Superoperátor - Superoperator

tento článek potřebuje další citace pro ověření. Prosím pomozte vylepšit tento článek podle přidávání citací ke spolehlivým zdrojům. Zdroj bez zdroje může být napaden a odstraněn. Najít zdroje: "Superoperátor"  – zprávy  · noviny  · knihy  · učenec  · JSTOR (Říjen 2009) (Zjistěte, jak a kdy odstranit tuto zprávu šablony)

v fyzika, a superoperátor je lineární operátor působící na a vektorový prostor z lineární operátory.^[1]

Někdy tento termín odkazuje konkrétněji na a zcela pozitivní mapa který zachovává nebo nezvyšuje stopa jeho argument. Tento specializovaný význam se hojně používá v oblasti kvantové výpočty, zvláště kvantové programování, protože charakterizují mapování mezi matice hustoty.

Využití super- Předpona zde nijak nesouvisí s jejím dalším použitím v matematické fyzice. To znamená, že superoperátoři nemají žádnou souvislost supersymetrie a superalgebra což jsou rozšíření obvyklých matematických pojmů definovaných rozšířením prsten čísel, která mají být zahrnuta Grassmannova čísla. Vzhledem k tomu, že superoperátoři jsou sami operátoři, je používání super- předpona se používá k jejich odlišení od operátorů, podle kterých jednají.

Násobení vlevo / vpravo

Definování levého a pravého multiplikačního superoperátoru pomocí ${ displaystyle { mathcal {L}} (A) [ rho] = A rho}$ a ${ displaystyle { mathcal {R}} (A) [ rho] = rho A}$ respektive lze vyjádřit komutátor jako

${ displaystyle [A, rho] = { mathcal {L}} (A) [ rho] - { mathcal {R}} (A) [ rho].}$

Dále my vektorizovat matice ${ displaystyle rho}$ což je mapování

${ displaystyle rho = součet _ {i, j} rho _ {ij} | i rangle langle j | to | rho rangle = sum _ {i, j} rho _ {ij} | i rangle otimes | j rangle.}$

Maticová reprezentace ${ displaystyle { mathcal {L}} (A)}$ se poté vypočítá pomocí stejného mapování

${ displaystyle A rho = součet _ {i, j} rho _ {ij} A | i rangle langle j | to sum _ {i, j} rho _ {ij} (A | i rangle) otimes | j rangle = sum _ {i, j} rho _ {ij} (A otimes I) | i rangle otimes | j rangle = (A otimes I) | rho rangle rangle = { mathcal {L}} (A) [ rho],}$

což naznačuje ${ displaystyle { mathcal {L}} (A) = A otimes I}$. Podobně to lze ukázat ${ displaystyle { mathcal {R}} (A) = (I otimes A ^ {T})}$. Tato reprezentace nám umožňuje vypočítat věci jako vlastní čísla spojená se superoperátory. Tato vlastní čísla jsou zvláště užitečná v oblasti otevřených kvantových systémů, kde jsou jejich skutečné části Superoperátor Lindblad Vlastní čísla budou indikovat, zda se kvantový systém uvolní nebo ne.

Příklad von Neumannova rovnice

v kvantová mechanika the Schrödingerova rovnice, ${ displaystyle i hbar { frac { částečné} { částečné t}} Psi = { hat {H}} Psi}$ vyjadřuje časový vývoj stavového vektoru ${ displaystyle psi}$ působením Hamiltonianů ${ displaystyle { hat {H}}}$ což je operátor mapující stavové vektory na stavové vektory.

V obecnější formulaci John von Neumann, statistické stavy a soubory jsou vyjádřeny operátory hustoty spíše než stavové vektory. V této souvislosti je časový vývoj operátoru hustoty vyjádřen pomocí von Neumannova rovnice ve kterém je operátor hustoty ovládán a superoperátor ${ displaystyle { mathcal {H}}}$ mapování operátorů na operátory. Definuje se pomocí komutátor s ohledem na Hamiltonovského operátora:

${ displaystyle i hbar { frac { částečné} { částečné t}} rho = { mathcal {H}} [ rho]}$

kde

${ displaystyle { mathcal {H}} [ rho] = [{ hat {H}}, rho] equiv { hat {H}} rho - rho { hat {H}}}$

Protože se v QM značně používají závorky komutátoru, je tato explicitní superoperátorská prezentace Hamiltonianovy akce obvykle vynechána.

Ukázkové derivace funkcí v prostoru operátorů

Při zvažování operátorem oceněné funkce operátorů ${ displaystyle { hat {H}} = { hat {H}} ({ hat {P}})}$ například když definujeme kvantově mechanický hamiltonián částice jako funkci operátorů polohy a hybnosti, můžeme (z jakéhokoli důvodu) definovat „operátorskou derivaci“ ${ displaystyle { frac { Delta { hat {H}}} { Delta { hat {P}}}}}$jako superoperátor mapování operátora na operátora.

Například pokud ${ displaystyle H (P) = P ^ {3} = PPP}$ pak jeho derivát operátoru je superoperátor definovaný:

${ displaystyle { frac { Delta H} { Delta P}} [X] = XP ^ {2} + PXP + P ^ {2} X}$

Tento „derivát operátoru“ je jednoduše Jacobian matrix funkce (operátorů), kde se jednoduše zachází se vstupem a výstupem operátoru jako s vektory a na nějakém základě rozšiřuje prostor operátorů. Jacobian matrix je pak operátor (na jedné vyšší úrovni abstrakce) působící na tento vektorový prostor (operátorů).

Viz také

Superoperátor Lindblad

Reference