Schwarz – Ahlfors – Pickova věta - Schwarz–Ahlfors–Pick theorem

v matematika, Schwarz – Ahlfors – Pick věta je rozšířením Schwarzovo lema pro hyperbolická geometrie, tak jako Poincarého polorovinový model.

The Schwarz – Pickovo lemma uvádí, že každý holomorfní funkce z jednotka disku U pro sebe nebo z horní polorovina H sám o sobě nezvýší Poincarého vzdálenost mezi body. Jednotkový disk U s Poincarého metrikou má záporné Gaussovo zakřivení -1. V roce 1938 Lars Ahlfors zobecnil lemma na mapy z disku jednotky na jiné negativně zakřivené povrchy:

Teorém (Schwarz –Ahlfors –Výběr ). Nechat U být jednotkovým diskem s metrikou Poincaré ${ displaystyle rho}$; nechat S být Riemannův povrch obdařen a Hermitovská metrika ${ displaystyle sigma}$ jehož Gaussovo zakřivení je ≤ -1; nechat ${ displaystyle f: U rightarrow S}$ být holomorfní funkce. Pak

${ displaystyle sigma (f (z_ {1}), f (z_ {2})) leq rho (z_ {1}, z_ {2})}$

pro všechny ${ displaystyle z_ {1}, z_ {2} v U.}$

Zobecnění této věty bylo prokázáno Shing-Tung Yau v roce 1973.^[1]

Reference