Teorie naklápění - Tilting theory

v matematika konkrétně teorie reprezentace, teorie naklápění popisuje způsob, jak spojit kategorie modulů dvou algeber pomocí tzv sklopné moduly a související naklápěcí funktory. Tady je druhá algebra endomorfismus algebra sklopného modulu přes první algebru.

Teorie naklápění byla motivována zavedením reflexe funktory podle Joseph Bernšteĭn, Izrael Gelfand a V. A. Ponomarev (1973 ); tyto funktory byly použity k uvedení reprezentací dvou toulce. Tyto funktory přeformuloval Maurice Auslander, María Inés Platzeck, a Idun Reiten  (1979 ), a zobecněný Sheila Brenner a Michael C. R. Butler (1980 ), kteří zavedli funktory naklápění. Dieter Happel a Claus Michael Ringel (1982 ) definoval nakloněné algebry a naklápěcí moduly jako další zobecnění.

Definice

Předpokládejme to A je konečně-dimenzionální unital asociativní algebra přes některé pole. A konečně vygenerovaný že jo A-modul T se nazývá a sklopný modul pokud má následující tři vlastnosti:

• T má projektivní rozměr maximálně 1, jinými slovy je to a kvocient a projektivní modul projektivním submodulem.
• Ext¹
  _A(T,T) = 0.
• Právo A-modul A je jádro a surjektivní morfismus mezi konečnými přímými součty přímých součtů T.

Vzhledem k takovému sklopnému modulu definujeme endomorfismus algebra B = Konec_A(T). Toto je další konečně-dimenzionální algebra, a T je konečně generovaná levice B-modul. The naklápěcí funktory Hom_A(T, -), Ext¹
_A(T,−), −⊗_BT a Tor^B
₁(−,T) se týkají kategorie mod-A konečně vygenerovaného práva A-moduly do kategorie mod-B konečně vygenerovaného práva B- moduly.

V praxi se často uvažuje dědičný konečné trojrozměrné algebry A protože kategorie modulů přes takové algebry jsou docela dobře pochopeny. Endomorfistická algebra naklápěcího modulu přes dědičnou konečnou dimenzionální algebru se nazývá nakloněná algebra.

Fakta

Předpokládat A je konečná trojrozměrná algebra, T je naklápěcí modul A, a B = Konec_A(T). Psát si F= Hom_A(T,−), F'= Ext¹
_A(T,−), G=−⊗_BT, a G'= Tor^B
₁(−,T). F je pravý adjoint na G a F' je správně přidružen k G'.

Brenner & Butler (1980) ukázaly, že naklápěcí funktory dávají ekvivalence mezi určitými podkategoriemi modůA a mod-B. Konkrétně, pokud definujeme dvě podkategorie ${ displaystyle { mathcal {F}} = ker (F)}$ a ${ displaystyle { mathcal {T}} = ker (F ')}$ z A-mod a dvě podkategorie ${ displaystyle { mathcal {X}} = ker (G)}$ a ${ displaystyle { mathcal {Y}} = ker (G ')}$ z B-mod, tedy ${ displaystyle ({ mathcal {T}}, { mathcal {F}})}$ je torzní dvojice v A-mod (tj. ${ displaystyle { mathcal {T}}}$ a ${ displaystyle { mathcal {F}}}$ jsou maximální podkategorie s vlastností ${ displaystyle operatorname {Hom} ({ mathcal {T}}, { mathcal {F}}) = 0}$; to znamená, že každý M v A-mod připouští přirozenou krátkou přesnou sekvenci ${ displaystyle 0 až U až M až V až 0}$ s U v ${ displaystyle { mathcal {T}}}$ a PROTI v ${ displaystyle { mathcal {F}}}$) a ${ displaystyle ({ mathcal {X}}, { mathcal {Y}})}$ je torzní pár v B-mod. Dále omezení funktorů F a G výnos inverzní ekvivalence mezi ${ displaystyle { mathcal {T}}}$ a ${ displaystyle { mathcal {Y}}}$, zatímco omezení F' a G' výtěžek inverzní ekvivalence mezi ${ displaystyle { mathcal {F}}}$ a ${ displaystyle { mathcal {X}}}$. (Všimněte si, že tyto ekvivalence mění pořadí torzních párů ${ displaystyle ({ mathcal {T}}, { mathcal {F}})}$ a ${ displaystyle ({ mathcal {X}}, { mathcal {Y}})}$.)

Teorii naklápění lze chápat jako zobecnění Morita ekvivalence který se získá, pokud T je projektivní generátor; v tom případě ${ displaystyle { mathcal {T}} = operatorname {mod} -A}$ a ${ displaystyle { mathcal {Y}} = operatorname {mod} -B}$.

Li A má konečný globální dimenze, pak B má také konečný globální rozměr a rozdíl F a F' indukuje izometrii mezi Grothendieck skupiny K.₀(A) a K.₀(B).

V případě A je dědičná (tj. B je nakloněná algebra), globální rozměr B je maximálně 2 a torzní dvojice ${ displaystyle ({ mathcal {X}}, { mathcal {Y}})}$ rozdělí, tj. každý nerozložitelný předmět B-mod je buď v ${ displaystyle { mathcal {X}}}$ nebo v ${ displaystyle { mathcal {Y}}}$.

Happel (1988) a Cline, Parshall a Scott (1986) to ukázalo obecně A a B jsou odvozeným ekvivalentem (tj odvozené kategorie D^b(A-mod) a D.^b(B-mod) jsou ekvivalentní jako trojúhelníkové kategorie ).

Zobecnění a rozšíření

A zobecněný sklopný modul přes konečnou trojrozměrnou algebru A je právo A-modul T s následujícími třemi vlastnostmi:

• T má konečný projektivní rozměr.
• Extⁱ
  _A(T,T) = 0 pro všechny i>0.
• Existuje přesná sekvence ${ displaystyle 0 až A až T_ {1} až tečky až T_ {n} až 0}$ Kde T_i jsou konečné přímé součty přímých součtů T.

Tyto zobecněné naklápěcí moduly také poskytují odvozené ekvivalence mezi A a B, kde B= Konec_A(T).

Rickard (1989) rozšířil výsledky o odvozenou ekvivalenci tím, že dokázal, že dvě konečně-dimenzionální algebry R a S jsou odvozeny ekvivalentní právě tehdy S je endomorfistická algebra „naklápěcího komplexu“ R. Naklápěcí komplexy jsou zobecněním zobecněných naklápěcích modulů. Verze této věty je platná pro libovolné kroužky R a S.

Happel, Reiten a Smalø (1996) definované naklápěcí objekty v dědičných abelianských kategoriích, ve kterých jsou všechny Hom- a Ext-prostory konečně-dimenzionální přes některé algebraicky uzavřené pole k. Endomorphism algebry těchto naklápěcích objektů jsou kvazi-nakloněné algebry, zobecnění nakloněných algeber. Kvazi-nakloněné algebry k jsou přesně konečně-dimenzionální algebry k globální dimenze ≤ 2 tak, že každý nerozložitelný modul má buď projektivní rozměr ≤ 1, nebo injektivní rozměr ≤ 1. Happel (2001) klasifikoval dědičné abelianské kategorie, které se mohou objevit ve výše uvedené konstrukci.

Colpi & Fuller (2007) definované naklápěcí objekty T libovolně abelianská kategorie C; jejich definice to vyžaduje C obsahovat přímé součty libovolných (možná nekonečných) počtů kopií T, nejedná se tedy o přímé zobecnění konečně-dimenzionální situace uvažované výše. Vzhledem k takovému sklopnému objektu s prstenem endomorfismu Rzakládají funktory naklápění, které poskytují ekvivalence mezi torzní dvojicí C a torzní dvojici R-Mod, kategorie Všechno R- moduly.

Z teorie shlukové algebry přišla definice kategorie klastrů (z Buan a kol. (2006) ) a shluková algebra (Buan, Marsh & Reiten (2007) ) spojené s dědičnou algebrou A. Shlukovaná nakloněná algebra vzniká jako nakloněná algebra polopřímý produkt a kategorie klastrů A shrnuje všechny kategorie modulů klastrových algeber nakloněných z A.

Reference