovídajícím způsobem koeficienty ${displaystyle lambda _ {{alpha} _ {2}} ^ {[2]}}$:

${displaystyle | au _ {alpha _ {1} i_ {2}} ^ {[3..N]} úhel = součet _ {alpha _ {2}} gama _ {alpha _ {1} alpha _ {2}} ^ {[ 2] i_ {2}} lambda _ {{alpha} _ {2}} ^ {[2]} | {Phi _ {alpha _ {2}} ^ {[3..N]}} úhel}$

Krok 3: proveďte substituce a získejte:

${displaystyle | {Psi} angle = sum _ {i_ {1}, i_ {2}, alpha _ {1}, alpha _ {2}} Gamma _ {alpha _ {1}} ^ {[1] i_ {1 }} lambda _ {alpha _ {1}} ^ {[1]} Gamma _ {alpha _ {1} alpha _ {2}} ^ {[2] i_ {2}} lambda _ {{alpha} _ {2 }} ^ {[2]} | {i_ {1} i_ {2}} úhel | {Phi _ {alpha _ {2}} ^ {[3..N]}} úhel}$

Opakováním kroků 1 až 3 lze sestrojit celý rozklad stavu D. Poslední ${displaystyle Gamma}$Jsou speciální případy, jako ty první, vyjadřující pravé Schmidtovy vektory na ${displaystyle (N-1) ^ {th}}$ vazba, pokud jde o místní základnu na ${displaystyle N ^ {th}}$ mřížové místo. Jak je uvedeno v^[1] je snadné získat Schmidtův rozklad v ${displaystyle k ^ {th}}$ vazba, tj. ${displaystyle [1..k]: [k + 1..N]}$, z D.

Schmidtova vlastní čísla jsou uvedena výslovně v D:

${displaystyle | {Psi} angle = sum _ {alpha _ {k}} lambda _ {{alpha} _ {k}} ^ {[k]} | {Phi _ {alpha _ {k}} ^ {[1. .k]}} úhel | {Phi _ {alpha _ {k}} ^ {[k + 1..N]}} úhel}$

Schmidtovy vlastní vektory jsou jednoduše:

${displaystyle | {Phi _ {alpha _ {k}} ^ {[1..k]}} úhel = součet _ {alpha _ {1}, alpha _ {2} .. alpha _ {k-1}} gama _ {alpha _ {1}} ^ {[1] i_ {1}} lambda _ {alpha _ {1}} ^ {[1]} cdot cdot Gamma _ {alpha _ {k-1} alfa _ {k} } ^ {[k] i_ {k}} | {i_ {1} i_ {2} .. i_ {k}} úhel}$

a

${displaystyle | {Phi _ {alpha _ {k}} ^ {[k + 1..N]}} úhel = součet _ {alpha _ {k + 1}, alpha _ {k + 2} .. alpha _ { N}} Gamma _ {alpha _ {k} alfa _ {k + 1}} ^ {[k + 1] i_ {k + 1}} lambda _ {alpha _ {k + 1}} ^ {[k + 1 ]} cdot cdot lambda _ {alpha _ {N-1}} ^ {N-1} Gamma _ {alpha _ {N-1}} ^ {[N] i_ {N}} | {i_ {k + 1} i_ {k + 2} .. i_ {N}} úhel}$

Odůvodnění

Nyní, při pohledu na D, namísto ${displaystyle M ^ {N}}$ počáteční podmínky, existují ${displaystyle {chi} ^ {2} {cdot} M (N-2) +2 {chi} M + (N-1) chi}$. Podle všeho jde jen o přepychový způsob přepisování koeficientů ${displaystyle c_ {i_ {1} i_ {2} .. i_ {N}}}$, ale ve skutečnosti je toho víc než to. Za předpokladu, že N je dokonce Schmidtova hodnost ${displaystyle chi}$ pro bipartitní řez uprostřed řetězu může mít maximální hodnotu ${displaystyle M ^ {N / 2}}$; v tomto případě skončíme minimálně ${displaystyle M ^ {N + 1} {cdot} (N-2)}$ koeficienty, s přihlédnutím pouze k ${displaystyle {chi} ^ {2}}$ ty, o něco více než původní ${displaystyle M ^ {N}}$! Pravdou je, že rozklad D je užitečné při řešení systémů, které vykazují nízký stupeň zapletení, což je naštěstí případ mnoha systémů 1D, kde se Schmidtovy koeficienty základního stavu exponenciálně rozpadají s ${displaystyle alpha}$:

${displaystyle lambda _ {{alpha} _ {l}} ^ {[l]} {sim} e ^ {- Kalpha _ {l}}, K> 0.}$

Proto je možné vzít v úvahu pouze některé Schmidtovy koeficienty (jmenovitě ty největší), které ostatní upustily a následně znovu normalizovaly stav:

${displaystyle | {Psi} angle = {frac {1} {sqrt {sum limits _ {{alpha _ {l}} = 1} ^ {{chi} _ {c}} {| lambda _ {{alpha} _ { l}} ^ {[l]} |} ^ {2}}}} limity součtu cdot _ {{{alpha} _ {l}} = 1} ^ {{chi} _ {c}} lambda _ {{alfa } _ {l}} ^ {[l]} | {Phi _ {alpha _ {l}} ^ {[1..l]}} úhel | {Phi _ {alpha _ {l}} ^ {[l + 1..N]}} úhel,}$

kde ${displaystyle chi _ {c}}$ je počet udržovaných Schmidtových koeficientů.

Pojďme pryč od tohoto abstraktního obrazu a osvěžme se konkrétním příkladem, abychom zdůraznili výhodu tohoto rozkladu. Zvažte například případ 50 fermiony v feromagnetický řetěz, kvůli jednoduchosti. Rozměr 12, řekněme, pro ${displaystyle chi _ {c}}$ by byla rozumná volba, ponechat vyřazené vlastní hodnoty na ${displaystyle 0,0001}$% z celkového počtu, jak ukazují numerické studie,^[4] což znamená zhruba ${displaystyle 2 ^ {14}}$ koeficienty ve srovnání s původními ${displaystyle 2 ^ {50}}$ ty.

I když Schmidtova vlastní čísla nemají tento exponenciální úpadek, ale vykazují algebraický pokles, stále můžeme použít D popsat náš stav ${displaystyle psi}$. Počet koeficientů, které mají odpovídat za věrný popis ${displaystyle psi}$ mohou být rozumně větší, ale stále v dosahu případných numerických simulací.

Aktualizace rozkladu

Nyní je možné pokračovat ve zkoumání chování rozkladu D když jednal s jedním qubitem brány (OQG) a dvoubitové brány (TQG) působící na sousední qubity. Místo aktualizace všech ${displaystyle M ^ {N}}$ koeficienty ${displaystyle c_ {i_ {1} i_ {2} .. i_ {N}}}$, omezíme se na řadu operací, které se v ${displaystyle chi}$ jako polynomiální nízkého stupně, což šetří výpočetní čas.

One-qubit brány působící na qubit k

OQGs ovlivňují pouze qubit, na který jednají, aktualizaci stavu ${displaystyle | {psi} úhel}$ po nečleněný operátor na qubit k nemění Schmidtova vlastní čísla nebo vektory vlevo, následně ${displaystyle Gamma ^ {[k-1]}}$nebo vpravo, tedy ${displaystyle Gamma ^ {[k + 1]}}$je Jediný ${displaystyle Gamma}$, které budou aktualizovány, jsou ${displaystyle Gamma ^ {[k]}}$(vyžaduje pouze nanejvýš ${displaystyle {O} (M ^ {2} cdot chi ^ {2})}$ operace), as

${displaystyle Gamma _ {alpha _ {k-1} alpha _ {k}} ^ {'[k] i_ {k}} = součet _ {j} U_ {j_ {k}} ^ {i_ {k}} gama _ {alpha _ {k-1} alpha _ {k}} ^ {[k] j_ {k}}.}$

Dvoubitové brány působící na qubits k, k + 1

Změny potřebné k aktualizaci ${displaystyle Gamma}$a ${displaystyle lambda}$sleduje uživatele a jednotný provoz PROTI na qubits k, k + 1, pouze obavy ${displaystyle Gamma ^ {[k]}}$, a ${displaystyle Gamma ^ {[k + 1]}}$Skládají se z řady ${displaystyle {O} ({Mcdot chi} ^ {3})}$ základní operace.

Podle Vidalova původního přístupu ${displaystyle | {psi} úhel}$ lze považovat za součást pouze čtyř subsystémů:

${displaystyle {{H} = J {otimes} H_ {C} {otimes} H_ {D} {otimes} K}.,}$

The podprostor J je překlenuto vlastními vektory matice se sníženou hustotou ${displaystyle ho ^ {J} = Tr_ {CDK} | psi úhel langle psi |}$:

${displaystyle ho ^ {[1 .. {k-1}]} = součet _ {alpha} {(lambda _ {alpha} ^ {[k-1]})} ^ {2} | {Phi _ {alpha} ^ {[1 .. {k-1}]}} úhel langle {Phi _ {alpha} ^ {[1 .. {k-1}]}} | = součet _ {alpha} {(lambda _ {alpha} ^ {[k-1]}) ^ {2}} | {alpha} úhel langle {alpha} |.}$

Podobným způsobem podprostor K. je překlenuto vlastními vektory matice se sníženou hustotou:

${displaystyle ho ^ {[{k + 2} .. {N}]} = součet _ {gamma} {(lambda _ {gamma} ^ {[k + 1]}) ^ {2}} | {Phi _ { gamma} ^ {[{k + 2} .. N]}} úhelník {Phi _ {gamma} ^ {[{k + 2} .. N]}} | = součet _ {gamma} {(lambda _ { gamma} ^ {[k + 1]}) ^ {2}} | {gamma} úhelník {gamma} |.}$

Podprostory ${displaystyle H_ {C}}$ a ${displaystyle H_ {D}}$ patří k qubits k a k + 1. Použití tohoto základu a rozkladu D, ${displaystyle | {psi} úhel}$ lze napsat jako:

${displaystyle | {psi} úhel = limity součtu _ {alfa, eta, gamma = 1} ^ {chi} limity součtu _ {i, j = 1} ^ {M} lambda _ {alpha} ^ {[C-1] } Gamma _ {alpha eta} ^ {[C] i} lambda _ {eta} ^ {[C]} Gamma _ {eta gamma} ^ {[D] j} lambda _ {gamma} ^ {[D]} | {{alpha} ij {gamma}} úhel}$

Použití stejného uvažování jako u OQG, použití TQG PROTI na qubits k, k +1 je třeba pouze aktualizovat

${displaystyle Gamma ^ {[C]}}$, ${displaystyle lambda}$ a ${displaystyle Gamma ^ {[D]}.}$

Můžeme psát ${displaystyle | {psi '} úhel = V | {psi} úhel}$ tak jako:

${displaystyle | {psi '} úhel = limity součtu _ {alfa, gamma = 1} ^ {chi} limity součtu _ {i, j = 1} ^ {M} lambda _ {alpha} Theta _ {alfa gamma} ^ { ij} lambda _ {gamma} | {{alpha} ijgamma} úhel}$

kde

${displaystyle Theta _ {alpha gamma} ^ {ij} = limity součtu _ {eta = 1} ^ {chi} limity součtu _ {m, n = 1} ^ {M} V_ {mn} ^ {ij} Gamma _ { alpha eta} ^ {[C] m} lambda _ {eta} Gamma _ {eta gamma} ^ {[D] n}.}$

Chcete-li zjistit nový rozklad, nový ${displaystyle lambda}$je na pouto k a jejich odpovídající Schmidtovy vlastní vektory musí být vypočítány a vyjádřeny pomocí ${displaystyle {Gamma}}$je rozkladu D. Matice se sníženou hustotou ${displaystyle ho ^ {'[DK]}}$ je tedy diagonálně:

${displaystyle ho ^ {'[DK]} = Tr_ {JC} | {psi'} úhelník {psi '} | = součet _ {j, j', gama, gama '} ho _ {gama gama'} ^ { jj '} | {jgamma} úhel langle {j'gamma'} |.}$

Druhé odmocniny jeho vlastních čísel jsou nové ${displaystyle lambda}$'s. Vyjádření vlastních vektorů diagonalizované matice na základě:${displaystyle {| {jgamma} úhel}}$ the ${displaystyle Gamma ^ {[{D]}}}$jsou také získány:

${displaystyle | {Phi ^ {'[{DK}]}} úhel = součet _ {j, gamma} Gamma _ {eta gamma} ^ {' [{D}] j} lambda _ {gamma} | {jgamma} úhel .}$

Z levých vlastních vektorů

${displaystyle lambda _ {eta} ^ {'} | {Phi _ {eta} ^ {' [{JC}]}} angle = langle {Phi _ {eta} ^ {'[{DK}]}} | {psi '} úhel = součet _ {i, j, alfa, gamma} (Gamma _ {eta gamma} ^ {' [{D}] j}) ^ {*} Theta _ {alfa gamma} ^ {ij} (lambda _ {gamma}) ^ {2} lambda _ {alpha} | {{alpha} i} úhel}$

po jejich vyjádření v základu ${displaystyle {| {ialpha} úhel}}$, ${displaystyle Gamma ^ {[{C}]}}$jsou:

${displaystyle | {Phi ^ {'[{JC}]}} úhel = součet _ {i, alpha} gama _ {alpha eta} ^ {' [{C}] i} lambda _ {alpha} | {{alpha} i} úhel.}$

Výpočetní náklady

Dimenze největší tenzory v D je řádu ${displaystyle {O} (M {cdot} {chi} ^ {2})}$; při konstrukci ${displaystyle Theta _ {alpha gamma} ^ {ij}}$ jeden provede součet ${displaystyle eta}$, ${displaystyle {it {m}}}$ a ${displaystyle {it {n}}}$ pro každého ${displaystyle gamma, alpha, {it {i, j}}}$, celkem tedy celkem ${displaystyle {O} (M ^ {4} {cdot} {chi} ^ {3})}$ operace. Totéž platí pro formování prvků ${displaystyle ho _ {gamma gamma '} ^ {jj'}}$, nebo pro výpočet levých vlastních vektorů ${displaystyle lambda _ {eta} ^ {'} | {Phi _ {eta} ^ {' [{it {JC}}]}} úhel}$maximálně ${displaystyle {it {O}} (M ^ {3} {cdot} {chi} ^ {3})}$, resp ${displaystyle {it {O}} (M ^ {2} {cdot} {chi} ^ {3})}$ základní operace. V případě qubits, ${displaystyle {it {M}} = 2}$, proto jeho role není příliš důležitá pro řád počtu základních operací, ale v případě, že je rozměr na místě vyšší než dva, má poměrně rozhodující přínos.

Numerická simulace

Numerická simulace je zaměřena (možná časově závislá) na hamiltoniány systému ${displaystyle {it {N}}}$ částice uspořádané do řady, které se skládají z libovolných OQG a TQG:

${displaystyle H_ {N} = limity součtu _ {l = 1} ^ {N} K_ {1} ^ {[l]} + limity součtu _ {l = 1} ^ {N} K_ {2} ^ {[l , l + 1]}.}$

Je užitečné se rozložit ${displaystyle H_ {N}}$ jako součet dvou možná nedojíždějících podmínek, ${displaystyle H_ {N} = F + G}$, kde

${displaystyle Fequiv sum _ {even l} (K_ {1} ^ {l} + K_ {2} ^ {l, l + 1}) = sum _ {even l} F ^ {[l]},}$

${displaystyle Gequiv sum _ {odd l} (K_ {1} ^ {l} + K_ {2} ^ {l, l + 1}) = součet _ {odd l} G ^ {[l]}.}$

Jakékoli podmínky dvou těl dojíždějí: ${displaystyle [F ^ {[l]}, F ^ {[l ']}] = 0}$, ${displaystyle [G ^ {[l]}, G ^ {[l ']}] = 0}$To se děje za účelem rozšíření Suzuki-Trotter (ST)^[5] exponenciálního operátoru, pojmenovaného podle Masuo Suzuki a Hale Trotter.

Expanze Suzuki-Trotter

Rozšíření Suzuki-Trotter prvního řádu (ST1) představuje obecný způsob psaní exponenciálních operátorů:

${displaystyle e ^ {(A + B)} = lim _ {nightarrow infty} {Bigl (} e ^ {frac {A} {n}} e ^ {frac {B} {n}} {Bigr)} ^ { n}}$

nebo ekvivalentně

${displaystyle e ^ {{delta} (A + B)} = lim _ {delta ightarrow 0} [e ^ {{delta} A} e ^ {{delta} B}] + {it {O}} (delta ^ {2}).}$

Korekční člen v limitu zmizí ${displaystyle delta ightarrow 0}$

Pro simulace kvantové dynamiky je užitečné použít operátory, které jsou unitární, zachování normy (na rozdíl od expanzí výkonových řad), a tam je místo, kde přichází expanze Trotter-Suzuki. U problémů kvantové dynamiky se jednotnost operátorů v expanzi ST ukazuje jako docela praktická, protože chyba má tendenci soustředit se na celkovou fáze, což nám umožňuje věrně vypočítat očekávané hodnoty a konzervované veličiny. Protože ST zachovává objem fázového prostoru, nazývá se také symplektický integrátor.

Trik ST2 spočívá v psaní unitárních operátorů ${displaystyle e ^ {- iHt}}$ tak jako:

${displaystyle e ^ {- iH_ {N} T} = [e ^ {- iH_ {N} delta}] ^ {T / {delta}} = [e ^ {{frac {delta} {2}} F} e ^ {{delta} G} e ^ {{frac {delta} {2}} F}] ^ {n}}$

kde ${displaystyle n = {frac {T} {delta}}}$. Číslo ${displaystyle {it {n}}}$ se nazývá Trotterovo číslo.

Simulace vývoje času

Provozovatelé ${displaystyle e ^ {{frac {delta} {2}} F}}$, ${displaystyle e ^ {{delta} G}}$ lze snadno vyjádřit, protože:

${displaystyle e ^ {{frac {delta} {2}} F} = prod _ {even l} e ^ {{frac {delta} {2}} F ^ {[l]}}}$

${displaystyle e ^ {{delta} G} = prod _ {odd l} e ^ {{delta} G ^ {[l]}}}$

protože libovolní dva operátoři ${displaystyle F ^ {[l]}}$,${displaystyle F ^ {[l ']}}$ (respektive ${displaystyle G ^ {[l]}}$,${displaystyle G ^ {[l ']}}$) dojíždět za ${displaystyle l {eq} l '}$ a expanze ST prvního řádu udržuje pouze produkt exponenciálů, přičemž aproximace se v tomto případě stává přesnou.

Časový vývoj lze provést podle

${displaystyle | {{ilde {psi}} _ {t + delta}} úhel = e ^ {- i {frac {delta} {2}} F} e ^ {{- idelta} G} e ^ {{frac { -idelta} {2}} F} | {{ilde {psi}} _ {t}} úhel.}$

Pro každý „časový krok“ ${displaystyle delta}$, ${displaystyle e ^ {- i {frac {delta} {2}} F ^ {[l]}}}$ se potom aplikují postupně na všechny liché stránky ${displaystyle e ^ {{- idelta} G ^ {[l]}}}$ na sudé a ${displaystyle e ^ {- i {frac {delta} {2}} F ^ {[l]}}}$ opět k těm lichým; toto je v podstatě posloupnost TQG a bylo vysvětleno výše, jak aktualizovat rozklad ${displaystyle {it {D}}}$ při jejich aplikaci.

Naším cílem je provést časový vývoj státu ${displaystyle | {psi _ {0}} úhel}$ na čas T, směrem ke státu ${displaystyle | {psi _ {T}} úhel}$ pomocí Hamiltoniánů s n-částicemi ${displaystyle H_ {n}}$.

Je poměrně obtížné, je-li to vůbec možné, vytvořit rozklad ${displaystyle {it {D}}}$ pro libovolný stav n-částic, protože by to znamenalo, že je třeba spočítat Schmidtův rozklad na každé vazbě, uspořádat Schmidtova vlastní čísla v sestupném pořadí a vybrat první ${displaystyle chi _ {c}}$ a příslušné Schmidtovy vlastní vektory. Mějte na paměti, že by to znamenalo diagonalizaci poněkud velkorysých matic se sníženou hustotou, což může být v závislosti na systému, který člověk musí simulovat, úkol mimo náš dosah a trpělivost. Místo toho se můžete pokusit udělat následující:

i) postavit rozklad ${displaystyle {it {D}}}$ pro jednoduchý počáteční stav, řekněme, nějaký stav produktu ${displaystyle | {psi _ {P}} úhel}$, pro které je rozklad přímočarý.

ii) týkat se ${displaystyle | {psi _ {0}} úhel}$ do základního stavu ${displaystyle | {psi _ {gr}} úhel}$ Hamiltonian ${displaystyle {ilde {H}}}$ dostatečně lokální transformací Q (ta, kterou lze vyjádřit například jako produkt TQG) ${displaystyle | {psi _ {0}} úhel = Q | {psi _ {gr}} úhel}$

iii) provést imaginární vývoj času směrem k základnímu stavu Hamiltonianů ${displaystyle {ilde {H}}}$, ${displaystyle | {psi _ {gr}} úhel}$ podle:

${displaystyle | {psi _ {gr}} úhel = lim _ {au ightarrow infty} {frac {e ^ {- {ilde {H}} au} | {psi _ {P}} úhel} {|| e ^ { - {ilde {H}} au} | {psi _ {P}} úhel ||}},}$

nebo alternativně simulovat izentropický vývoj pomocí časově závislého hamiltoniánu, který interpoluje mezi hamiltoniánem ${displaystyle H_ {1}}$, který má stav produktu ${displaystyle | {psi _ {P}} úhel}$ jako jeho základní stav a Hamiltonian ${displaystyle {ilde {H}}}$; vývoj musí být proveden dostatečně pomalu, aby byl systém vždy v základním stavu nebo alespoň velmi blízko.

iv)nakonec proveďte časový vývoj státu ${displaystyle | {psi _ {0}} úhel}$ vůči ${displaystyle | {psi _ {T}} úhel}$ pomocí hamiltoniánu ${displaystyle H_ {n}}$:

${displaystyle | {psi _ {T}} úhel = e ^ {- iH_ {n} T} | {psi _ {0}} úhel}$

Zdroje chyb

Chyby v simulaci jsou výsledkem aproximace Suzuki-Trotter a souvisejícího zkrácení Hilbertova prostoru.

Chyby pocházející z expanze Suzuki-Trotter

V případě Trotterovy aproximace ${displaystyle {it {p ^ {th}}}}$ objednávka, chyba je objednávky ${displaystyle {delta} ^ {p + 1}}$. S přihlédnutím ${displaystyle n = {frac {T} {delta}}}$ kroky, chyba po čase T je:

${displaystyle epsilon = {frac {T} {delta}} delta ^ {p + 1} = Tdelta ^ {p}}$

Nepřibližný stav ${displaystyle | {{ilde {psi}} _ {Tr}} úhel}$ je:

${displaystyle | {{ilde {psi}} _ {Tr}} úhel = {sqrt {1- {epsilon} ^ {2}}} | {psi _ {Tr}} úhel + {epsilon} | {psi _ {Tr } ^ {ot}} úhel}$

kde ${displaystyle | {psi _ {Tr}} úhel}$ je stav uchovaný po rozšíření Trotter a ${displaystyle | {psi _ {Tr} ^ {ot}} úhel}$ odpovídá za část, která je při rozšiřování zanedbána.

Celková chyba se mění s časem ${displaystyle {it {T}}}$ tak jako:

${displaystyle epsilon ({it {T}}) = 1- | langle {ilde {psi _ {Tr}}} | {psi _ {Tr}} úhel | ^ {2} = 1-1 + epsilon ^ {2} = epsilon ^ {2}}$

Chyba klusáku je nezávislý rozměr řetězu.

Chyby pocházející ze zkrácení Hilbertova prostoru

Vezmeme-li v úvahu chyby vyplývající ze zkrácení Hilbertova prostoru obsaženého v rozkladu D, jsou dvojí.

Nejprve, jak jsme viděli výše, nejmenší příspěvky do Schmidtova spektra zůstávají stranou, stát je věrně zastoupen až:

${displaystyle epsilon ({it {D}}) = limity 1-prod _ {n = 1} ^ {N-1} (1-epsilon _ {n})}$

kde ${displaystyle epsilon _ {n} = limity součtu _ {alpha = chi _ {c}} ^ {chi} (lambda _ {alpha} ^ {[n]}) ^ {2}}$ je součet všech vyřazených vlastních čísel matice snížené hustoty ve vazbě ${displaystyle {it {n}}}$.Stát ${displaystyle | {psi} úhel}$ je v dané vazbě ${displaystyle {it {n}}}$, popsaný Schmidtovým rozkladem:

${displaystyle | {psi} angle = {sqrt {1-epsilon _ {n}}} | {psi _ {D}} úhel + {sqrt {epsilon _ {n}}} | {psi _ {D} ^ {ot }} úhel}$

kde

${displaystyle | {psi _ {D}} úhel = {frac {1} {sqrt {1-epsilon _ {n}}}} limity součtu _ {{{alfa} _ {n}} = 1} ^ {{chi } _ {c}} lambda _ {{alpha} _ {n}} ^ {[n]} | {Phi _ {alpha _ {n}} ^ {[1..n]}} úhel | {Phi _ { alpha _ {n}} ^ {[n + 1..N]}} úhel}$

je stav uchovaný po zkrácení a

${displaystyle | {psi _ {D} ^ {ot}} úhel = {frac {1} {sqrt {epsilon _ {n}}}} limity součtu _ {{{alpha} _ {n}} = {chi} _ {c}} ^ {chi} lambda _ {{alpha} _ {n}} ^ {[n]} | {Phi _ {alpha _ {n}} ^ {[1..n]}} úhel | {Phi _ {alpha _ {n}} ^ {[n + 1..N]}} úhel}$

je stav tvořený vlastními funkcemi odpovídajícími nejmenším irelevantním Schmidtovým koeficientům, které jsou zanedbávány. ${displaystyle langle psi _ {D} ^ {ot} | psi _ {D} úhel = 0}$ protože jsou překlenuty vektory odpovídajícími ortogonálním prostorům. Při použití stejného argumentu jako u rozšíření Trotter je chyba po zkrácení:

${displaystyle epsilon _ {n} = 1- | langle {psi} | psi _ {D} úhel | ^ {2} = limity součtu _ {alpha = chi _ {c}} ^ {chi} (lambda _ {alpha} ^ {[n]}) ^ {2}}$

Po přechodu na další pouto je stát podobně:

${displaystyle | {psi _ {D}} úhel = {sqrt {1-epsilon _ {n + 1}}} | {{{psi} '} _ {D}} úhel + {sqrt {epsilon _ {n + 1 }}} | {{psi '} _ {D} ^ {ot}} úhel}$

Chyba po druhém zkrácení je:

${displaystyle epsilon = 1- | langle {psi} | psi '_ {D} úhel | ^ {2} = 1- (1-epsilon _ {n + 1}) | langle {psi} | psi _ {D} úhel | ^ {2} = 1- (1-epsilon _ {n + 1}) (1-epsilon _ {n})}$

a tak dále, jak se pohybujeme od vazby k vazbě.

Druhý zdroj chyby zahrnutý do rozkladu ${displaystyle {it {D}}}$ je jemnější a vyžaduje trochu výpočtu.

Jak jsme vypočítali dříve, normalizační konstanta po provedení zkrácení ve vazbě ${displaystyle {it {l}}}$ ${displaystyle ([1..l]: [l + 1..N])}$ je:

${displaystyle R = {sum limits _ {{alpha _ {l}} = 1} ^ {{chi} _ {c}} {| lambda _ {{alpha} _ {l}} ^ {[l]} |} ^ {2}} = {1-epsilon _ {l}}}$

Nyní pojďme k pouto ${displaystyle {it {l}} - 1}$ a vypočítat normu pravých Schmidtových vektorů ${displaystyle || {Phi _ {alpha _ {l-1}} ^ {[l-1..N]}} ||}$; s přihlédnutím k celé Schmidtově dimenzi je normou:

${displaystyle n_ {1} = 1 = limity součtu _ {alpha _ {l} = 1} ^ {chi _ {c}} (c_ {alpha _ {l-1} alpha _ {l}}) ^ {2} (lambda _ {alpha _ {l}} ^ {[l]}) ^ {2} + limity součtu _ {alpha _ {l} = chi _ {c}} ^ {chi} (c_ {alpha _ {l- 1} alpha _ {l}}) ^ {2} (lambda _ {alpha _ {l}} ^ {[l]}) ^ {2} = S_ {1} + S_ {2}}$,

kde ${displaystyle (c_ {alpha _ {l-1} alpha _ {l}}) ^ {2} = limity součtu _ {i_ {l} = 1} ^ {d} (gama _ {alpha _ {l-1} alpha _ {l}} ^ {[l] i_ {l}}) ^ {*} Gamma _ {alpha _ {l-1} alpha _ {l}} ^ {[l] i_ {l}}}$.

S přihlédnutím ke zkrácenému prostoru je normou:

${displaystyle n_ {2} = limity součtu _ {alpha _ {l} = 1} ^ {chi _ {c}} (c_ {alpha _ {l-1} alpha _ {l}}) ^ {2} cdot ( {lambda '} _ {alpha _ {l}} ^ {[l]}) ^ {2} = limity součtu _ {alpha _ {l} = 1} ^ {chi _ {c}} (c_ {alpha _ { l-1} alpha _ {l}}) ^ {2} {frac {(lambda _ {alpha _ {l}} ^ {[l]}) ^ {2}} {R}} = {frac {S_ { 1}} {R}}}$

Vezmeme-li rozdíl, ${displaystyle epsilon = n_ {2} -n_ {1} = n_ {2} -1}$, dostaneme:

${displaystyle epsilon = {frac {S_ {1}} {R}} - 1leq {frac {1-R} {R}} = {frac {epsilon _ {l}} {1-epsilon _ {l}}} { ightarrow} 0 jako {epsilon _ {l} {ightarrow} {0}}}$

Při konstrukci matice se sníženou hustotou tedy stopa matice se vynásobí faktorem:

${displaystyle | langle {psi _ {D}} | psi _ {D} úhel | ^ {2} = 1- {frac {epsilon _ {l}} {1-epsilon _ {l}}} = {frac {1 -2epsilon _ {l}} {1-epsilon _ {l}}}}$

Celková chyba zkrácení

Celková chyba zkrácení, s ohledem na oba zdroje, je horní hranice:

${displaystyle epsilon ({D}) = 1-prod limits _ {n = 1} ^ {N-1} (1-epsilon _ {n}) prod limits _ {n = 1} ^ {N-1} {frac {1-2epsilon _ {n}} {1-epsilon _ {n}}} = limity 1-prod _ {n = 1} ^ {N-1} (1-2epsilon _ {n})}$

Při použití Trotterovy expanze se nepohybujeme od vazby k vazbě, ale mezi vazbami stejné parity; navíc pro ST2 provedeme tažení sudých a dva pro liché. Výpočet uvedený výše však stále platí. Chyba se vyhodnotí postupným vynásobením normalizační konstanty pokaždé, když sestavíme matici snížené hustoty a vybereme její vlastní vlastní čísla.

„Adaptivní“ Schmidtova dimenze

One thing that can save a lot of computational time without loss of accuracy is to use a different Schmidt dimension for each bond instead of a fixed one for all bonds, keeping only the necessary amount of relevant coefficients, as usual. For example, taking the first bond, in the case of qubits, the Schmidt dimension is just two. Hence, at the first bond, instead of futilely diagonalizing, let us say, 10 by 10 or 20 by 20 matrices, we can just restrict ourselves to ordinary 2 by 2 ones, thus making the algorithm generally faster. What we can do instead is set a threshold for the eigenvalues of the SD, keeping only those that are above the threshold.

TEBD also offers the possibility of straightforward parallelization due to the factorization of the exponential time-evolution operator using the Suzuki-Trotter expansion. A parallel-TEBD has the same mathematics as its non-parallelized counterpart, the only difference is in the numerical implementation.

Reference