Primitivní rovnice - Primitive equations

The primitivní rovnice jsou množinou nelineárních diferenciální rovnice které se používají k aproximaci globálního atmosférický tok a používají se ve většině atmosférické modely. Skládají se ze tří hlavních sad bilančních rovnic:

A rovnice spojitosti: Představující zachování hmoty.
Zachování hybnosti: Skládající se z formy Navier-Stokesovy rovnice které popisují hydrodynamický tok na povrchu koule za předpokladu, že vertikální pohyb je mnohem menší než horizontální pohyb (hydrostáza) a že hloubka vrstvy tekutiny je ve srovnání s poloměrem koule malá
A rovnice tepelné energie: Vztahování celkové teploty systému k tepelným zdrojům a jímkám

Primitivní rovnice mohou být linearizovány, aby poskytly Laplaceovy přílivové rovnice, an vlastní číslo problém, ze kterého lze určit analytické řešení zeměpisné šířky toku.

Obecně platí, že téměř všechny formy primitivních rovnic se týkají těchto pěti proměnných u, proti, ω, T, Ža jejich vývoj v prostoru a čase.

Rovnice nejprve zapsal Vilhelm Bjerknes.^[1]

Definice

${ displaystyle u}$ je zonální rychlost (rychlost ve směru východ / západ tečná ke kouli)
${ displaystyle v}$ je poledníková rychlost (rychlost ve směru sever / jih tečna ke kouli)
${ displaystyle omega}$ je vertikální rychlost v izobarických souřadnicích
${ displaystyle T}$ je teplota
${ displaystyle Phi}$ je geopotenciál
${ displaystyle f}$ je termín odpovídající Coriolisova síla, a rovná se ${ displaystyle 2 Omega sin ( phi)}$ , kde ${ displaystyle Omega}$ je rychlost úhlové rotace Země ( ${ displaystyle 2 pi / 24}$ radiány za hvězdnou hodinu) a ${ displaystyle phi}$ je zeměpisná šířka
${ displaystyle R}$ je plynová konstanta
${ displaystyle p}$ je tlak
${ displaystyle c_ {p}}$ je měrné teplo na povrchu s konstantním tlakem
${ displaystyle J}$ je teplo průtok za jednotku času na jednotku hmotnosti
${ displaystyle W}$ je srážková voda
${ displaystyle Pi}$ je Funkce Exner
${ displaystyle theta}$ je potenciální teplota
${ displaystyle eta}$ je Absolutní vorticita

Síly, které způsobují atmosférický pohyb

Síly které způsobují atmosférický pohyb, zahrnují tlakový gradient platnost, gravitace, a viskózní tření. Společně vytvářejí síly, které urychlují naši atmosféru.

Síla tlakového gradientu způsobuje zrychlení nutící vzduch z oblastí vysokého tlaku do oblastí nízkého tlaku. Matematicky to lze napsat jako:

{ displaystyle { frac {f} {m}} = { frac {1} { rho}} { frac {dp} {dx}}.}

Gravitační síla zrychluje objekty rychlostí přibližně 9,8 m / s² přímo ke středu Země.

Síla způsobená viskózním třením lze odhadnout jako:

{ displaystyle f_ {r} = {f nad a} {1 nad rho} mu doleva ( nabla cdot ( mu nabla v) + nabla ( lambda nabla cdot v) že jo).}

Použitím druhého Newtonova zákona lze tyto síly (na které se ve výše uvedených rovnicích odkazuje jako na zrychlení způsobená těmito silami) sečíst a vytvořit pohybovou rovnici, která popisuje tento systém. Tuto rovnici lze napsat ve tvaru:

{ displaystyle { frac {dv} {dt}} = - (1 / rho) nabla p-g (r / r) + f_ {r}}

{ displaystyle g = g_ {e}. ,}

Proto k dokončení systému rovnic a získání 6 rovnic a 6 proměnných:

${ displaystyle { frac {dv} {dt}} = - (1 / rho) nabla pg (r / r) + (1 / rho) left [ nabla cdot ( mu nabla v) + nabla ( lambda nabla cdot v) vpravo]}$
${ displaystyle c_ {v} { frac {dT} {dt}} + p { frac {d alpha} {dt}} = q + f}$
${ displaystyle { frac {d rho} {dt}} + rho nabla cdot v = 0}$
${ displaystyle p = nT.}$

kde n je hustota čísel v mol, a T: = RT je hodnota teplotního ekvivalentu v Joulech / mol.

Formy primitivních rovnic

Přesná forma primitivních rovnic závisí na vertikální souřadnicový systém vybrané, jako je souřadnice tlaku, souřadnice log log nebo souřadnice sigma. Rychlostní, teplotní a geopotenciální proměnné lze dále rozložit na střední a poruchové složky pomocí Reynoldsův rozklad.

Souřadnice tlaku ve svislé, kartézské tangenciální rovině

V této formě je tlak zvolen jako svislá souřadnice a vodorovné souřadnice jsou zapsány pro kartézskou tangenciální rovinu (tj. Rovinu tečnou k nějakému bodu na povrchu Země). Tato forma nebere v úvahu zakřivení Země, ale je vzhledem k její relativní jednoduchosti užitečná pro vizualizaci některých fyzikálních procesů zapojených do formulování rovnic.

Všimněte si, že kapitálové D časové deriváty jsou materiálové deriváty. Systém tvoří pět rovnic v pěti neznámých.

the neviditelný rovnice hybnosti (bez tření):

{ displaystyle { frac {Du} {Dt}} - fv = - { frac { částečné Phi} { částečné x}}}

{ displaystyle { frac {Dv} {Dt}} + fu = - { frac { částečné Phi} { částečné y}}}

the hydrostatická rovnice, speciální případ rovnice vertikální hybnosti, ve které je vertikální zrychlení považováno za zanedbatelné:

{ displaystyle 0 = - { frac { částečné phi} { částečné p}} - { frac {RT} {p}}}

the rovnice spojitosti, spojující horizontální divergenci / konvergenci se svislým pohybem pod hydrostatickou aproximací ( ${ displaystyle dp = - rho , d phi}$ ):

{ displaystyle { frac { částečné u} { částečné x}} + { frac { částečné v} { částečné y}} + { frac { částečné omega} { částečné p}} = 0 }

a rovnice termodynamické energie, důsledek první zákon termodynamiky

{ displaystyle { frac { částečné T} { částečné t}} + u { frac { částečné T} { částečné x}} + v { frac { částečné T} { částečné y}} + omega left ({ frac { částečné T} { částečné p}} - { frac {RT} {pc_ {p}}} vpravo) = { frac {J} {c_ {p}}} }

Když je zahrnuto prohlášení o zachování látky vodní páry, tvoří těchto šest rovnic základ pro jakékoli numerické schéma predikce počasí.

Primitivní rovnice využívající souřadnicový systém sigma, polární stereografická projekce

Podle Příručka národní meteorologické služby č. 1 - faxové produkty, lze primitivní rovnice zjednodušit na následující rovnice:

Zonální vítr:

{ displaystyle { frac { částečné u} { částečné t}} = eta v - { frac { částečné Phi} { částečné x}} - c_ {p} theta { frac { částečné pi} { částečné x}} - z { frac { částečné u} { částečné sigma}} - { frac { částečné ({ frac {u ^ {2} + v ^ {2}} {2}})} { částečné x}}}

Meridional vítr:

{ displaystyle { frac { částečné v} { částečné t}} = - eta { frac {u} {v}} - { frac { částečné Phi} { částečné y}} - c_ { p} theta { frac { částečné pi} { částečné y}} - z { frac { částečné v} { částečné sigma}} - { frac { částečné ({ frac {u ^ {2} + v ^ {2}} {2}})} { částečné y}}}

Teplota:

{ displaystyle { frac { delta T} { částečné t}} = { frac { částečné T} { částečné t}} + u { frac { částečné T} { částečné x}} + v { frac { částečné T} { částečné y}} + w { frac { částečné T} { částečné z}}}

První člen se rovná změně teploty v důsledku příchozího slunečního záření a odchozího dlouhovlnného záření, které se mění s časem po celý den. Druhý, třetí a čtvrtý výraz jsou způsobeny advekcí. Navíc proměnná T s indexem je změna teploty v této rovině. Každý T je ve skutečnosti jiný a souvisí s jeho příslušnou rovinou. To se dělí vzdáleností mezi body mřížky, aby se změnou teploty získala změna teploty. Když se vynásobí rychlostí větru v této rovině, jednotky kelvinů na metr a metrů za sekundu dávají kelvinů za sekundu. Součet všech změn teploty v důsledku pohybů v X, y, a z směry udávají celkovou změnu teploty v čase.

Srážková voda:

{ displaystyle { frac { delta W} { částečné t}} = u { frac { částečné W} { částečné x}} + v { frac { částečné W} { částečné y}} + w { frac { částečné W} { částečné z}}}

Tato rovnice a zápis funguje podobně jako teplotní rovnice. Tato rovnice popisuje pohyb vody z jednoho místa na druhé v bodě, aniž by zohledňovala vodu, která mění formu. Uvnitř daného systému je celková změna ve vodě s časem nulová. Koncentrace se však mohou pohybovat s větrem.

Tloušťka tlaku:

{ displaystyle { frac { částečné} { částečné t}} { frac { částečné p} { částečné sigma}} = u { frac { částečné} { částečné x}} x { frac { částečné p} { částečné sigma}} + v { frac { částečné} { částečné y}} y { frac { částečné p} { částečné sigma}} + w { frac { částečný} { částečný z}} z { frac { částečný p} { částečný sigma}}}

Tato zjednodušení výrazně usnadňují pochopení toho, co se v modelu děje. Věci jako teplota (potenciální teplota), srážková voda a do určité míry se tloušťka tlaku jednoduše s větrem přesouvá z jednoho místa na mřížce na druhé. Předpověď větru je mírně odlišná. Využívá geopotenciál, specifické teplo, funkci exner πa změna v souřadnici sigma.

Řešení linearizovaných primitivních rovnic

The analytické řešení k linearizovaným primitivním rovnicím zahrnuje sinusovou oscilaci v čase a délce, modulovanou koeficienty související s výškou a šířkou.

{ displaystyle { begin {Bmatrix} u, v, phi end {Bmatrix}} = { begin {Bmatrix} { hat {u}}, { hat {v}}, { hat { phi }} end {Bmatrix}} e ^ {i (s lambda + sigma t)}}

kde s a ${ displaystyle sigma}$ jsou zonální vlnové číslo a úhlová frekvence, resp. Řešení představuje atmosférické vlny a přílivy a odlivy.

Když jsou koeficienty rozděleny na jejich výškové a zeměpisné šířky, výšková závislost má formu šíření nebo postupné vlny (v závislosti na podmínkách), zatímco závislost na zeměpisné šířce je dána vztahem Houghovy funkce.

Toto analytické řešení je možné pouze tehdy, když jsou primitivní rovnice linearizovány a zjednodušeny. Bohužel mnoho z těchto zjednodušení (tj. Žádné rozptylování, izotermická atmosféra) neodpovídá podmínkám ve skutečné atmosféře. Jako výsledek, a numerické řešení který bere v úvahu tyto faktory se často počítá pomocí obecné oběhové modely a klimatické modely.

Viz také

Reference

^ Před rokem 1955: Numerické modely a pravěk AGCM

Beniston, Martin. Od turbulence ke klimatu: Numerická zkoumání atmosféry s hierarchií modelů. Berlin: Springer, 1998.
Firth, Robert. Konstrukce a přesnost mřížky pro meteorologický model mezoskalů a mikroskopů. LSMSA, 2006.
Thompson, Philip. Numerická analýza a předpověď počasí. New York: The Macmillan Company, 1961.
Pielke, Roger A. Mesoscale meteorologické modelování. Orlando: Academic Press, Inc., 1984.
Americké ministerstvo obchodu, Národní úřad pro oceán a atmosféru, Národní meteorologická služba. Příručka národní meteorologické služby č. 1 - faxové produkty. Washington, DC: Department of Commerce, 1979.

externí odkazy

Národní meteorologická služba - NCSU Collaborative Research and Training Site, Přehled primitivních rovnic.

[1] Před rokem 1955: Numerické modely a pravěk AGCM

[1]