Summability kernel - Summability kernel

V matematice, a summability kernel je skupina nebo posloupnost periodických integrovatelných funkcí, které splňují určitou sadu vlastností uvedených níže. Některá jádra, například Fejér jádro, jsou zvláště užitečné v Fourierova analýza. Summability kernel are related to aproximace identity; definice aproximace identity se liší,^[1] ale někdy se definice aproximace identity považuje za stejnou jako pro jádro summability.

Definice

Nechat ${ displaystyle mathbb {T}: = mathbb {R} / mathbb {Z}}$. A summability kernel je sekvence ${ displaystyle (k_ {n})}$ v ${ displaystyle L ^ {1} ( mathbb {T})}$ to uspokojuje

1. ${ displaystyle int _ { mathbb {T}} k_ {n} (t) , dt = 1}$
2. ${ displaystyle int _ { mathbb {T}} | k_ {n} (t) | , dt leq M}$ (rovnoměrně ohraničeno)
3. ${ displaystyle int _ { delta leq | t | leq { frac {1} {2}}} | k_ {n} (t) | , dt až 0}$ tak jako ${ displaystyle n to infty}$, pro každého ${ displaystyle delta> 0}$.

Všimněte si, že pokud ${ displaystyle k_ {n} geq 0}$ pro všechny ${ displaystyle n}$, tj. ${ displaystyle (k_ {n})}$ je jádro pozitivní summability, pak druhý požadavek následuje automaticky od prvního.

Pokud místo toho vezmeme konvenci ${ displaystyle mathbb {T} = mathbb {R} / 2 pi mathbb {Z}}$, stane se první rovnice ${ displaystyle { frac {1} {2 pi}} int _ { mathbb {T}} k_ {n} (t) , dt = 1}$a horní hranice integrace na třetí rovnici by měla být rozšířena na ${ displaystyle pi}$.

Můžeme také zvážit ${ displaystyle mathbb {R}}$ spíše než ${ displaystyle mathbb {T}}$; pak integrujeme (1) a (2) znovu ${ displaystyle mathbb {R}}$a (3) znovu ${ displaystyle | t |> delta}$.

Příklady

• The Fejér jádro
• The Poissonovo jádro (průběžný index)
• The Dirichletovo jádro je ne shrnovací jádro, protože nesplňuje druhý požadavek.

Závity

Nechat ${ displaystyle (k_ {n})}$ být jádrem summability a ${ displaystyle *}$ označit konvoluce úkon.

• Li ${ displaystyle (k_ {n}), f in { mathcal {C}} ( mathbb {T})}$ (nepřetržité funkce zapnuty ${ displaystyle mathbb {T}}$), pak ${ displaystyle k_ {n} * f až f}$ v ${ displaystyle { mathcal {C}} ( mathbb {T})}$, tj. jednotně, jako ${ displaystyle n to infty}$.
• Li ${ displaystyle (k_ {n}), f in L ^ {1} ( mathbb {T})}$, pak ${ displaystyle k_ {n} * f až f}$ v ${ displaystyle L ^ {1} ( mathbb {T})}$, tak jako ${ displaystyle n to infty}$.
• Li ${ displaystyle (k_ {n})}$ je radiálně klesající symetrický a ${ displaystyle f in L ^ {1} ( mathbb {T})}$, pak ${ displaystyle k_ {n} * f až f}$ bodově a.e., tak jako ${ displaystyle n to infty}$. Toto používá Hardy – Littlewood maximální funkce. Li ${ displaystyle (k_ {n})}$ není radiálně klesající symetrická, ale klesající symetrizace ${ displaystyle { widetilde {k}} _ {n} (x): = sup _ {| y | geq | x |} k_ {n} (y)}$ splňuje ${ displaystyle sup _ {n in mathbb {N}} | { widetilde {k_ {n}}} | _ {1} < infty}$, pak a.e. konvergence stále platí za použití podobného argumentu.

Reference

• Katznelson, Yitzhak (2004), Úvod do harmonické analýzy, Cambridge University Press, ISBN  0-521-54359-2