Weylova transformace - Weyl transformation

Viz také Wigner – Weylova transformace, pro další definici Weylovy transformace.

v teoretická fyzika, Weylova transformace, pojmenoval podle Hermann Weyl, je místní změna měřítka metrický tenzor:

${ displaystyle g_ {ab} rightarrow e ^ {- 2 omega (x)} g_ {ab}}$

který produkuje další metriku ve stejné konformní třída. Teorie nebo výraz invariantní v rámci této transformace se nazývá konformně invariantní, nebo se říká, že vlastní Weylská invariance nebo Weylova symetrie. Weylova symetrie je důležitá symetrie v teorie konformního pole. Jedná se například o symetrii Polyakovova akce. Když kvantové mechanické efekty prolomí konformní invariantu teorie, říká se, že vykazuje a konformní anomálie nebo Weyl anomálie.

Obyčejný Připojení Levi-Civita a související spin spojení nejsou podle Weylových transformací neměnné. Vhodně neměnnou představou je Weyl připojení, což je jeden ze způsobů určení struktury a konformní spojení.

Konformní hmotnost

Množství ${ displaystyle varphi}$ má konformní hmotnost ${ displaystyle k}$ pokud se pod Weylovou transformací transformuje prostřednictvím

${ displaystyle varphi to varphi e ^ {k omega}.}$

Konformně vážené množství tedy patří jistému svazky hustoty; viz také konformní rozměr. Nechat ${ displaystyle A _ { mu}}$ být připojení v jedné formě spojené s Levi-Civita spojením ${ displaystyle g}$. Představte spojení, které závisí také na počáteční jednotné formě ${ displaystyle částečné _ { mu} omega}$ přes

${ displaystyle B _ { mu} = A _ { mu} + částečný _ { mu} omega.}$

Pak ${ displaystyle D _ { mu} varphi ekviv částečné _ { mu} varphi + kB _ { mu} varphi}$ je kovariantní a má konformní váhu ${ displaystyle k-1}$.

Vzorce

Pro transformaci

${ displaystyle g_ {ab} = f ( phi (x)) { bar {g}} _ {ab}}$

Můžeme odvodit následující vzorce

${ displaystyle { begin {aligned} g ^ {ab} & = { frac {1} {f ( phi (x))}} { bar {g}} ^ {ab} { sqrt { -g}} & = { sqrt {- { bar {g}}}} f ^ {D / 2} Gamma _ {ab} ^ {c} & = { bar { Gamma}} _ {ab} ^ {c} + { frac {f '} {2f}} vlevo ( delta _ {b} ^ {c} částečný _ {a} phi + delta _ {a} ^ {c } částečné _ {b} phi - { bar {g}} _ {ab} částečné ^ {c} phi pravé) equiv { bar { Gamma}} _ {ab} ^ {c} + gamma _ {ab} ^ {c} R_ {ab} & = { bar {R}} _ {ab} + { frac {f''ff ^ { prime 2}} {2f ^ { 2}}} left ((2-D) částečné _ {a} phi částečné _ {b} phi - { bar {g}} _ {ab} částečné ^ {c} phi částečné _ {c} phi right) + { frac {f '} {2f}} left ((2-D) nabla _ {a} částečné _ {b} phi - { bar {g} } _ {ab} { bar { Box}} phi right) + { frac {1} {4}} { frac {f ^ { prime 2}} {f ^ {2}}} ( D-2) left ( částečné _ {a} phi částečné _ {b} phi - { bar {g}} _ {ab} částečné _ {c} phi částečné ^ {c} phi right) R & = { frac {1} {f}} { bar {R}} + { frac {1-D} {f}} left ({ frac {f''ff ^ { prime 2}} {f ^ {2}}} částečné ^ {c} phi částečné _ {c} phi + { frac {f '} {f}} { bar { Box}} phi right) + { frac {1} {4f}} { frac {f ^ { prime 2}} {f ^ {2}}} (D-2) (1-D) částečný _ { c} phi částečné ^ {c} phi end {zarovnáno}}}$

Všimněte si, že Weylův tenzor je neměnný pod Weylovým škálováním.

Reference

• Weyl, Hermann (1993) [1921]. Raum, Zeit, Materie [Prostor, čas, hmota]. Přednášky o obecné relativitě (v němčině). Berlín: Springer. ISBN  3-540-56978-2.

Tento fyzika související článek je a pahýl. Wikipedii můžete pomoci pomocí rozšiřovat to.

Tento související geometrie diferenciálu článek je a pahýl. Wikipedii můžete pomoci pomocí rozšiřovat to.