Legendrova věta o třech čtvercích - Legendres three-square theorem - Wikipedia

v matematika, Legendrova věta o třech čtvercích uvádí, že a přirozené číslo lze reprezentovat jako součet tří čtverců celých čísel

kdyby a jen kdyby n není formuláře pro nezáporná celá čísla A a b.

První čísla, která nelze vyjádřit jako součet tří čtverců (tj. Čísla, která lze vyjádřit jako ) jsou

7, 15, 23, 28, 31, 39, 47, 55, 60, 63, 71 ... (sekvence A004215 v OEIS ).

Dějiny

Pierre de Fermat dal kritérium pro čísla formuláře 3A + 1 je součet tří čtverců, ale neposkytl důkaz. N. Beguelin si toho všiml v roce 1774[1] že každé kladné celé číslo, které není ani z formy 8n + 7, ani formuláře 4n, je součet tří čtverců, ale neposkytl uspokojivý důkaz.[2] V roce 1796 Gauss dokázal Věta Eureka že každé kladné celé číslo n je součet 3 trojúhelníková čísla; to odpovídá skutečnosti, že 8n + 3 je součet tří čtverců. V roce 1797 nebo 1798 DOPOLEDNE. Legendre získal první důkaz své věty o 3 čtvercích.[3] V roce 1813 A. L. Cauchy poznamenal[4] že Legendreova věta je ekvivalentní tvrzení v úvodu výše. Dříve, v roce 1801, C. F. Gauss získal obecnější výsledek,[5] obsahující Legendrovu větu 1797–8 jako důsledek. Zejména Gauss počítal počet řešení vyjádření celého čísla jako součet tří čtverců, a to je zobecnění ještě dalšího výsledku Legendra,[6] jehož důkaz je neúplný. Tato poslední skutečnost se zdá být důvodem pro pozdější nesprávná tvrzení, podle nichž byl Legendreův důkaz věty o třech čtvercích vadný a musel být dokončen Gaussem.[7]

S Lagrangeova věta o čtyřech čtvercích a věta o dvou čtvercích Girarda, Fermata a Eulera Waringův problém pro k = 2 je zcela vyřešen.

Důkazy

Věta „pouze pokud“ je jednoduše proto, že modulo 8, každý čtverec je shodný s 0, 1 nebo 4. Existuje několik důkazů konverzace (kromě důkazu Legendre). Jeden z nich je způsoben J. P. G. L. Dirichlet v roce 1850 a stal se klasickým.[8] Vyžaduje tři hlavní lemata:

Vztah k teorémě čtyř čtverců

Tuto větu lze použít k prokázání Lagrangeova věta o čtyřech čtvercích, který uvádí, že všechna přirozená čísla lze zapsat jako součet čtyř čtverců. Gauss[9] poukázal na to, že věta o čtyřech čtvercích snadno vyplývá ze skutečnosti, že každé kladné celé číslo, které je 1 nebo 2 mod 4, je součtem 3 čtverců, protože každé kladné celé číslo, které není dělitelné 4, lze do této formy redukovat odečtením 0 nebo 1 Dokazování věty o třech čtvercích je však podstatně obtížnější než přímý důkaz věty o čtyřech čtvercích, která větu o třech čtvercích nepoužívá. Věta o čtyřech čtvercích byla prokázána dříve, v roce 1770.

Viz také

Poznámky

  1. ^ Nouveaux Mémoires de l'Académie de Berlin (1774, vyd. 1776), s. 313–369.
  2. ^ Leonard Eugene Dickson, Historie teorie čísel, sv. II, s. 15 (Carnegie Institute of Washington 1919; AMS Chelsea Publ., 1992, dotisk).
  3. ^ DOPOLEDNE. Legendre, Essai sur la théorie des nombres, Paříž, An VI (1797–1798), s. 202 a str. 398–399.
  4. ^ A. L. Cauchy, Mém. Sci. Matematika. Phys. de l'Institut de France, (1) 14 (1813–1815), 177.
  5. ^ C. F. Gauss, Disquisitiones Arithmeticae, Umění. 291 a 292.
  6. ^ DOPOLEDNE. Legendre, Hist. et Mém. Acad. Roy. Sci. Paříž, 1785, s. 514–515.
  7. ^ Viz například: Elena Deza a M. Deza. Uveďte čísla. World Scientific 2011, s. 314 [1]
  8. ^ Viz například sv. I, část I, II a III: E. Landau, Vorlesungen über Zahlentheorie, New York, Chelsea, 1927. Druhé vydání přeloženo do angličtiny Jacob E. Goodman, Providence RH, Chelsea, 1958.
  9. ^ Gauss, Carl Friedrich (1965), Disquisitiones Arithmeticae, Yale University Press, str. 342, oddíl 293, ISBN  0-300-09473-6