Ribetsova věta - Ribets theorem - Wikipedia

v matematika, Ribetova věta (dříve nazývané epsilon domněnka nebo ε-domněnka) je prohlášení v teorie čísel o vlastnostech Galois reprezentace spojený s modulární formy. Navrhl to Jean-Pierre Serre a prokázáno Ken Ribet. Důkaz hypotézy epsilon byl významným krokem k důkazu Fermatova poslední věta. Jak ukazují Serre a Ribet, Domněnka Taniyama – Shimura (jehož stav nebyl v té době vyřešen) a epsilonská domněnka společně naznačují, že Fermatova poslední věta je pravdivá.

Z matematického hlediska Ribetova věta ukazuje, že pokud má Galoisova reprezentace spojená s eliptickou křivkou určité vlastnosti, pak tato křivka nemůže být modulární (v tom smyslu, že nemůže existovat modulární forma, která vede ke stejné Galoisově reprezentaci).^[1]

Prohlášení

Nechat F být váha 2 nová forma na Γ₀(qN)-tj. úrovně qN kde q nedělí N–S absolutně neredukovatelným 2-dimenzionálním mod p Galoisovo zastoupení ρ_{f, str} unramified v q -li q ≠ p a konečný byt v q = p. Pak existuje váha 2 newform G úrovně N takhle

${ displaystyle rho _ {f, p} simeq rho _ {g, p}.}$

Zejména pokud E je eliptická křivka přes ${ displaystyle mathbb {Q}}$ s dirigent qN, pak věta o modularitě zaručuje, že existuje váha 2 newform F úrovně qN tak, že 2-dimenzionální mod p Galoisovo zastoupení ρ_{f, str} z F je izomorfní s 2-dimenzionálním modem p Galoisovo zastoupení ρ_{E, str} z E. Chcete-li použít Ribetovu větu ρ_{E, p}, stačí zkontrolovat neredukovatelnost a rozvětvení ρ_{E, str}. Pomocí teorie Tateova křivka, to se dá dokázat ρ_{E, str} je unramified v q ≠ p a konečný byt v q = p -li p rozděluje moc na kterou q se objeví v minimálním diskriminačním Δ_E. Potom Ribetova věta naznačuje, že existuje nová forma váhy 2 G úrovně N takhle ρ_{G, p} ≈ ρ_{E, p}.

Výsledek snížení úrovně

Všimněte si, že Ribetova věta ne zaručit, že pokud začínáme eliptickou křivkou E vodiče qN, existuje eliptická křivka E' úrovně N takhle ρ_{E, str} ≈ ρ_{E′, p}. Nová forma G úrovně N nemusí mít racionální Fourierovy koeficienty, a proto může být spojován s vyšší dimenzí abelianská odrůda, ne eliptická křivka. Například eliptická křivka 4171a1 v databázi Cremona daná rovnicí

${ displaystyle E: y ^ {2} + xy + y = x ^ {3} -663204x + 206441595}$

s vodičem 43 × 97 a rozlišovacím 43⁷ × 97³ nesnižuje úroveň 7 mod na eliptickou křivku vodiče 97. Mod spíše p Galoisova reprezentace je isomorfní k mod p Galoisova reprezentace iracionální nové formy G úrovně 97.

Nicméně pro p dostatečně velký ve srovnání s úrovní N racionální nové formy (např. eliptická křivka) musí být o úroveň níž nižší než nová racionální nová forma (např. eliptická křivka). Zejména pro p ≫ N^N1+ε, mod p Galoisova reprezentace racionální nové formy nemůže být izomorfní s reprezentací iracionální nové formy úrovně N.^[2]

Podobně Frey-Mazur domněnka to předpovídá p dostatečně velký (nezávisle na vodiči N), eliptické křivky s izomorfním mod p Galoisovy reprezentace jsou ve skutečnosti izogenní, a proto mají stejný vodič. Nepředpokládá se tedy, že k netriviálnímu snižování úrovně mezi racionálními novými formami dojde ve velké míře p (zejména p > 17).

Dějiny

Ve své diplomové práci Yves Hellegouarch [fr ] přišel s myšlenkou přidružení řešení (A,b,C) Fermatovy rovnice se zcela odlišným matematickým objektem: eliptická křivka.^[3]Li p je liché prvočíslo a A, b, a C jsou kladná celá čísla taková, že

${ displaystyle a ^ {p} + b ^ {p} = c ^ {p},}$

pak odpovídající Freyova křivka je algebraická křivka daná rovnicí

${ displaystyle y ^ {2} = x (x-a ^ {p}) (x + b ^ {p}).}$

Toto je nonsingulární algebraická křivka rodu, která je definována nad ${ displaystyle mathbb {Q}}$a jeho projektivní dokončení je eliptická křivka ${ displaystyle mathbb {Q}}$.

V roce 1982 Gerhard Frey upozornil na neobvyklé vlastnosti stejné křivky jako Hellegouarch, nyní nazývané a Freyova křivka.^[4] To poskytlo most mezi Fermatem a Taniyamou tím, že se ukázalo, že protipříklad Fermatovy poslední věty by vytvořil takovou křivku, která by nebyla modulární. Domněnka vzbudila značný zájem, když Frey (1986) navrhl, že domněnka Taniyama – Shimura – Weil implikuje Fermatovu poslední větu. Jeho argument však nebyl úplný.^[5] V roce 1985 Jean-Pierre Serre navrhl, že Freyova křivka nemohla být modulární, a poskytl o tom částečný důkaz.^[6][7] To ukázalo, že důkaz semistabilního případu domněnky Taniyama – Shimura by znamenal Fermatovu poslední větu. Serre neposkytl úplný důkaz a to, co chybělo, se stalo známým jako dohad epsilon nebo dohad ε. V létě roku 1986 Kenneth Alan Ribet prokázal epsilonskou domněnku, čímž dokázal, že domněnka Taniyama – Shimura – Weil implikovala Fermatovu poslední větu.^[8]

Důsledky pro Fermatovu poslední větu

Předpokládejme, že Fermatova rovnice s exponentem p ≥ 5^[8] měl řešení v nenulových celých číslech A, b, C. Vytvořme odpovídající Freyovu křivku E_A^p,b^p,C^p. Je to eliptická křivka a lze ji ukázat minimální diskriminace Δ se rovná 2⁻⁸ (abc)^2p a jeho dirigent N je radikální z abc, tj. součin všech různých dělení prvočísel abc. Elementárním zvážením rovnice A^p + b^p = C^p, je jasné, že jeden z A, b, C je sudé, a tedy také je N. Podle domněnky Taniyama – Shimura, E je modulární eliptická křivka. Protože všechny liché prvočísla se dělí A, b, C v N objeví se a ptu moc v minimálním diskriminačním Δ, podle Ribetovy věty lze vykonat úroveň klesání modulo p opakovaně sundat z vodiče všechny podivné prvočísla. Neexistují však žádné nové formy úrovně 2 jako rod modulární křivky X₀(2) je nula (a nové formy úrovně N jsou diferenciály na X₀(N)).

Viz také

• domněnka abc
• Wilesův důkaz Fermatovy poslední věty

Poznámky

1. ^ „Důkaz poslední Fermatovy věty“. 2008-12-10. Archivovány od originál dne 10.12.2008.
2. ^ Silliman, Jesse; Vogt, Isabel (2015). "Powers in Lucas Sequences via Galois Reprezentations". Proceedings of the American Mathematical Society. 143 (3): 1027–1041. arXiv:1307.5078. CiteSeerX  10.1.1.742.7591. doi:10.1090 / S0002-9939-2014-12316-1. PAN  3293720.
3. ^ Hellegouarch, Yves (1972). „Courbes elliptiques et equation de Fermat“. Disertační práce.
4. ^ Frey, Gerhard (1982), „Rationale Punkte auf Fermatkurven und getwisteten Modulkurven“ [Racionální body na Fermatových křivkách a zkroucených modulárních křivkách], J. Reine Angew. Matematika. (v němčině), 331 (331): 185–191, doi:10.1515 / crll.1982.331.185, PAN  0647382
5. ^ Frey, Gerhard (1986), „Vazby mezi stabilními eliptickými křivkami a určitými diofantickými rovnicemi“, Annales Universitatis Saraviensis. Řada Mathematicae, 1 (1): iv + 40, ISSN  0933-8268, PAN  0853387
6. ^ Serre, J.-P. (1987), „Lettre à J.-F. Mestre [Letter to J.-F. Mestre]“, Současné trendy v aritmetické algebraické geometrii (Arcata, Kalifornie, 1985), Současná matematika (ve francouzštině), 67„Providence, RI: American Mathematical Society, s. 263–268, doi:10.1090 / conm / 067/902597, ISBN  9780821850749, PAN  0902597
7. ^ Serre, Jean-Pierre (1987), „Sur les représentations modulaires de degré 2 de Gal (Q/Q)", Duke Mathematical Journal, 54 (1): 179–230, doi:10.1215 / S0012-7094-87-05413-5, ISSN  0012-7094, PAN  0885783
8. ^ ^{A b} Ribet, Ken (1990). „Na modulárních reprezentacích Gal (Q/Q) vyplývající z modulárních forem “ (PDF). Inventiones Mathematicae. 100 (2): 431–476. Bibcode:1990InMat.100..431R. doi:10.1007 / BF01231195. PAN  1047143.

Reference

• Kenneth Ribet, Od domněnky Taniyama-Shimura po Fermatovu poslední větu. Annales de la faculté des sciences de Toulouse Sér. 5, 11 č. 1 (1990), str. 116–139.
• Andrew Wiles (Květen 1995). "Modulární eliptické křivky a Fermatova poslední věta" (PDF). Annals of Mathematics. 141 (3): 443–551. CiteSeerX  10.1.1.169.9076. doi:10.2307/2118559. JSTOR  2118559.
• Richard Taylor a Andrew Wiles (květen 1995). "Ring-teoretické vlastnosti určitých Hecke algeber" (PDF). Annals of Mathematics. 141 (3): 553–572. CiteSeerX  10.1.1.128.531. doi:10.2307/2118560. ISSN  0003-486X. JSTOR  2118560. OCLC  37032255. Zbl  0823.11030.
• Freyova křivka a Ribetova věta

externí odkazy

• Ken Ribet a Fermatova poslední věta podle Kevin Buzzard 28. června 2008