Perfektní mapa - Perfect map

v matematika, zvláště topologie, a dokonalá mapa je zvláštní druh spojitá funkce mezi topologické prostory. Dokonalé mapy jsou slabší než homeomorfismy, ale dostatečně silné, aby zachovalo některé topologické vlastnosti, jako je místní kompaktnost které nejsou vždy zachovány souvislými mapami.

Formální definice

Nechat ${displaystyle X}$ a ${displaystyle Y}$ být topologické prostory a nechte ${displaystyle p}$ být mapou z ${displaystyle X}$ na ${displaystyle Y}$ to je kontinuální, Zavřeno, surjektivní a takové, že každý vlákno ${displaystyle p ^ {- 1} (y)}$ je kompaktní ve vztahu k ${displaystyle X}$ pro každého ${displaystyle y}$ v ${displaystyle Y}$. Pak ${displaystyle p}$ je známá jako dokonalá mapa.

Příklady a vlastnosti

1. Pokud ${displaystyle pcolon X o Y}$ je perfektní mapa a ${displaystyle Y}$ je kompaktní, pak ${displaystyle X}$ je kompaktní.

2. Pokud ${displaystyle pcolon X o Y}$ je perfektní mapa a ${displaystyle X}$ je pravidelný, pak ${displaystyle Y}$ je pravidelný. (Li ${displaystyle p}$ je pouze kontinuální, pak i když ${displaystyle X}$ je pravidelný, ${displaystyle Y}$ nemusí být pravidelný. Příkladem toho je if ${displaystyle X}$ je běžný prostor a ${displaystyle Y}$ je nekonečná množina v neurčité topologii.)

3. Pokud ${displaystyle pcolon X o Y}$ je perfektní mapa a pokud ${displaystyle X}$ je místně kompaktní, pak ${displaystyle Y}$ je místně kompaktní.

4. Pokud ${displaystyle pcolon X o Y}$ je perfektní mapa a pokud ${displaystyle X}$ je tedy druhý spočetný ${displaystyle Y}$ je spočítatelné druhé.

5. Každý injekční dokonalá mapa je a homeomorfismus. To vyplývá ze skutečnosti, že bijektivní uzavřená mapa má spojitou inverzi.

6. Pokud ${displaystyle pcolon X o Y}$ je perfektní mapa a pokud ${displaystyle Y}$ je připojeno, pak ${displaystyle X}$ nemusí být připojeno. Například konstantní mapa z kompaktního odpojeného prostoru do jednoho prostoru je dokonalá mapa.

7. Dokonalá mapa nemusí být otevřená. Zvažte mapu ${displaystyle pcolon [1,2] cup [3,4] o [1,3]}$ dána ${displaystyle p (x) = x}$ -li ${displaystyle xin [1,2]}$ a ${displaystyle p (x) = x-1}$ -li ${displaystyle xin [3,4]}$.Tato mapa je uzavřená, souvislá (pomocí vkládání lemmatu ), a surjective, a proto je dokonalá mapa (druhá podmínka je triviálně splněna). Nicméně, p není otevřený, pro obraz [1, 2] pod p je [1, 2] který není ve vztahu k [1, 3] (rozsah p). Tato mapa je a kvocientová mapa a operace kvocientu je „slepení“ dvou intervalů dohromady.

8. Všimněte si, jak zachovat vlastnosti jako místní propojenost, druhá spočetnost, místní kompaktnost atd ... mapa musí být nejen souvislá, ale také otevřená. Dokonalá mapa nemusí být otevřená (viz předchozí příklad), ale tyto vlastnosti jsou stále zachovány v dokonalých mapách.

9. Každý homeomorfismus je dokonalá mapa. To vyplývá ze skutečnosti, že a bijektivní otevřená mapa je uzavřena a protože homeomorfismus je injektivní, inverze každého prvku rozsahu musí být v doméně konečná (inverze musí mít ve skutečnosti právě jeden prvek).

10. Každá dokonalá mapa je kvocientová mapa. To vyplývá ze skutečnosti, že uzavřená, spojitá surjektivní mapa je vždy kvocientovou mapou.

11. Let G být kompaktní topologická skupina, na kterou nepřetržitě působí X. Potom kvocientová mapa z X na X/G je perfektní mapa.

Viz také

• Otevřené a uzavřené mapy - Funkce, která odesílá otevřené (resp. Uzavřené) podmnožiny k otevření (resp. Uzavřené) podmnožiny
• Kvocientový prostor
• Správná mapa

Reference

• Munkres, James (1999). Topologie (2. vyd.). Prentice Hall. ISBN  0-13-181629-2.