Euklidovské pole - Euclidean field
v matematika, a Euklidovské pole je objednané pole K. pro které je každý nezáporný prvek čtverec: to znamená, X ≥ 0 palců K. to naznačuje X = y2 pro některé y v K..
Vlastnosti
- Každé euklidovské pole je seřazené Pythagorovo pole, ale obrácení není pravda.[1]
- Li E/F je konečný rozšíření, a E je euklidovský, pak také je F. Tato „věta o sestupu“ je důsledkem Diller – Věta o oblékání.[2]
Příklady
- The reálná čísla R s obvyklými operacemi a objednáváním tvoří euklidovské pole.
- Pole skutečné algebraická čísla je euklidovské pole.
- Skutečný konstruovatelná čísla, ty (podepsané) délky, které lze z racionálního segmentu sestrojit pomocí konstrukce pravítka a kompasu, tvoří euklidovské pole.[3]
- Pole hyperrealistická čísla je euklidovské pole.
Protiklady
- The racionální čísla Q s obvyklými operacemi a objednáváním netvoří euklidovské pole. Například 2 není čtverec v Q od druhá odmocnina ze 2 je iracionální.[4] Podle výše uvedeného výsledku klesání č algebraické číslo pole může být euklidovský.[2]
- The komplexní čísla C netvoří euklidovské pole, protože jim nelze dát strukturu uspořádaného pole.
Euklidovský uzávěr
The Euklidovský uzávěr objednaného pole K. je příponou K. v kvadratické uzavření z K. což je maximální vzhledem k tomu, že jde o objednané pole s objednávkou rozšiřující se o K..[5]
Reference
- Efrat, Ido (2006). Ocenění, objednávky a Milnor K.-teorie. Matematické průzkumy a monografie. 124. Providence, RI: Americká matematická společnost. ISBN 0-8218-4041-X. Zbl 1103.12002.
- Lam, Tsit-Yuen (2005). Úvod do kvadratických forem nad poli. Postgraduální studium matematiky. 67. Americká matematická společnost. ISBN 0-8218-1095-2. PAN 2104929. Zbl 1068.11023.
- Martin, George E. (1998). Geometrické konstrukce. Pregraduální texty z matematiky. Springer-Verlag. ISBN 0-387-98276-0. Zbl 0890.51015.