Identita Q-Vandermonde - Q-Vandermonde identity

v matematika, v oblasti kombinatorika, q-Vandermonde identita je q-analog z Chu – Vandermonde identita. Používání standardní notace pro q-binomiální koeficienty, uvádí to identita

${displaystyle {jiné {m + n} {k}} _ {!! q} = součet _ {j} {jiné {m} {kj}} _ {!! q} {jiné {n} {j}} _ {!! q} q ^ {j (m-k + j)}.}$

Nenulové příspěvky k této částce pocházejí z hodnot j takové, že q-binomiální koeficienty na pravé straně jsou nenulové, to znamená, max (0, k − m) ≤ j ≤ min (n, k).

Další konvence

Jak je typické pro q-analogy, q-Vandermonde identita může být přepsána mnoha způsoby. V konvencích běžných v aplikacích do kvantové skupiny, rozdíl q-je použit binomický koeficient. Tento q-binomiální koeficient, který zde označujeme ${displaystyle B_ {q} (n, k)}$, je definováno

${displaystyle B_ {q} (n, k) = q ^ {- k (n-k)} {jiné {n} {k}} _ {!! q ^ {2}}.}$

Jedná se zejména o jedinečný posun „obvyklého“ q-binomiální koeficient o síle q takže výsledek je symetrický v q a ${displaystyle q ^ {- 1}}$. Pomocí tohoto q-binomiální koeficient, q-Vandermonde identitu lze zapsat do formuláře

${displaystyle B_ {q} (m + n, k) = q ^ {nk} součet _ {j} q ^ {- (m + n) j} B_ {q} (m, kj) B_ {q} (n , j).}$

Důkaz

Stejně jako uq) Chu – Vandermonde identity, existuje několik možných důkazů o q-Vandermonde identita. Následující důkaz používá q-binomiální věta.

Jedním ze standardních důkazů identity Chu – Vandermonde je rozšíření produktu ${displaystyle (1 + x) ^ {m} (1 + x) ^ {n}}$ dvěma různými způsoby. Po Stanley,^[1] můžeme tento důkaz vylepšit, abychom prokázali q-Vandermonde identita, stejně. Nejprve si všimněte, že produkt

${displaystyle (1 + x) (1 + qx) cdots left (1 + q ^ {m + n-1} xight)}$

lze rozšířit o q-binomiální věta jako

${displaystyle (1 + x) (1 + qx) cdots left (1 + q ^ {m + n-1} xight) = součet _ {k} q ^ {frac {k (k-1)} {2}} {jin {m + n} {k}} _ {!! q} x ^ {k}.}$

Méně zřejmé, že můžeme psát

${displaystyle (1 + x) (1 + qx) cdots left (1 + q ^ {m + n-1} xight) = left ((1 + x) cdots (1 + q ^ {m-1} x )ight ) left (left (1+ (q ^ {m} x) ight) left (1 + q (q ^ {m} x) ight) cdots left (1 + q ^ {n-1} (q ^ {m} x) ight) ight)}$

a můžeme rozšířit oba podprodukty samostatně pomocí q-binomiální věta. To přináší

${displaystyle (1 + x) (1 + qx) cdots left (1 + q ^ {m + n-1} xight) = left (sum _ {i} q ^ {frac {i (i-1)} {2 }} {jiný {m} {i}} _ {!! q} x ^ {i} ight) cdot left (sum _ {i} q ^ {mi + {frac {i (i-1)} {2}} } {jin {n} {i}} _ {!! q} x ^ {i} ight).}$

Násobení tohoto posledního produktu a kombinace podobných výrazů dává

${displaystyle sum _ {k} sum _ {j} left (q ^ {j (m-k + j) + {frac {k (k-1)} {2}}} {jiné {m} {kj}} _ {!! q} {jin {n} {j}} _ {!! q} ight) x ^ {k}.}$

A konečně, srovnávací síly ${displaystyle x}$ mezi dvěma výrazy přináší požadovaný výsledek.

Tento argument může být formulován také z hlediska rozšíření produktu ${displaystyle (A + B) ^ {m} (A + B) ^ {n}}$ dvěma různými způsoby, kde A a B jsou operátory (například dvojice matic), že „q-commute, "to znamená, že uspokojit BA = qAB.

Poznámky

Reference

• Richard P. Stanley (2011). Enumerativní kombinatorika, svazek 1 (PDF) (2. vyd.). Citováno 2. srpna 2011.

• Exton, H. (1983), q-Hypergeometrické funkce a aplikace, New York: Halstead Press, Chichester: Ellis Horwood, 1983, ISBN  0853124914, ISBN  0470274530, ISBN  978-0470274538
• Gaurav Bhatnagar (2011). „Chvála elementární identity Eulera“. Electronic Journal of Combinatorics. 18 (2): 13. arXiv:1102.0659.
• Victor J. W. Guo (2008). "Bijective Důkazy Gould a Rothe identit". Diskrétní matematika. 308 (9): 1756. arXiv:1005.4256. doi:10.1016 / j.disc.2007.04.020.
• Sylvie Corteel; Carla Savage (2003). "Přednáškové sály, věty q a zkrácené objekty". arXiv:matematika / 0309108.