Jacobisova věta o čtyřech čtvercích - Jacobis four-square theorem - Wikipedia

Jacobiho věta o čtyřech čtvercích dává vzorec pro počet způsobů, jakými dané kladné celé číslo n lze reprezentovat jako součet čtyř čtverců.

Dějiny

Věta byla prokázána v roce 1834 Carl Gustav Jakob Jacobi.

Teorém

Dvě reprezentace jsou považovány za odlišné, pokud jsou jejich termíny v jiném pořadí nebo je-li celé číslo, které je na druhou (nejen čtverec), jiné; pro ilustraci jsou to tři z osmi různých způsobů, jak reprezentovat 1:

${ displaystyle { begin {aligned} & 1 ^ {2} + 0 ^ {2} + 0 ^ {2} + 0 ^ {2} & 0 ^ {2} + 1 ^ {2} + 0 ^ {2 } + 0 ^ {2} & (- 1) ^ {2} + 0 ^ {2} + 0 ^ {2} + 0 ^ {2}. End {zarovnáno}}}$

Počet způsobů, jak reprezentovat n jako součet čtyř čtverců, je osmkrát součet dělitele z n -li n je liché a 24krát součet lichých dělitelů n -li n je dokonce (viz funkce dělitele ), tj.

${ displaystyle r_ {4} (n) = { begin {cases} 8 sum limits _ {m | n} m & { text {if}} n { text {je zvláštní}} [12 bodů] 24 sum limits _ { begin {smallmatrix} m | n m { text {odd}} end {smallmatrix}} m & { text {if}} n { text {je sudý}}. konec {případů}}}$

Ekvivalentně je to osmkrát součet všech jejích dělitelů, které nejsou dělitelné 4, tj.

${ displaystyle r_ {4} (n) = 8 součet _ {m střední n, , 4 nmid m} m.}$

Můžeme to také napsat jako

${ displaystyle r_ {4} (n) = 8 sigma (n) -32 sigma (n / 4) ,}$

kde druhý člen je třeba brát jako nulu, pokud n není dělitelný 4. Zejména pro a prvočíslo p máme explicitní vzorecr₄(p) = 8(p + 1).^[1]

Některé hodnoty r₄(n) se vyskytují nekonečně často jako r₄(n) = r₄(2^mn) kdykoli n je sudý. Hodnoty r₄(n)/n může být libovolně velká: r₄(n)/n je nekonečně často větší než 8√log n.^[1]

Důkaz

Věta může být prokázána elementárními prostředky počínaje Trojitý produkt Jacobi.^[2]

Důkazy ukazují, že Série Theta pro mříž Z⁴ je modulární forma určité úrovně, a proto se rovná a lineární kombinace z Eisensteinova řada.

Viz také

• Lagrangeova věta o čtyřech čtvercích
• Lambertova řada
• Funkce součtu čtverců

Poznámky

Reference

• Hirschhorn, Michael D .; McGowan, James A. (2001). „Algebraické důsledky Jacobiho dvou a čtyřech čtvercových vět“. In Garvan, F. G .; Ismail, M. E. H. (eds.). Symbolický výpočet, teorie čísel, speciální funkce, fyzika a kombinatorika. Vývoj v matematice. 4. Springer. 107–132. CiteSeerX  10.1.1.26.9028. doi:10.1007/978-1-4613-0257-5_7. ISBN  978-1-4020-0101-7.
• Hirschhorn, Michael D. (1987). „Jednoduchý důkaz Jacobiho věty o čtvercích“. Proceedings of the American Mathematical Society. 101 (3): 436. doi:10.1090 / s0002-9939-1987-0908644-9.
• Williams, Kenneth S. (2011). Teorie čísel v duchu Liouville. Studentské texty London Mathematical Society. 76. Cambridge University Press. ISBN  978-0-521-17562-3. Zbl  1227.11002.CS1 maint: ref = harv (odkaz)

externí odkazy

• Weisstein, Eric W. "Funkce součtu čtverců". MathWorld.