Descartova vláda znamení

v matematika, Descartova vláda znamení, poprvé popsal René Descartes ve své práci La Géométrie, je technika získávání informací o počtu pozitivních reálných kořeny a polynomiální. Tvrdí, že počet kladných kořenů je nanejvýš počet změn znaménka v posloupnosti polynomiálních koeficientů (vynecháním nulových koeficientů) a že rozdíl mezi těmito dvěma čísly je vždy sudý. To zejména znamená, že pokud je počet změn znaménka nula nebo jedna, pak existuje přesně nula nebo jeden kladný kořen.

Podle a homografická transformace proměnné lze použít Descartovo pravidlo značek pro získání podobné informace o počtu kořenů v libovolném intervalu. Toto je základní myšlenka Budanova věta a Budanova-Fourierova věta. Opakováním rozdělení intervalu na dva intervaly se nakonec získá seznam disjunktních intervalů, které obsahují společně všechny skutečné kořeny polynomu a obsahují každý přesně jeden skutečný kořen. Descartovo pravidlo znaků a homografické transformace proměnné jsou dnes základem nejrychlejších algoritmů pro počítačový výpočet skutečných kořenů polynomů (viz Skutečná kořenová izolace ).

Descartes sám použil transformaci $X \to - X$ za použití jeho pravidla pro získání informací o počtu negativních kořenů.

Pozitivní kořeny

Pravidlo uvádí, že pokud nenulové podmínky jedné proměnné polynomiální s nemovitý koeficienty jsou řazeny sestupně proměnným exponentem, potom počtem kladných kořeny polynomu je buď rovno počtu změn znaménka mezi po sobě jdoucími (nenulovými) koeficienty, nebo je menší než sudé číslo. Kořen multiplicita $k$ se počítá jako $k$ kořeny.

Zejména pokud je počet změn znaménka nula nebo jedna, počet kladných kořenů se rovná počtu změn znaménka.

Negativní kořeny

Jako důsledek pravidla, počet záporných kořenů je počet změn znaménka po vynásobení koeficientů lichých výkonových výrazů −1, nebo menšího než sudým číslem. Tento postup je ekvivalentní nahrazení negace proměnné za proměnnou samotnou. Například negativní kořeny ${ displaystyle ax ^ {3} + bx ^ {2} + cx + d}$ jsou pozitivní kořeny

{ displaystyle a (-x) ^ {3} + b (-x) ^ {2} + c (-x) + d = -ax ^ {3} + bx ^ {2} -cx + d.}

Aplikování Descartova pravidla znaků na tento polynom dává tedy maximální počet záporných kořenů původního polynomu.

Příklad: skutečné kořeny

Polynom

{ displaystyle f (x) = + x ^ {3} + x ^ {2} -x-1}

má jednu změnu znaménka mezi druhým a třetím výrazem (posloupnost znaků je $(+, +, -, -)$ . Proto má právě jeden kladný kořen. Chcete-li zjistit počet záporných kořenů, změňte znaménka koeficientů výrazů s lichými exponenty, tj. Použijte Descartovo pravidlo znaménka na polynom ${ displaystyle f (-x)}$ , k získání polynomu

{ displaystyle f (-x) = - x ^ {3} + x ^ {2} + x-1.}

Tento polynom má dvě změny znaménka (znaménka sekvence jsou $(-, +, +, -)$ ), což znamená, že tento druhý polynom má dva nebo nulové kladné kořeny; tedy původní polynom má dva nebo nula záporných kořenů.

Ve skutečnosti faktorizace prvního polynomu je

{ displaystyle f (x) = (x + 1) ^ {2} (x-1),}

takže kořeny jsou –1 (dvakrát) a +1 (jednou).

Faktorizace druhého polynomu je

{ displaystyle f (-x) = - (x-1) ^ {2} (x + 1),}

Takže zde jsou kořeny +1 (dvakrát) a –1 (jednou), což je negace kořenů původního polynomu.

Nereálné kořeny

Žádný npolynom 5. stupně má přesně n kořeny v složité letadlo, pokud se počítá podle multiplicity. Takže když F(X) je polynom, který nemá kořen na 0 (tj. polynom s nenulovou konstantní funkcí), pak minimální počet nerealistických kořenů se rovná

{ displaystyle n- (p + q),}

kde p označuje maximální počet kladných kořenů, q označuje maximální počet záporných kořenů (oba lze najít pomocí Descartova pravidla znaménka) a n označuje stupeň rovnice.

Příklad: některé nulové koeficienty a nereálné kořeny

Polynom

{ displaystyle f (x) = x ^ {3} -1,}

má jednu změnu znaménka; takže počet pozitivních skutečných kořenů je jeden. Tak jako

{ displaystyle f (-x) = - x ^ {3} -1,}

nemá žádnou změnu znaménka, původní polynom nemá žádné negativní skutečné kořeny. Takže počet neskutečných kořenů je

{ displaystyle 3- (1 + 0) = 2 ,.}

Protože nereálné kořeny polynomu se skutečnými koeficienty se musí vyskytovat v konjugovaných párech, znamená to $X 3 - 1$ má přesně dva nerealistické kořeny a jeden skutečný kořen, což je pozitivní.

Speciální případ

K odečtení pouze násobků 2 od maximálního počtu kladných kořenů dochází, protože polynom může mít nereálné kořeny, které vždy přicházejí v párech, protože pravidlo platí pro polynomy, jejichž koeficienty jsou skutečné. Pokud je tedy známo, že polynom má všechny skutečné kořeny, toto pravidlo umožňuje najít přesný počet kladných a záporných kořenů. Protože je snadné určit multiplicitu nuly jako kořen, lze v tomto případě určit znaménko všech kořenů.

Zobecnění

Pokud skutečný polynom P má k skutečné pozitivní kořeny počítané s multiplicitou, pak pro všechny A > 0 je minimálně k změny znaménka v posloupnosti koeficientů Taylorovy řady funkce E^sekeraP(X). Pro A dostatečně velké, existují přesně k takové změny znaménka.^[1]^[2]

V 70. letech Askold Khovanskii vyvinul teorii fewnomials to zobecňuje Descartovo pravidlo.^[3] Pravidlo značek lze považovat za tvrzení, že počet skutečných kořenů polynomu závisí na složitosti polynomu a že tato složitost je úměrná počtu monomiálů, které má, nikoli jeho míře. Khovanskiǐ ukázal, že to platí nejen pro polynomy, ale i pro algebraické kombinace mnoha transcendentálních funkcí, tzv. Pfaffianovy funkce.

Viz také

Sturmova věta - Počet kořenů polynomu v intervalu bez jejich výpočtu
Racionální kořenová věta - Vztah mezi racionálními kořeny polynomu a jeho extrémními koeficienty
Geometrické vlastnosti kořenů polynomů - Geometrie umístění polynomiálních kořenů
Gauss – Lucasova věta - Geometrický vztah mezi kořeny polynomu a kořeny jeho derivátu

Poznámky

^ D. R. Curtiss, Nedávná rozšíření Descartova pravidla znamení, Annals of Mathematics., Sv. 19, č. 4, 1918, s. 251–278.
^ Vladimír P. Kostov, Mapování definované složením Schur – Szegő, Comptes Rendus Acad. Bulg. Sci. tome 63, č. 7, 2010, s. 943–952.
^ Khovanski®, A.G. (1991). Fewnomials. Překlady matematických monografií. Z ruštiny přeložila Smilka Zdravkovska. Providence, RI: Americká matematická společnost. str. 88. ISBN 0-8218-4547-0. Zbl 0728.12002.

externí odkazy

Tento článek včlení materiál z Descartova pravidla znamení PlanetMath, který je licencován pod Creative Commons Attribution / Share-Alike License.

Descartovo pravidlo značek - Důkaz pravidla
Descartovo pravidlo značek - Základní vysvětlení

[1] D. R. Curtiss, Nedávná rozšíření Descartova pravidla znamení, Annals of Mathematics., Sv. 19, č. 4, 1918, s. 251–278.

[2] Vladimír P. Kostov, Mapování definované složením Schur – Szegő, Comptes Rendus Acad. Bulg. Sci. tome 63, č. 7, 2010, s. 943–952.

[3] Khovanski®, A.G. (1991). Fewnomials. Překlady matematických monografií. Z ruštiny přeložila Smilka Zdravkovska. Providence, RI: Americká matematická společnost. str. 88. ISBN 0-8218-4547-0. Zbl 0728.12002.

[1]

[2]

[3]