Lindbladian - Lindbladian

v kvantová mechanika, Gorini – Kossakowski – Sudarshan – Lindbladova rovnice (GKSL rovnice, pojmenoval podle Vittorio Gorini, Andrzej Kossakowski, George Sudarshan a Göran Lindblad ), mistrovská rovnice ve formě Lindblad, kvantový Liouvilliannebo Lindbladian je nejobecnějším typem Markovian a časově homogenní hlavní rovnice popisující (obecně neunitární) vývoj matice hustoty ρ který zachovává zákony kvantové mechaniky (tj. je stopové a zcela pozitivní pro jakoukoli počáteční podmínku).^[1]

The Schrödingerova rovnice je speciální případ obecnější Lindbladovy rovnice, který vedl k určitým spekulacím, že kvantovou mechaniku lze produktivně rozšířit a rozšířit pomocí další aplikace a analýzy Lindbladovy rovnice.^[2] Schrödingerova rovnice se zabývá stavové vektory, který lze jen popsat čisté kvantové stavy a jsou tedy méně obecné než matice hustoty, které lze popsat smíšené státy také.

Motivace

V kanonické formulaci kvantové mechaniky je vývoj času systému řízen jednotkovou dynamikou. To znamená, že nedochází k úpadku a fázová soudržnost je udržována během celého procesu a je to důsledek skutečnosti, že jsou brány v úvahu všechny zúčastněné stupně svobody. Jakýkoli skutečný fyzický systém však není absolutně izolovaný a bude interagovat se svým prostředím. Tato interakce se stupni volnosti vně systému vede k rozptýlení energie do okolí, což vede k rozpadu a randomizaci fáze. Tyto efekty jsou důvody, proč je kvantová mechanika v makroskopickém měřítku obtížná. Více pochopení interakce kvantového systému s jeho prostředím je nezbytné pro pochopení mnoha běžně pozorovaných jevů, jako je spontánní emise světla z excitovaných atomů nebo výkon mnoha kvantově technologických zařízení, jako je laser.

Byly zavedeny určité matematické techniky k léčbě interakce kvantového systému s jeho prostředím. Jedním z nich je použití matice hustoty a související hlavní rovnice. Zatímco v zásadě je tento přístup k řešení kvantové dynamiky ekvivalentní s Schrödingerův obrázek nebo Heisenbergův obrázek umožňuje snadnější zahrnutí nekoherentních procesů, které představují interakce s prostředím. Operátor hustoty má tu vlastnost, že může představovat klasickou směs kvantových stavů, a je proto nezbytný pro přesný popis dynamiky takzvaných otevřených kvantových systémů.

Definice

Obecněji řečeno, Lindbladova hlavní rovnice pro N-dimenzionální matice hustoty systému ρ lze psát jako^[1] (pro pedagogický úvod se můžete obrátit na^[3])

${ displaystyle { dot { rho}} = - {i over hbar} [H, rho] + sum _ {n, m = 1} ^ {N ^ {2} -1} h_ {nm } left (A_ {n} rho A_ {m} ^ { dagger} - { frac {1} {2}} left {A_ {m} ^ { dagger} A_ {n}, rho dobře dobře)}$

kde H je (Hermitian ) Hamiltonian část, a ${ displaystyle {A_ {m} }}$ je libovolný orthonormal základ z Operátoři Hilbert-Schmidt na systému Hilbertův prostor s omezením A_N ² je úměrná operátorovi identity. Naše konvence naznačuje, že druhý A_m jsou bez stopy a všimněte si, že součet běží pouze do N ² − 1 tedy vyloučit jedinou základní matici s nenulovou stopou. matice koeficientu hspolu s Hamiltonianem určuje dynamiku systému. Matice h musí být pozitivní semidefinit aby byla zajištěna stopová rovnice a zcela pozitivní. The antikomutátor je definován jako ${ displaystyle {a, b } = ab + ba.}$

Pokud h_mn jsou všechny nulové, pak se to sníží na kvantová Liouvilleova rovnice pro uzavřený systém, ${ displaystyle { dot { rho}} = - (i / hbar) [H, rho]}$. Toto je také známé jako von Neumannova rovnice a je to kvantový analog klasiky Liouvilleova rovnice.

Protože matice h je kladný semidefinit, to může být diagonalizováno s unitární transformace u:

${ displaystyle u ^ { dagger} hu = { begin {bmatrix} gamma _ {1} & 0 & cdots & 0 0 & gamma _ {2} & cdots & 0 vdots & vdots & ddots & vdots 0 & 0 & cdots & gamma _ {N ^ {2} -1} end {bmatrix}}}$

kde vlastní čísla y_i jsou nezáporné. Pokud definujeme jiný základ ortonormálního operátoru

${ displaystyle L_ {i} = součet _ {j = 1} ^ {N ^ {2} -1} u_ {ji} A_ {j}}$

můžeme přepsat Lindbladovu rovnici úhlopříčka formulář

${ displaystyle { dot { rho}} = - {i nad hbar} [H, rho] + součet _ {i = 1} ^ {N ^ {2} -1} gama _ {i } left (L_ {i} rho L_ {i} ^ { dagger} - { frac {1} {2}} left {L_ {i} ^ { dagger} L_ {i}, rho dobře dobře).}$

Noví operátoři L_i se běžně nazývají Lindblad nebo skok operátoři systému.

Kvantová dynamická poloskupina

Mapy generované Lindbladianem pro různé časy jsou souhrnně označovány jako a kvantová dynamická poloskupina—Rodina kvantové dynamické mapy ${ displaystyle phi _ {t}}$ v prostoru matice hustoty indexováno pomocí jediného časového parametru ${ displaystyle t geq 0}$ kteří poslouchají poloskupina vlastnictví

${ displaystyle phi _ {s} ( phi _ {t} ( rho)) = phi _ {t + s} ( rho), qquad t, s geq 0.}$

Lindbladovu rovnici lze získat pomocí

${ displaystyle { mathcal {L}} ( rho) = mathrm {lim} _ { Delta t až 0} { frac { phi _ { Delta t} ( rho) - phi _ { 0} ( rho)} { Delta t}}}$

který podle linearity ${ displaystyle phi _ {t}}$, je lineární superoperátor. Poloskupinu lze obnovit jako

${ displaystyle phi _ {t + s} ( rho) = e ^ {{ mathcal {L}} s} phi _ {t} ( rho).}$

Invariance vlastnosti

Lindbladova rovnice je neměnná při jakékoli jednotné transformaci proti operátorů a konstant Lindblad,

${ displaystyle { sqrt { gamma _ {i}}} L_ {i} až { sqrt { gamma _ {i} '}} L_ {i}' = součet _ {j = 1} ^ { N ^ {2} -1} v_ {ij} { sqrt { gamma _ {j}}} L_ {j},}$

a také v rámci nehomogenní transformace

${ displaystyle L_ {i} až L_ {i} '= L_ {i} + a_ {i} já,}$

${ displaystyle H to H '= H + { frac {1} {2i}} součet _ {j = 1} ^ {N ^ {2} -1} gamma _ {j} vlevo (a_ {j } ^ {*} L_ {j} -a_ {j} L_ {j} ^ { dagger} vpravo) + bI,}$

kde A_i jsou komplexní čísla a b je reálné číslo. První transformace však ničí ortonormalitu operátorů L_i (pokud všechny y_i jsou si rovni) a druhá transformace ničí bezvýslednost. Proto až k degeneracím mezi y_i, L_i úhlopříčné formy Lindbladovy rovnice jsou jednoznačně určeny dynamikou, pokud požadujeme, aby byly ortonormální a bez stopy.

Heisenbergův obrázek

Lindbladův vývoj matice hustoty v Schrödingerův obrázek lze ekvivalentně popsat v Heisenbergův obrázek pomocí následující (diagonalizované) pohybové rovnice^{[Citace je zapotřebí ]} pro každé kvantové pozorovatelné X:

${ displaystyle { dot {X}} = { frac {i} { hbar}} [H, X] + sum _ {i = 1} ^ {N ^ {2} -1} gamma _ { i} left (L_ {i} ^ { dagger} XL_ {i} - { frac {1} {2}} left {L_ {i} ^ { dagger} L_ {i}, X right }že jo).}$

Podobná rovnice popisuje časový vývoj očekávaných hodnot pozorovatelných, daných vztahem Ehrenfestova věta Odpovídající vlastnosti zachování Schrödingerovy Lindbladovy rovnice pro zachování stop, Heisenbergova rovnice je unital, tj. zachovává operátor identity.

Fyzická derivace

Lindbladova hlavní rovnice popisuje vývoj různých typů otevřených kvantových systémů, např. systém slabě spojený s markovskou nádrží.^[1]Všimněte si, že H v rovnici je ne nutně se rovná holému systému Hamiltonian, ale může také zahrnovat efektivní jednotnou dynamiku vyplývající z interakce systému a prostředí.

Heuristická derivace, např. V poznámkách Preskill,^[4] začíná obecnější formou otevřeného kvantového systému a převádí jej do formy Lindblad vytvořením Markovianova předpokladu a jeho expanzí v malém čase. Fyzicky motivovanější standardní léčba^[5][6] pokrývá tři běžné typy derivací Lindbladianu počínaje Hamiltonianem působícím jak na systém, tak na prostředí: slabý limit vazby (podrobně popsán níže), aproximace nízké hustoty a limit singulární vazby. Každá z nich se opírá o konkrétní fyzikální předpoklady týkající se např. Korelačních funkcí prostředí. Například při derivaci slabé vazební meze se obvykle předpokládá, že (a) korelace systému s prostředím se vyvíjejí pomalu, (b) excitace prostředí způsobené rychlým rozpadem systému a (c) termíny, které rychle oscilují ve srovnání s časovým rozsahem zájmu systému lze zanedbávat. Tyto tři aproximace se nazývají Born, Markov a rotující vlna.^[7]

Derivace limitu slabé vazby předpokládá kvantový systém s konečným počtem stupňů volnosti spojený s lázní obsahující nekonečný počet stupňů volnosti. Každý systém a lázeň mají Hamiltonian napsaný z hlediska operátorů působících pouze v příslušném podprostoru celkového Hilberta. Tyto Hamiltonians řídí vnitřní dynamiku odpojeného systému a lázně. Existuje třetí Hamiltonian, který obsahuje produkty operátorů systému a lázní, čímž spojuje systém a lázeň. Nejobecnější forma tohoto Hamiltonian je

${ displaystyle H = H_ {S} + H_ {B} + H_ {BS} ,}$

Dynamika celého systému může být popsána Liouvilleovou pohybovou rovnicí, ${ displaystyle { dot { chi}} = - i [H, chi]}$. Tuto rovnici obsahující nekonečný počet stupňů volnosti nelze analyticky vyřešit, kromě velmi konkrétních případů. A co víc, za určitých aproximací není třeba uvažovat stupně volnosti lázně a efektivní hlavní rovnici lze odvodit z hlediska matice hustoty systému, ${ displaystyle rho = operatorname {tr} _ {B} chi}$. Problém lze snadněji analyzovat přesunem do interakčního obrazu definovaného jednotkovou transformací ${ displaystyle { tilde {M}} = U_ {0} MU_ {0} ^ { dagger}}$, kde ${ displaystyle M}$ je libovolný operátor a ${ displaystyle U_ {0} = e ^ {i (H_ {S} + H_ {B}) t}}$. Všimněte si také, že ${ displaystyle U (t, t_ {0})}$je celkovým jednotným operátorem celého systému. Je jednoduché potvrdit, že se Liouvilleova rovnice stane

${ displaystyle { dot { tilde { chi}}} = - i [{ tilde {H}} _ {BS}, { tilde { chi}}] ,}$

kde Hamiltonian ${ displaystyle { tilde {H}} _ {BS} = e ^ {i (H_ {S} + H_ {B}) t} H_ {BS} e ^ {- i (H_ {S} + H_ {B }) t}}$ je výslovně závislá na čase. Podle interakčního obrázku také ${ displaystyle { tilde { chi}} = U_ {BS} (t, t_ {0}) chi U_ {BS} ^ { dagger} (t, t_ {0})}$, kde ${ displaystyle U_ {BS} = U_ {0} ^ { dagger} U (t, t_ {0})}$. Tuto rovnici lze integrovat přímo

${ displaystyle { tilde { chi}} (t) = { tilde { chi}} (0) -i int _ {0} ^ {t} dt '[{ tilde {H}} _ { BS} (t '), { tilde { chi}} (t')]}$

Tato implicitní rovnice pro ${ displaystyle { tilde { chi}}}$ lze nahradit zpět do Liouvilleovy rovnice, abychom získali přesnou diferenciálně-integrální rovnici

${ displaystyle { dot { tilde { chi}}} = - i [{ tilde {H}} _ {BS}, { tilde { chi}} (0)] - int _ {0} ^ {t} dt '[{ tilde {H}} _ {BS} (t), [{ tilde {H}} _ {BS} (t'), { tilde { chi}} (t ' )]]}$

Pokračujeme v odvození za předpokladu, že interakce je zahájena v ${ displaystyle t = 0}$, a v té době neexistují žádné korelace mezi systémem a lázní. To znamená, že počáteční podmínka je faktorovatelná jako ${ displaystyle chi (0) = rho (0) R_ {0}}$, kde ${ displaystyle R_ {0}}$ je operátor hustoty lázně zpočátku.

Trasování po vaně stupňů volnosti, ${ displaystyle operatorname {tr} _ {R} { tilde { chi}} = { tilde { rho}}}$, výtěžku výše uvedené diferenciálně-integrální rovnice

${ displaystyle { dot { tilde { rho}}} = - int _ {0} ^ {t} dt ' operatorname {tr} _ {R} {[{ tilde {H}} _ { BS} (t), [{ tilde {H}} _ {BS} (t '), { tilde { chi}} (t')]] }}$

Tato rovnice je přesná pro časovou dynamiku matice hustoty systému, ale vyžaduje úplnou znalost dynamiky stupňů volnosti lázně. Zjednodušující předpoklad zvaný Bornova aproximace spočívá na rozlehlosti lázně a relativní slabosti vazby, což znamená, že vazba systému na lázeň by neměla významně měnit vlastní stavy lázně. V tomto případě je matice plné hustoty faktorovatelná pro všechny časy jako ${ displaystyle { tilde { chi}} (t) = { tilde { rho}} (t) R_ {0}}$. Hlavní rovnice se stává

${ displaystyle { dot { tilde { rho}}} = - int _ {0} ^ {t} dt ' operatorname {tr} _ {R} {[{ tilde {H}} _ { BS} (t), [{ tilde {H}} _ {BS} (t '), { tilde { rho}} (t') R_ {0}]] }}$

Rovnice je nyní explicitní ve stupních volnosti systému, ale je velmi obtížné ji vyřešit. Konečným předpokladem je Born-Markovova aproximace, že časová derivace matice hustoty závisí pouze na jejím aktuálním stavu, a nikoli na jeho minulosti. Tento předpoklad je platný za rychlé dynamiky lázně, kdy se korelace uvnitř lázně extrémně rychle ztrácejí a představuje náhradu ${ displaystyle rho (t ') pravá šipka rho (t)}$ na pravé straně rovnice.

${ displaystyle { dot { tilde { rho}}} = - int _ {0} ^ {t} dt ' operatorname {tr} _ {R} {[{ tilde {H}} _ { BS} (t), [{ tilde {H}} _ {BS} (t '), { tilde { rho}} (t) R_ {0}]] }}$

Pokud se předpokládá, že interakce má Hamiltonian formu

${ displaystyle H_ {BS} = součet alfa _ {i} gama _ {i}}$

pro provozovatele systému ${ displaystyle alpha _ {i}}$ a operátoři lázní ${ displaystyle Gamma _ {i}}$, stane se hlavní rovnice

${ displaystyle { dot { tilde { rho}}} = - sum int _ {0} ^ {t} dt ' operatorname {tr} _ {R} {[ alpha _ {i} ( t) Gamma _ {i} (t), [ alpha _ {j} (t ') Gamma _ {j} (t'), { tilde { rho}} (t) R_ {0}] ] }}$

které lze rozšířit jako

${ displaystyle { dot { tilde { rho}}} = - sum int _ {0} ^ {t} dt ' left ( alpha _ {i} (t) alpha _ {j} ( t ') rho - alpha _ {j} (t') rho (t) alpha _ {i} (t) right) langle Gamma _ {i} (t) Gamma _ {j} (t ') rangle + left ( rho (t) alpha _ {j} (t') alpha _ {i} (t) - alpha _ {i} (t) rho (t) ) alpha _ {j} (t ') right) langle Gamma _ {j} (t') Gamma _ {i} (t) rangle}$

Hodnoty očekávání ${ displaystyle langle Gamma _ {i} Gamma _ {j} rangle = operatorname {tr} { Gamma _ {i} Gamma _ {j} R_ {0} }}$ jsou s ohledem na stupně volnosti lázně. Předpokládáním rychlého rozpadu těchto korelací (v ideálním případě ${ displaystyle langle Gamma _ {i} (t) Gamma _ {j} (t ') rangle propto delta (t-t')}$), je dosažena výše uvedená forma superoperátoru Lindblad L.

Příklady

Pro jednoho operátor skoku ${ displaystyle F}$ a žádná jednotná evoluce, Lindblad superoperátor jednající na matice hustoty ${ displaystyle rho}$, je

${ displaystyle { mathcal {D}} [F] ( rho) = F rho F ^ { dagger} - { frac {1} {2}} vlevo (F ^ { dagger} F rho + rho F ^ { dagger} F right)}$

Takový termín se pravidelně vyskytuje v Lindbladově rovnici, jak se používá v kvantová optika, kde může vyjádřit absorpci nebo emisi fotonů z rezervoáru. Pokud někdo chce mít absorpci i emise, bude potřebovat operátor skoku pro každého. To vede k nejběžnější Lindbladově rovnici popisující tlumení a kvantový harmonický oscilátor (představující např. a Dutina Fabry – Perot ) ve spojení s a termální koupel, s operátory skoku

${ displaystyle { begin {aligned} F_ {1} & = a, & gamma _ {1} & = { tfrac { gamma} {2}} left ({ overline {n}} + 1 vpravo), F_ {2} & = a ^ { dagger}, & gamma _ {2} & = { tfrac { gamma} {2}} { overline {n}}. end {zarovnáno }}}$

Tady ${ displaystyle { overline {n}}}$ je střední počet buzení v nádrži tlumící oscilátor a y je rychlost rozpadu. Pokud k tomu přidáme další jednotkovou evoluci generovanou kvantový harmonický oscilátor Hamiltonián s frekvencí ${ displaystyle omega _ {c}}$, získáváme

${ displaystyle { dot { rho}} = - i [ omega _ {c} a ^ { dagger} a, rho] + { mathcal {D}} [F_ {1}] ( rho) + { mathcal {D}} [F_ {2}] ( rho).}$

K modelování různých forem dešifrování a vibrační relaxace lze zahrnout další operátory Lindblad. Tyto metody byly začleněny do mřížky matice hustoty metody šíření.

Viz také

• Kvantová hlavní rovnice
• Redfieldova rovnice
• Otevřený kvantový systém
• Metoda kvantového skoku

Reference

• Chruściński, Dariusz; Pascazio, Saverio. "Stručná historie rovnice GKLS". arXiv:1710.05993.
• Kossakowski, A. (1972). „O kvantové statistické mechanice nehamiltonovských systémů“. Rep. Math. Phys. 3 (4): 247. Bibcode:1972RpMP .... 3..247K. doi:10.1016/0034-4877(72)90010-9.
• Belavin, A.A .; Zel'dovich, B. Ya .; Perelomov, A.M .; Popov, V.S. (1969). „Relaxace kvantových systémů s Equidistant Spectra“. JETP. 29: 145. Bibcode:1969JETP ... 29..145B.
• Lindblad, G. (1976). "Na generátorech kvantových dynamických poloskupin". Commun. Matematika. Phys. 48 (2): 119. Bibcode:1976CMaPh..48..119L. doi:10.1007 / BF01608499.
• Gorini, V .; Kossakowski, A .; Sudarshan, E.C.G. (1976). "Zcela pozitivní poloskupiny systémů na úrovni N". J. Math. Phys. 17 (5): 821. Bibcode:1976JMP .... 17..821G. doi:10.1063/1.522979.
• Banks, T .; Susskind, L .; Peskin, M.E. (1984). „Potíže s vývojem čistých států ve smíšené státy“. Jaderná fyzika B. 244: 125–134. Bibcode:1984NuPhB.244..125B. doi:10.1016/0550-3213(84)90184-6.
• Accardi, Luigi; Lu, Yun Gang; Volovich, I.V. (2002). Kvantová teorie a její stochastický limit. New York: Springer Verlag. ISBN  978-3-5404-1928-0.
• Alicki, Robert. Msgstr "Pozvánka do kvantových dynamických semigroupů". arXiv:quant-ph / 0205188.
• Alicki, Robert; Lendi, Karl (1987). Kvantové dynamické poloskupiny a aplikace. Berlín: Springer Verlag. ISBN  978-0-3871-8276-6.
• Attal, Stéphane; Joye, Alain; Pillet, Claude-Alain (2006). Otevřený kvantový systém II: Markovianův přístup. Springer. ISBN  978-3-5403-0992-5.
• Gardiner, C.W .; Zoller, Peter (2010). Kvantový šum. Springer Series in Synergetics (3. vyd.). Berlin Heidelberg: Springer-Verlag. ISBN  978-3-642-06094-6.
• Ingarden, Roman S .; Kossakowski, A .; Ohya, M. (1997). Informační dynamika a otevřené systémy: klasický a kvantový přístup. New York: Springer Verlag. ISBN  978-0-7923-4473-5.
• Lindblad, G. (1983). Nerovnovážná entropie a nevratnost. Dordrecht: Delta Reidel. ISBN  1-4020-0320-X.; Comm. Matematika. Phys. 48 (1976), 119-130. online
• Tarasov, Vasily E. (2008). Kvantová mechanika nehamiltonovských a disipativních systémů. Amsterdam, Boston, Londýn, New York: Elsevier Science. ISBN  978-0-0805-5971-1.
• Pearle, P. (2012). "Jednoduché odvození Lindbladovy rovnice". European Journal of Physics, 33(4), 805.

externí odkazy

• Sada nástrojů kvantové optiky pro Matlab
• mcsolve Řešič kvantového skoku (monte carlo) od QuTiP.
• QuantumOptics.jl sada nástrojů kvantové optiky v Julii.
• Lindbladova hlavní rovnice