Pythagorovo číslo - Pythagoras number - Wikipedia

v matematika, Pythagorovo číslo nebo snížená výška a pole popisuje strukturu sady čtverců v poli. Pythagorovo číslo str(K.) pole K. je nejmenší klad celé číslo str tak, že každý součet čtverců v K. je součet str čtverce.

A Pythagorovo pole je pole s Pythagorasovým číslem 1: to znamená, že každý součet čtverců je již čtvercem.

Příklady

• Každý nezáporný reálné číslo je čtverec, takže str(R) = 1.
• Pro konečné pole liché charakteristický, ne každý prvek je čtverec, ale všechny jsou součtem dvou čtverců,^[1] tak str = 2.
• Podle Lagrangeova věta o čtyřech čtvercích, každý pozitivní racionální číslo je součet čtyř čtverců a ne všechny jsou součty tří čtverců, takže str(Q) = 4.

Vlastnosti

• Každé kladné celé číslo se vyskytuje jako Pythagorovo číslo některých formálně skutečné pole.^[2]
• Pythagorovo číslo souvisí s Stufe podle str(F) ≤ s(F) + 1.^[3] Li F tehdy není formálně reálné s(F) ≤ str(F) ≤ s(F) + 1,^[4] a oba případy jsou možné: pro F = C my máme s = str = 1, zatímco pro F = F₅ my máme s = 1, str = 2.^[5]
• Pythagorovo číslo souvisí s výška pole F: pokud F je tedy formálně skutečný h(F) je nejmenší síla 2, která není menší než str(F); -li F tehdy není formálně reálné h(F) = 2s(F).^[6] Důsledkem je, že Pythagorovo číslo neformálně reálného pole, pokud je konečné, je buď mocninou 2 nebo 1 menší než mocninou 2 a vyskytují se všechny případy.^[7]

Poznámky

Reference

• Lam, Tsit-Yuen (2005). Úvod do kvadratických forem nad poli. Postgraduální studium matematiky. 67. Americká matematická společnost. ISBN  0-8218-1095-2. PAN  2104929. Zbl  1068.11023.
• Rajwade, A. R. (1993). Čtverce. Série přednášek London Mathematical Society. 171. Cambridge University Press. ISBN  0-521-42668-5. Zbl  0785.11022.