Zásady hinduistického zúčtování - Principles of Hindu Reckoning

algoritmus dělení, jak je popsáno v Zásady hinduistického zúčtování

{ displaystyle { tfrac {5625} {243}} = 23 { tfrac {36} {243}}}

Zásady hinduistického zúčtování (Kitab fi usul hisab al-hind) je matematika kniha napsaná perským matematikem z 10. a 11. století Kushyar ibn Labban. Jedná se o druhou nejstarší knihu v arabštině o použití hinduistické aritmetiky Hindu-arabské číslice (० ۱ ۲ ۳ ۴ ۵ ۶ ۷ ۸ ۹), před kterým je Kibab al-Fusul fi al-Hisub al-Hindi podle Abul al-Hassan Ahmad ibn Ibrahim al-Uglidis, napsaný v roce 952.

Ačkoli Al-Khwarzimi také napsal knihu o hinduisty aritmetický v roce 825 byl jeho arabský originál ztracen a dochoval se pouze překlad z 12. století.^[1] Kushyar ibn Labban nezmínil indické zdroje pro Hinduistické zúčtovánía neexistuje žádná dřívější indická kniha, která by pokrývala stejná témata jako tato kniha. Zásady hinduistického zúčtování byl jedním ze zahraničních zdrojů pro Hinduistické zúčtování v 10. a 11. století v Indii. Do angličtiny jej přeložili Martin Levey a Marvin Petruck v roce 1963 z jediného dochovaného arabského rukopisu v té době: Istanbul, knihovna Aya Sophya, MS 4857 a hebrejský překlad a komentář Shālôma ben Josepha 'Anābīho.^[2]

Indická prachová deska

Hinduistická aritmetika byla prováděna na prachové desce podobné čínským počítací deska. Prachová deska je plochý povrch s vrstvou písku a lemovaný mřížkami. Stejně jako Číňané počítací tyč číslice, prázdné místo na mřížce pískové desky znamenalo nulu a znaménko nula nebylo nutné.^[3] Posun číslic zahrnuje mazání a přepisování, na rozdíl od počítací desky.

Obsah

Existuje pouze jedna arabská kopie, která je nyní uložena v knihovně Hagia Sophia v Istanbulu. V něm je také hebrejský překlad s komentářem Bodleian knihovna z Oxfordská univerzita. V roce 1965 vydala University of Wisconsin Press anglické vydání této knihy přeložené Martinem Leveyem a Marvinem Petruckem, založené na arabském i hebrejském vydání. Tento anglický překlad zahrnoval 31 desek faksimile původního arabského textu.^[4]

Zásady hinduistického zúčtování se skládá ze dvou částí zabývajících se aritmetikou v systému dvou číslic v Indii v té době.

Část I se zabývala hlavně desítkovým algoritmem odčítání, násobení, dělení, extrakce druhé odmocniny a kubické odmocniny v místní hodnotě Hinduistické číslice Systém. Sekce o „půlení“ však byla zacházena odlišně, tj. S hybridem desítkové a šestnáctkové číslice.

Podobnost mezi desítkovým hinduistickým algoritmem a čínským algoritmem v Sunzi Suanjing jsou nápadné,^[5] s výjimkou operace na polovinu, protože v Číně neexistoval hybridní desítkový / sexagesimální výpočet.

Část II se zabývala operací odčítání, násobení, dělení, extrakce druhé odmocniny a kubické odmocniny v sexagesimal číselný systém. V Číně existovala pouze poziční desítková aritmetika, nikdy žádná sexageimální aritmetika.
Na rozdíl od Abu'l-Hasan al-Uqlidisi je Kitab al-Fusul fi al-Hisab al-Hindi (Aritmetika Al-Uqlidisi) kde byly základní matematické operace sčítání, odčítání, násobení a dělení popsány slovy, kniha ibn Labbana poskytla skutečné výpočtové postupy vyjádřené v hindsko-arabských číslicích.

Desetinná aritmetika

Přidání

Přidání počtu tyčí

Hinduistický přírůstek ala ibn Labban

Kushyar ibn Labban podrobně popsal přidání dvou čísel.

Přidání Hindu je totožné s přidáním číslice tyče v Sunzi Suanjing^[6]

úkon	Rodový počet	Hinduistické rekonování
Rozložení	Uspořádejte dvě čísla do dvou řad	Uspořádejte dvě čísla do dvou řad
pořadí výpočtu	zleva doprava	zleva doprava
výsledek	umístěné v horní řadě	Umístěno v horní řadě
odstraňte spodní řádek	odebírejte číslici po číslici zleva doprava	číslice nebyla odstraněna

Tam byl menší rozdíl v zacházení s druhou řadou, v hinduistickém počítání zůstaly číslice druhé řady nakreslené na pískové desce od začátku do konce na místě, zatímco v počtu prutů byly tyče ze spodních řad fyzicky odstraněny a přidány do horní řady, číslice po číslici.

Odčítání

400AD Sunzi algoritmus odčítání

Hinduistické odečítání z 11. století 5625–839

Ve třetí části své knihy poskytl Kushyar ibn Labban krok za krokem algoritmus pro odečtení 839 od 5625. Číslice druhého řádku zůstaly na místě po celou dobu. V prutovém počtu byla číslice z druhé řady ve výpočtu odstraněna číslici za číslicí, přičemž v jednom řádku zůstal pouze výsledek.

Násobení

Sunziho množení

ibn Labban násobení

Násobení Kushyar ibn Labban je variací Sunziho množení.

úkon	Sunzi	Hind
multiplikátor	umístěný v horní řadě,	umístěný v horní řadě,
násobitel	třetí řada	2. řádek pod multiplikátorem
zarovnání	poslední číslice multiplikátoru s první číslicí multiplikátoru	poslední číslice multiplikátoru s první číslicí multiplikátoru
multiplikační polstrování	polotovary číslic tyčí	polotovary ve stylu tyčové číslice, nikoli hinduistická číslice 0
pořadí výpočtu	zleva doprava	zleva doprava
produkt	umístěný ve střední řadě	sloučeny s multiplikantem
posunutí multiplikátoru	o jednu pozici doprava	o jednu pozici doprava

Divize

Profesor Lam Lay Yong zjistil, že metoda hindského dělení popsaná Kushyarem ibn Labbanem je zcela totožná s dělení prutovým počtem v 5. století Sunzi Suanjing.^[7]

Algoritmus Sunziho dělení pro

{ displaystyle { tfrac {6561} {9}}}

Hinduistické desetinné dělení

{ displaystyle { tfrac {5625} {243}}}

ala ibn Labban

úkon	Sunziho divize	Hinduistické rozdělení
dividenda	ve střední řadě,	ve střední řadě,
dělitel	dělitel ve spodní řadě	dělitel ve spodní řadě
Kvocient	umístěné v horní řadě	umístěné v horní řadě
výplň dělitele	polotovary číslic tyčí	polotovary ve stylu tyčové číslice, nikoli hinduistická číslice 0
pořadí výpočtu	zleva doprava	zleva doprava
Řazení dělitele	o jednu pozici doprava	o jednu pozici doprava
Zbytek	čitatel ve středním řádku, jmenovatel ve spodní části	čitatel ve středním řádku, jmenovatel ve spodní části

Kromě zcela identického formátu, postupu a zbytkového zlomku je jedno výmluvné znaménko, které odhaluje původ tohoto dělícího algoritmu, v chybějící 0 po 243, která by ve skutečné hinduistické číslici měla být zapsána jako 2430, ne 243blank; mezera je vlastnost číslic tyče (a počítadla).

Vydělte 2

Vydělte 2 nebo „na polovinu“ v hinduistické zúčtování bylo zacházeno s hybridem desítkových a sexagesimálních čísel: Nebylo to počítáno zleva doprava jako desetinná aritmetika, ale zprava doleva: Po rozpuštění první číslice 5 na 2¹⁄₂, vyměňte 5 za 2 a napište 30 pod to:

5622

30

Konečný výsledek:

2812

30

Extrakce druhé odmocniny

Sunziho algoritmus pro sqrt 234567 = 383

{ displaystyle { tfrac {311} {968}}}

ibn Labban druhá odmocnina z 63342

Kushyar ibn Labban popsal algoritmus pro extrakci druhé odmocniny na příkladu

${ displaystyle { sqrt {(}} 63342) = 255 { frac {371} {511}}}$

Algoritmus extrakce odmocniny Kushyar ibn Labban je v zásadě stejný jako algoritmus Sunzi

úkon	Sunzi druhá odmocnina	ibn Labban sqrt
dividenda	ve střední řadě,	ve střední řadě,
dělitel	dělitel ve spodní řadě	dělitel ve spodní řadě
Kvocient	umístěné v horní řadě	umístěné v horní řadě
výplň dělitele	polotovary číslic tyčí	polotovary ve stylu tyčové číslice, nikoli hinduistická číslice 0
pořadí výpočtu	zleva doprava	zleva doprava
zdvojnásobení dělitele	vynásobeno 2	vynásobeno 2
Řazení dělitele	o jednu pozici doprava	o jednu pozici doprava
Kvocient řazení	Umístěný na začátku, bez následného posunu	o jednu pozici doprava
Zbytek	čitatel ve středním řádku, jmenovatel ve spodní části	čitatel ve středním řádku, jmenovatel ve spodní části
konečný jmenovatel	žádná změna	přidat 1

Výsledek aproximace nedokonalé druhé odmocniny pomocí Sunziho algoritmu je o něco vyšší než skutečná hodnota v desítkové části, aproximace druhé odmocniny Labbana dala mírně nižší hodnotu, celočíselná část je stejná.

Sexageimální aritmetika

Násobení

Hinduistický sexagesimální multiplikační formát byl zcela odlišný od hindské desítkové aritmetiky. Příklad Kushyara ibn Labbana 25 stupňů 42 minut vynásobených 18 stupňů 36 minut byl napsán vertikálně jako

18| |25

36| |42

s mezerou mezi nimi^[8]

Vliv

Kushyar ibn Labban Zásady hinduistického zúčtování měl silný vliv na pozdější arabské algoritmy. Jeho student al-Nasawi následoval metodu svého učitele. Algorist 13. století, Jordanus de Nemore Jeho práce byla ovlivněna al-Nasawim. Ještě v 16. století bylo jméno ibn Labbana stále zmiňováno.^[9]

Reference

^ Martin Levey a Martin Petruck, str. 3.
^ Martin Levey, Marvin Petruck, „Kūshyār Ibn Labbān: Principles of Hindu Reckoning“, The University of Wisconsin Press (1965).
^ George Ifrah, The Universal History of Numbers, str. 554.
^ Martin Levey a Marvin Petruck tr, Kushyar Ibn Labban, Zásady hinduistického zúčtování„The University of Wisconsin Press, 1965. Library of Congress Catalogue 65-11206.
^ Lam Lay Yong, Ang Tian Se, Fleeting Footsteps, str. 52.
^ Lam Lay Yong, Ang Tian Se, Fleeting Footstep, str. 47, World Scientific.
^ Lam Lay Yong, Ang Tian Se, Fleeting Footstep, str. 43, World Scientific.
^ Kushyar ibn Labban, Zásady hinduistického zúčtování, str. 80, Wisconsin.
^ Poznámka od Martina Leveyho a Marvina Petrucka Zásady hinduistického zúčtování str. 40–42.

externí odkazy

The Development of Hindu-Arabic and Traditional Chinese Arithmetic, Chinese Science 13 1996, 35-54

[1] Martin Levey a Martin Petruck, str. 3.

[2] Martin Levey, Marvin Petruck, „Kūshyār Ibn Labbān: Principles of Hindu Reckoning“, The University of Wisconsin Press (1965).

[3] George Ifrah, The Universal History of Numbers, str. 554.

[4] Martin Levey a Marvin Petruck tr, Kushyar Ibn Labban, Zásady hinduistického zúčtování„The University of Wisconsin Press, 1965. Library of Congress Catalogue 65-11206.

[5] Lam Lay Yong, Ang Tian Se, Fleeting Footsteps, str. 52.

[6] Lam Lay Yong, Ang Tian Se, Fleeting Footstep, str. 47, World Scientific.

[7] Lam Lay Yong, Ang Tian Se, Fleeting Footstep, str. 43, World Scientific.

[8] Kushyar ibn Labban, Zásady hinduistického zúčtování, str. 80, Wisconsin.

[9] Poznámka od Martina Leveyho a Marvina Petrucka Zásady hinduistického zúčtování str. 40–42.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]