Schwarzův integrální vzorec - Schwarz integral formula

v komplexní analýza, obor matematiky, Schwarzův integrální vzorec, pojmenoval podle Hermann Schwarz, umožňuje člověku obnovit a holomorfní funkce, až do imaginární konstanta z hraničních hodnot její skutečné části.

Jednotkový disk

Nechat F být holomorfní funkcí na disku uzavřené jednotky {z ∈ C | |z| ≤ 1}. Pak

${displaystyle f (z) = {frac {1} {2pi i}} mast _ {| zeta | = 1} {frac {zeta + z} {zeta -z}} {ext {Re}} (f (zeta) ), {frac {dzeta} {zeta}} + i {ext {Im}} (f (0))}$

pro všechny |z| < 1.

Horní polorovina

Nechat F být funkcí holomorfní na uzavřeném horní polorovina {z ∈ C | Jsem (z) ≥ 0} takové, že pro některé α > 0, |z^α F(z) | je ohraničena na uzavřené horní polorovině. Pak

${displaystyle f (z) = {frac {1} {pi i}} int _ {- infty} ^ {infty} {frac {u (zeta, 0)} {zeta -z}}, dzeta = {frac {1 } {pi i}} int _ {- infty} ^ {infty} {frac {{ext {Re}} (f) (zeta + 0i)} {zeta -z}}, dzeta}$

pro všechny Im (z) > 0.

Všimněte si, že ve srovnání s verzí na disku jednotky nemá tento vzorec přidanou k integrálu libovolnou konstantu; je to proto, že další podmínka rozpadu zpřísňuje podmínky pro tento vzorec.

Důsledek Poissonova integrálního vzorce

Vzorec vyplývá z Poissonův integrální vzorec aplikován nau:^[1][2]

${displaystyle u (z) = {frac {1} {2pi}} int _ {0} ^ {2pi} u (e ^ {ipsi}) operatorname {Re} {e ^ {ipsi} + z přes e ^ {ipsi } -z}, dpsi qquad {ext {pro}} | z | <1.}$

Pomocí konformních map lze vzorec zobecnit na libovolnou jednoduše připojenou otevřenou množinu.

Poznámky a odkazy

• Ahlfors, Lars V. (1979), Komplexní analýza, Třetí vydání, McGraw-Hill, ISBN  0-07-085008-9
• Remmert, Reinhold (1990), Teorie komplexních funkcí, Druhé vydání, Springer, ISBN  0-387-97195-5
• Saff, E. B. a A. D. Snider (1993), Základy komplexní analýzy pro matematiku, vědu a inženýrství, Druhé vydání, Prentice Hall, ISBN  0-13-327461-6