Eliptická gama funkce - Elliptic gamma function
v matematika , eliptická gama funkce je zobecněním funkce q-gama , což je samo o sobě q-analog obyčejného funkce gama . Úzce souvisí s funkcí, kterou studoval Jackson (1905) , a lze jej vyjádřit pomocí funkce trojitého gama . Je to dáno
Γ ( z ; str , q ) = ∏ m = 0 ∞ ∏ n = 0 ∞ 1 − str m + 1 q n + 1 / z 1 − str m q n z . { displaystyle Gamma (z; p, q) = prod _ {m = 0} ^ { infty} prod _ {n = 0} ^ { infty} { frac {1-p ^ {m + 1} q ^ {n + 1} / z} {1-p ^ {m} q ^ {n} z}}.} Podřídí se několika identitám:
Γ ( z ; str , q ) = 1 Γ ( str q / z ; str , q ) { displaystyle Gamma (z; p, q) = { frac {1} { Gamma (pq / z; p, q)}} ,} Γ ( str z ; str , q ) = θ ( z ; q ) Γ ( z ; str , q ) { Displaystyle Gamma (pz; p, q) = theta (z; q) gama (z; p, q) ,} a
Γ ( q z ; str , q ) = θ ( z ; str ) Γ ( z ; str , q ) { Displaystyle Gamma (qz; p, q) = theta (z; p) gama (z; p, q) ,} kde θ je funkce q-theta .
Když str = 0 { displaystyle p = 0} , v podstatě se redukuje na nekonečno q-Pochhammerův symbol :
Γ ( z ; 0 , q ) = 1 ( z ; q ) ∞ . { displaystyle Gamma (z; 0, q) = { frac {1} {(z; q) _ { infty}}}.} Multiplikační vzorec Definovat
Γ ~ ( z ; str , q ) := ( q ; q ) ∞ ( str ; str ) ∞ ( θ ( q ; str ) ) 1 − z ∏ m = 0 ∞ ∏ n = 0 ∞ 1 − str m + 1 q n + 1 − z 1 − str m q n + z . { displaystyle { tilde { Gamma}} (z; p, q): = { frac {(q; q) _ { infty}} {(p; p) _ { infty}}} ( theta (q; p)) ^ {1-z} prod _ {m = 0} ^ { infty} prod _ {n = 0} ^ { infty} { frac {1-p ^ {m + 1} q ^ {n + 1-z}} {1-p ^ {m} q ^ {n + z}}}.} Následující vzorec platí pro r = q n { displaystyle r = q ^ {n}} (Felder & Varchenko (2003) chyba harvtxt: žádný cíl: CITEREFFelderVarchenko2003 (Pomoc) ).
Γ ~ ( n z ; str , q ) Γ ~ ( 1 / n ; str , r ) Γ ~ ( 2 / n ; str , r ) ⋯ Γ ~ ( ( n − 1 ) / n ; str , r ) = ( θ ( r ; str ) θ ( q ; str ) ) n z − 1 Γ ~ ( z ; str , r ) Γ ~ ( z + 1 / n ; str , r ) ⋯ Γ ~ ( z + ( n − 1 ) / n ; str , r ) . { displaystyle { tilde { Gamma}} (nz; p, q) { tilde { Gamma}} (1 / n; p, r) { tilde { Gamma}} (2 / n; p, r) cdots { tilde { Gamma}} ((n-1) / n; p, r) = left ({ frac { theta (r; p)} { theta (q; p)} } right) ^ {nz-1} { tilde { Gamma}} (z; p, r) { tilde { Gamma}} (z + 1 / n; p, r) cdots { tilde { Gamma}} (z + (n-1) / n; p, r).} Reference Jackson, F. H. (1905), „Základní funkce gama a eliptické funkce“, Sborník královské společnosti v Londýně. Series A, Containing Papers of a Mathematical and Physical Character Královská společnost 76 (508): 127–144, doi :10.1098 / rspa.1905.0011 , ISSN 0950-1207 , JSTOR 92601 Gasper, George; Rahman, Mizan (2004), Základní hypergeometrická řada Encyklopedie matematiky a její aplikace, 96 (2. vyd.), Cambridge University Press , ISBN 978-0-521-83357-8 , PAN 2128719 Ruijsenaars, S.N.M. (1997), „Analytické rozdílové rovnice prvního řádu a integrovatelné kvantové systémy“ , Journal of Mathematical Physics , 38 (2): 1069–1146, doi :10.1063/1.531809 , ISSN 0022-2488 , PAN 1434226