Izoperimetrický poměr - Isoperimetric ratio

v analytická geometrie, izoperimetrický poměr a jednoduchá uzavřená křivka v Euklidovské letadlo je poměr L2/A, kde L je délka křivky a A je jeho plocha. Je to bezrozměrné množství to je neměnný pod transformace podobnosti křivky.

Podle izoperimetrická nerovnost, izoperimetrický poměr má svoji minimální hodnotu, 4π, pro kruh; jakákoli jiná křivka má větší hodnotu.[1] Izoperimetrický poměr lze tedy použít k měření vzdálenosti od kruhového tvaru.

The tok zkrácení křivky snižuje izoperimetrický poměr jakéhokoli hladkého konvexní křivka takže v limitu, jak se křivka zmenšuje na bod, se poměr stane 4π.[2]

Pro vyšší dimenzionální těla dimenze d, izoperimetrický poměr lze podobně definovat jako Bd/PROTId − 1 kde B je plocha povrchu těla (míra jeho hranice) a PROTI je jeho objem (míra jeho vnitřku).[3] Mezi další související množství patří Cheegerova konstanta a Riemannovo potrubí a (jinak definované) Cheegerova konstanta grafu.[4]

Reference

  1. ^ Berger, Marcel (2010), Geometry Revealed: A Jacob's Ladder to Modern Higher Geometry, Springer-Verlag, str. 295–296, ISBN  9783540709978.
  2. ^ Gage, M. E. (1984), „Curve shortening makes convex curves circle“, Inventiones Mathematicae, 76 (2): 357–364, doi:10.1007 / BF01388602, PAN  0742856.
  3. ^ Chow, Bennett; Knopf, Dan (2004), Tok Ricci: Úvod Matematické průzkumy a monografie 110, American Mathematical Society, str. 157, ISBN  9780821835159.
  4. ^ Grady, Leo J .; Polimeni, Jonathan (2010), Diskrétní počet: Aplikovaná analýza na grafech pro výpočetní vědu Springer-Verlag, str. 275, ISBN  9781849962902.