Schmidtův rozklad - Schmidt decomposition

v lineární algebra, Schmidtův rozklad (pojmenováno podle původce Erhard Schmidt ) odkazuje na konkrétní způsob vyjádření a vektor jako tenzorový produkt ze dvou vnitřní produktové prostory. Má mnoho aplikací v teorie kvantové informace, například v zapletení charakterizace a v čištění státu, a plasticita.

Teorém

Nechat ${displaystyle H_ {1}}$ a ${displaystyle H_ {2}}$ být Hilbertovy prostory z rozměry n a m resp. Převzít ${displaystyle ngeq m}$ . Pro jakýkoli vektor ${displaystyle w}$ v tenzorovém produktu ${displaystyle H_ {1} častěji H_ {2}}$ existují ortonormální množiny ${displaystyle {u_ {1}, ldots, u_ {m}} podmnožina H_ {1}}$ a ${displaystyle {v_ {1}, ldots, v_ {m}} podmnožina H_ {2}}$ takhle ${displaystyle w = součet _ {i = 1} ^ {m} alfa _ {i} u_ {i} mnohokrát v_ {i}}$ kde jsou skaláry ${displaystyle alpha _ {i}}$ jsou skutečné, nezáporné a jedinečné až po opětovné objednání.

Důkaz

Schmidtův rozklad je v podstatě přepracováním rozklad singulární hodnoty v jiném kontextu. Opravte ortonormální základy ${displaystyle {e_ {1}, ldots, e_ {n}} podmnožina H_ {1}}$ a ${displaystyle {f_ {1}, ldots, f_ {m}} podmnožina H_ {2}}$ . Můžeme identifikovat elementární tenzor ${displaystyle e_ {i} mnohokrát f_ {j}}$ s maticí ${displaystyle e_ {i} f_ {j} ^ {T}}$ , kde ${displaystyle f_ {j} ^ {T}}$ je přemístit z ${displaystyle f_ {j}}$ . Obecný prvek tenzorového produktu

{displaystyle w = součet _ {1leq ileq n, 1leq jleq m} eta _ {ij} e_ {i} mnohokrát f_ {j}}

pak lze zobrazit jako n × m matice

{displaystyle; M_ {w} = (eta _ {ij}).}

Podle rozklad singulární hodnoty, existují n × n unitární U, m × m unitární PROTIa pozitivní semidefinit úhlopříčka n × m matice Σ takové, že

{displaystyle M_ {w} = U {egin {bmatrix} Sigma 0end {bmatrix}} V ^ {*}.}

Psát si ${displaystyle U = {egin {bmatrix} U_ {1} & U_ {2} end {bmatrix}}}$ kde ${displaystyle U_ {1}}$ je n × m a máme

{displaystyle; M_ {w} = U_ {1} Sigma V ^ {*}.}

Nechat ${displaystyle {u_ {1}, ldots, u_ {m}}}$ být m vektory sloupců ${displaystyle U_ {1}}$ , ${displaystyle {v_ {1}, ldots, v_ {m}}}$ vektory sloupců ${displaystyle {overline {V}}}$ , a ${displaystyle alpha _ {1}, ldots, alpha _ {m}}$ diagonální prvky Σ. Předchozí výraz je pak

{displaystyle M_ {w} = součet _ {k = 1} ^ {m} alfa _ {k} u_ {k} v_ {k} ^ {T},}

Pak

{displaystyle w = sum _ {k = 1} ^ {m} alfa _ {k} u_ {k} několikrát v_ {k},}

který prokazuje nárok.

Některá pozorování

Některé vlastnosti Schmidtova rozkladu jsou fyzicky zajímavé.

Spektrum redukovaných stavů

Zvažte vektor w tenzorového produktu

{displaystyle H_ {1} častěji H_ {2}}

ve formě Schmidtova rozkladu

{displaystyle w = sum _ {i = 1} ^ {m} alfa _ {i} u_ {i} mnohokrát v_ {i}.}

Vytvořte matici pořadí 1 ρ = w w *. Pak částečná stopa z ρ, s ohledem na oba systémy A nebo B, je diagonální matice, jejíž nenulové diagonální prvky jsou |α_i |². Jinými slovy, Schmidtův rozklad ukazuje, že snížený stav ρ na každém subsystému mají stejné spektrum.

Schmidtova hodnost a zapletení

Přísně pozitivní hodnoty ${displaystyle alpha _ {i}}$ v Schmidtově rozkladu w jsou jeho Schmidtovy koeficienty. Počet Schmidtových koeficientů ${displaystyle w}$ , počítáno s multiplicitou, se nazývá jeho Schmidtova hodnostnebo Schmidtovo číslo.

Li w lze vyjádřit jako produkt

{displaystyle uotimes v}

pak w se nazývá a oddělitelný stav. V opačném případě, w se říká, že je zapletený stav. Ze Schmidtova rozkladu to vidíme w je zapletený právě tehdy w má Schmidtovu pozici přísně větší než 1. Proto jsou dva subsystémy, které rozdělují čistý stav, zapleteny právě tehdy, když jejich redukované stavy jsou smíšené stavy.

Von Neumannova entropie

Důsledkem výše uvedených komentářů je to, že pro čisté státy von Neumannova entropie redukovaných stavů je dobře definované měřítko zapletení. Pro von Neumannovu entropii obou redukovaných stavů ρ je ${displaystyle -sum _ {i} | alpha _ {i} | ^ {2} log (| alpha _ {i} | ^ {2})}$ , a to je nula právě tehdy ρ je stav produktu (nezapletený).

Křišťálová plasticita

V oblasti plasticity se krystalické pevné látky, jako jsou kovy, plasticky deformují primárně podél rovin krystalu. Každá rovina, definovaná svým normálním vektorem ν, může „proklouznout“ v jednom z několika směrů, definovaných vektorem μ. Společně skluzová rovina a směr tvoří skluzový systém, který je popsán Schmidtovým tenzorem ${displaystyle P = vícekrát u}$ . Rychlostní gradient je jejich lineární kombinací napříč všemi systémy skluzu, kde měřítkem je rychlost skluzu podél systému.

Viz také

Další čtení

Pathak, Anirban (2013). Prvky kvantového výpočtu a kvantové komunikace. Londýn: Taylor & Francis. str. 92–98. ISBN 978-1-4665-1791-2.