Yigu yanduan - Yigu yanduan - Wikipedia

Předmluva k Yigu yanduan, Siku Quanshu

Yigu yanduan (益 古 演 段 Stará matematika v rozšířených sekcích) je matematická práce ze 13. století od Yuan dynastie matematik Li Zhi.

Přehled

Yigu yanduan bylo založeno na Severní píseň matematik Jiang Zhou (蒋 周) Yigu Ji (益 古 集 Sbírka staré matematiky), která zanikla. Z fragmentů uvedených v Yang Hui práce Kompletní algoritmy výměry (田亩 比 类 算法 大全), toto ztratilo matematické pojednání Yigu Ji šlo o řešení plošných problémů s geometrií.

Li Zhi použil příklady Yigu Ji představit umění Tian juan shu pro nováčky v tomto oboru. Ačkoli předchozí monografie Li Zhi Ceyuan haijing také používá Tian yuan shu, je těžší pochopit než Yigu yanduan.

Yigu yanduan byl později shromážděn do Siku Quanshu.

Yigu yanduan sestává ze tří svazků s 64 problémy vyřešenými pomocí Tian jüanu sh] souběžně s geometrickou metodou. Li Zhi měl v úmyslu seznámit studenty s uměním Tian yuan shu prostřednictvím starověké geometrie. Yigu yanduan dohromady s Ceyuan haijing jsou považovány za hlavní příspěvky do Tian juan shu od Li Zhi. Tyto dvě práce jsou také považovány za nejstarší existující dokumenty o Tian Yuan Shu.

Všech 64 problémů následovalo víceméně ve stejném formátu, počínaje otázkou (问), následovanou odpovědí (答曰), schématem, poté algoritmem (术), ve kterém Li Zhi krok za krokem vysvětlil, jak nastavit rovnice algebry s Tian juan shu, poté následovala geometrická interpretace (Tiao duan shu). Pořadí uspořádání rovnice Tian yuan shu v Yigu yanduan je opakem toho v Ceyuan haijing, tj. zde s konstantním členem nahoře, následovaným tian yuanem prvního řádu, tian yuanem druhého řádu, tian yuanem třetího řádu atd. Toto pozdější uspořádání odpovídalo současné konvenci algebrické rovnice (například , Qin Jiushao Matematické pojednání v devíti sekcích ), a později se stal normou.

Yigu yanduan byl poprvé představen anglickým čtenářům britským protestantským křesťanským misionářem v Číně, Alexander Wylie kdo napsal:

Yi koo yen t'wan ... napsaný v roce 1282 se skládá ze 64 geometrických problémů, ilustrovaných principů měření rovin, evoluce a dalších pravidel, přičemž celý je vyvíjen pomocí T'een yuen.^[1]

V roce 1913 přeložil Van Hée všech 64 problémů do jazyka Yigu yanduan do francouzštiny.^[2]

Svazek I

Problém 8 v Yigu yanduan vyřešen v řadě Tian juan shu

Úloha 1 až 22, vše o matematice kruhu vloženého do čtverce.

Příklad: problém 8

K dispozici je čtvercové pole s kruhovým jezírkem uprostřed, vzhledem k tomu, že země je 13,75 mu, a součet obvodů čtvercového pole a kruhového jezírka se rovná 300 schodům, jaké jsou obvody čtverce a kruhu příslušné?

Odpověď: Obvod čtverce je 240 kroků, obvod kruhu je 60 kroků.

Metoda: nastavte tian juan jeden (nebeský prvek 1) jako průměr kruhu, x

TAI

vynásobte 3 a získáte obvod kruhu 3x (pi ~~ 3)

TAI

odečtěte to od součtu obvodů, abyste získali obvod čtverce ${ displaystyle 300-3x}$

TAI

Čtverec se rovná 16násobku plochy čtverce ${ displaystyle (300-3x) * (300-3x) = 90000-1800x + 9x ^ {2}}$

TAI

Znovu nastavte tian juan 1 jako průměr kruhu, srovnejte jej a vynásobte 12, abyste získali 16násobek plochy kruhu jako

TAI

odečíst od 16 časových čtvercových ploch máme 16násobek plochy půdy

TAI

dejte to na pravou stranu a dejte 16krát 13,75 mu = 16 * 13,75 * 240 = 52800 kroků vlevo, po zrušení dostaneme ${ displaystyle -3x ^ {2} -1800x + 37200 = 0:}$

TAI

Vyřešte tuto rovnici a získáte průměr kruhu = 20 kroků, obvod kruhu = 60 kroků

Svazek II

Úloha 23 až 42, 20 problémů ve všech řešeních geometrie obdélníku vloženého do kruhu s tian yuan shu

Příklad, problém 35

Předpokládejme, že máme kruhové pole s obdélníkovým vodním bazénem uprostřed a vzdálenost rohu od obvodu je 17,5 kroků a součet délky a šířky bazénu je 85 kroků, jaký je průměr kruhu, délka a šířka bazénu?

Odpověď: Průměr kruhu je sto kroků, délka bazénu je 60 kroků a šířka 25 kroků. Metoda: Nechte tian yuan jeden jako úhlopříčku obdélníku, pak průměr kruhu je tian yuan one plus 17,5 * 2

${ displaystyle x + 35}$

vynásobte druhou mocninu průměru pomocí ${ displaystyle pi cca 3}$ se rovná čtyřnásobku plochy kruhu:

${ displaystyle 3 (x + 35) ^ {2} = 3x ^ {2} + 210x + 3675}$

odečtením čtyřnásobku plochy půdy k získání:

čtyřnásobek plochy bazénu ${ displaystyle 3x ^ {2} + 210x + 3675-4x6000}$= ${ displaystyle 3x ^ {2} + 210x-20325}$

Nyní

Čtverec součtu délky a šířky bazénu = 85 * 85 = 7225, což je čtyřnásobek plochy bazénu plus čtverec rozdílu jeho délky a šířky (${ displaystyle (L-W) ^ {2}}$)

Dále zdvojnásobte plochu bazénu plus ${ displaystyle (L-W) ^ {2}}$ rovná se ${ displaystyle L ^ {2} + W ^ {2}}$ = čtverec úhlopříčky bazénu

(čtyřnásobná plocha bazénu + čtverec jeho rozdílu rozměrů) - (dvojnásobek plochy bazénu + čtverec, pokud je jeho rozměrový rozdíl) rovná ${ displaystyle 7225-x ^ {2}}$ = dvojnásobek plochy bazénu

tedy čtyřnásobek plochy bazénu ${ displaystyle 2 (7225-x ^ {2})}$

srovnejte to se čtyřnásobnou plochou bazénu získanou výše

${ displaystyle 2 (7225-x ^ {2})}$ =${ displaystyle 3x ^ {2} + 210x-20325}$

dostaneme kvadratickou rovnici ${ displaystyle 5x ^ {2} + 210x-34775}$= 0 Vyřešte tuto rovnici a získejte

• úhlopříčka bazénu = 65 kroků
• průměr kruhu = 65 + 2 * 17,5 = 100 kroků
• Délka - šířka = 35 kroků
• Délka + šířka = 85 kroků
• Délka = 60 kroků
• Šířka = 25 kroků

Svazek III

Úloha 42 až 64, celkem 22 otázek o matematice složitějších diagramů

Otázka: padesátý čtvrtý. K dispozici je čtvercové pole, na jehož úhlopříčce leží obdélníkový bazén s vodou. Oblast mimo bazén je tisíc sto padesát kroků. Vzhledem k tomu, že od rohů pole k rovným stranám bazénu je čtrnáct kroků a devatenáct kroků. Jaká je plocha čtvercového pole, jaká je délka a šířka bazénu?

Odpověď: Plocha čtvercového pole je 40 čtverečních kroků, délka bazénu je třicet pět kroků a šířka je dvacet pět kroků.

Nechť šířka bazénu je Tianyuan 1.

TAI

Přidejte šířku bazénu na dvojnásobek vzdálenosti od rohu pole k krátké dlouhé straně bazénu, která se rovná délce úhlopříčky pole x + 38

TAI

Zarovnejte jej, abyste získali plochu čtverce s délkou úhlopříčky bazénu jako jeho strany

${ displaystyle x ^ {2} + 76x + 1444}$

TAI

Délka bazénu mínus šířka bazénu vynásobená 2 = 2 (19-14) = 10

Délka bazénu = šířka bazénu +10: x + 10

TAI

Plocha bazénu = bazén s dobou délky bazénu: x (x + 10) =${ displaystyle x ^ {2} + 10x}$

TAI

Plocha bazénů 乘 1,96 ( druhá odmocnina ze 2 ) =1.4

jeden má ${ displaystyle 1,96x ^ {2} + 19,6x}$

tai

Plocha úhlopříčky čtverce odečtená plocha bazénu vynásobená 1,96 se rovná ploše pozemků krát 1,96:

${ displaystyle x ^ {2} + 76x + 1444}$ - ${ displaystyle 1,96x ^ {2} + 19,6x =}$：${ displaystyle -0,96x ^ {2} + 56,4x + 1444}$

TAI

Obsazené časy spiknutí 1,96 = 1150 * 1,96 = 2254 =${ displaystyle -0,96x ^ {2} + 56,4x + 1444}$

tedy =${ displaystyle -0,96x ^ {2} + 56,4x-810}$:

TAI

Vyřešte tuto rovnici a my získáme

šířka bazénu 25 kroků proto délka bazénu = šířka bazénu +10 = 35 kroků délka bazénu = 45 kroků

Reference

Čtení

• Yoshio Mikami Vývoj matematiky v Číně a Japonsku, str. 81
• Anotováno Yigu yanduan matematik dynastie Čching Li Rui.