Nerozšiřující se horizont - Non-expanding horizon - Wikipedia

A nerozšiřující se horizont (NEH) je uzavřený nulový povrch jehož vnitřní struktura je zachována. NEH je geometrický prototyp izolovaný horizont který popisuje a Černá díra v rovnováze s exteriérem z kvazilocal perspektivní. Je založen na konceptu a geometrii NEHs, že dvě kvazikolové definice černých děr, slabě izolované obzory a izolované obzory.

Definice NEHs

Trojrozměrný podmanifold ∆ je definována jako a obecný (rotující a zkreslený) NEH, pokud dodržuje následující podmínky:^[1]^[2]^[3]

(i) ∆ je nula a topologicky ${ displaystyle S ^ {2} times mathbb {R}}$ ;
(ii) Podél jakéhokoli nulového normálního pole ${ displaystyle l}$ tečna k ∆, míra odchozí expanze ${ displaystyle displaystyle theta _ {(l)}: = { hat {h}} ^ {ab} { hat { nabla}} _ {a} l_ {b}}$ zmizí;
(iii) Všechny polní rovnice platí on a tenzor napětí a energie ${ displaystyle T_ {ab}}$ na ∆ je takový ${ displaystyle V ^ {a}: = - T_ {b} ^ {a} l ^ {b}}$ je zaměřen na budoucnost kauzální vektor ( ${ displaystyle V ^ {a} V_ {a} leq 0}$ ) pro jakýkoli budoucí nulový normál ${ displaystyle l ^ {a}}$ .

Podmínka (i) je poměrně triviální a pouze uvádí obecnou skutečnost, že z a 3 + 1 perspektiva^[4] NEH ∆ je olistěn vesmírnými 2-koulemi ∆ '= S², kde S² zdůrazňuje, že ∆ 'je topologicky kompaktní s rod nula ( ${ displaystyle g = 0}$ ). The podpis of ∆ is (0, +, +) with the degenerate temporal coordinate, and the intrinsic geometry of a foliation leaf ∆ '= S² je neevoluční. Vlastnictví ${ displaystyle theta _ {(l)} = 0}$ v podmínce (ii) hraje klíčovou roli při definování NEH a bohaté důsledky v nich zakódované budou podrobně diskutovány níže. Podmínka (iii) umožňuje člověku bez obav použít Newman – Penrose (NP) formalismus^[5]^[6] z Einstein-Maxwellovy polní rovnice k obzoru a jeho blízkému obzoru; samotná energetická nerovnost je navíc motivována z dominantní energetický stav^[7] a je dostatečnou podmínkou pro odvození mnoha okrajových podmínek NEH.

Poznámka: V tomto článku v návaznosti na konvenci nastavenou v odkazech,^[1]^[2]^[3] „klobouk“ nad symbolem rovnosti ${ displaystyle { hat {=}}}$ znamená rovnost na horizontech černé díry (NEHs) a „klobouk“ před veličinami a operátory ( ${ displaystyle { hat {h}} ^ {ab}}$ , ${ displaystyle { hat { nabla}}}$ atd.) označuje ty, které jsou na listu foliace obzoru. Také ∆ je Standard symbol pro NEH i směrovou derivaci ∆ ${ displaystyle: = n ^ {a} nabla _ {a}}$ v NP formalismu a věříme, že to nezpůsobí dvojznačnost.

Okrajové podmínky vyplývající z definice

Nyní pojďme vypracovat důsledky definice NEHs a tyto výsledky budou vyjádřeny v jazyce NP formalismus s úmluvou^[5]^[6] ${ displaystyle {(-, +, +, +); l ^ {a} n_ {a} = - 1, m ^ {a} { bar {m}} _ {a} = 1 }}$ (Poznámka: na rozdíl od původní konvence^[8]^[9] ${ displaystyle {(+, -, -, -); l ^ {a} n_ {a} = 1, m ^ {a} { bar {m}} _ {a} = - 1 }}$ , toto je obvyklé pro studium zachycených nulových povrchů a kvazilokální definice černých děr^[10]). Být nulová normální k ∆, ${ displaystyle l ^ {a}}$ je automaticky geodetické, ${ displaystyle kappa: = - m ^ {a} l ^ {b} nabla _ {b} l_ {a} , { hat {=}} , 0}$ a kroucení zdarma, ${ displaystyle { text {Im}} ( rho) = { text {Im}} (- m ^ {a} { bar {m}} ^ {b} nabla _ {b} l_ {a} ) , { hat {=}} , 0}$ . Pro NEH je míra odchozí expanze ${ displaystyle theta _ {(l)}}$ podél ${ displaystyle l ^ {a}}$ mizí, ${ displaystyle theta _ {(l)} , { hat {=}} , 0}$ , a následně ${ displaystyle { text {Re}} ( rho) = { text {Re}} (- m ^ {a} { bar {m}} ^ {b} nabla _ {b} l_ {a} ) = - { frac {1} {2}} theta _ {(l)} , { hat {=}} , 0}$ . Navíc podle Raychaudhuri-NP expanzní kroucení rovnice,^[11]

{ displaystyle (1) qquad D rho = rho ^ {2} + sigma { bar { sigma}} + { frac {1} {2}} R_ {ab} l ^ {a} l ^ {b} , { hat {=}} , 0 ,,}

z toho vyplývá, že na ∆

{ displaystyle (2) qquad sigma { bar { sigma}} + { frac {1} {2}} R_ {ab} l ^ {a} l ^ {b} , { hat {= }} , 0 ,,}

kde ${ displaystyle sigma: = - m ^ {b} m ^ {a} nabla _ {a} l_ {b}}$ je NP-smykový koeficient. Vzhledem k předpokládané energetické podmínce (iii) máme ${ displaystyle R_ {ab} l ^ {a} l ^ {b} = R_ {ab} l ^ {a} l ^ {b} - { frac {1} {2}} Rg_ {ab} l ^ { a} l ^ {b} = 8 pi , T_ {ab} l ^ {a} l ^ {b}}$ ( ${ displaystyle c = G = 1}$ ), a proto ${ displaystyle R_ {ab} l ^ {a} l ^ {b}}$ není negativní na g. Produkt ${ displaystyle sigma { bar { sigma}}}$ je samozřejmě také negativní. Tudíž, ${ displaystyle sigma { bar { sigma}}}$ a ${ displaystyle R_ {ab} l ^ {a} l ^ {b}}$ musí být současně nula na ∆, tj. ${ displaystyle sigma , { klobouk {=}} , 0}$ a ${ displaystyle R_ {ab} l ^ {a} l ^ {b} , { hat {=}} , 0}$ . Jako shrnutí

{ displaystyle (3) qquad kappa , { hat {=}} , 0 ,, quad { text {Im}} ( rho) , { hat {=}} , 0 ,, quad { text {Re}} ( rho) , { hat {=}} , 0 ,, quad sigma , { hat {=}} , 0 ,, quad R_ {ab} l ^ {a} l ^ {b} , { hat {=}} , 0.}

Izolovaný horizont ∆ je tedy neevoluční a všechny listy foliace ∆ '= S² vypadají navzájem shodně. Vztah ${ displaystyle R_ {ab} l ^ {a} l ^ {b} = 8 pi cdot T_ {ab} l ^ {a} l ^ {b} = 8 pi cdot T_ {b} ^ {a } l ^ {b} cdot l_ {a} , { hat {=}} , 0}$ znamená, že kauzální vektor ${ displaystyle -T_ {b} ^ {a} l ^ {b}}$ ve stavu (iii) je úměrný ${ displaystyle l ^ {a}}$ a ${ displaystyle R_ {ab} l ^ {b}}$ je úměrný ${ displaystyle l_ {a}}$ na obzoru ∆; to je ${ displaystyle -T_ {b} ^ {a} l ^ {b} , { hat {=}} , cl ^ {a}}$ a ${ displaystyle R_ {ab} l ^ {b} , { hat {=}} , cl_ {a}}$ , ${ displaystyle c in mathbb {R}}$ . Použitím tohoto výsledku na související skaláry Ricci-NP dostaneme ${ displaystyle Phi _ {00}: = { frac {1} {2}} R_ {ab} l ^ {a} l ^ {b} , { hat {=}} , { frac { c} {2}} , l_ {b} l ^ {b} , { hat {=}} , 0}$ , a ${ displaystyle Phi _ {01} = { overline { Phi _ {10}}}: = { frac {1} {2}} R_ {ab} l ^ {a} m ^ {b} , { hat {=}} , { frac {c} {2}} , l_ {b} m ^ {b} , { hat {=}} , 0}$ , tím pádem

{ displaystyle (4) qquad R_ {ab} l ^ {b} , { hat {=}} , cl_ {a} ,, quad Phi _ {00} , { hat {= }} , 0 ,, quad Phi _ {10} = { overline { Phi _ {01}}} , { hat {=}} , 0 ,.}

Zmizení Skaláry Ricci-NP ${ displaystyle { Phi _ {00} ,, Phi _ {01} ,, Phi _ {10} }}$ znamená, že neexistuje žádná energie - hybnost tok z žádný druh poplatku přes horizont, jako např elektromagnetické vlny, Yang – Mills tavidlo nebo dilaton tok. Také by neměla být žádná gravitační vlny překračování obzoru; gravitační vlny jsou však spíše propagací narušení časoprostorového kontinua než toků nábojů, a proto je zobrazeny čtyřmi Weyl-NP skaláry ${ displaystyle Psi _ {i} ; (i = 0,1,3,4)}$ (kromě ${ displaystyle Psi _ {2}}$ ) spíše než množství Ricci-NP ${ displaystyle Phi _ {ij}}$ .^[5] Podle Raychaudhuri-NP stříhat rovnice^[11]

{ displaystyle (5) qquad D sigma = sigma ( rho + { bar { rho}}) + Psi _ {0} = - 2 sigma theta _ {(l)} + Psi _ {0} ,,}

nebo rovnice NP pole na obzoru

{ displaystyle (6) qquad D sigma - delta kappa = ( rho + { bar { rho}}) sigma + (3 varepsilon - { bar { varepsilon}}) sigma - ( tau - { bar { pi}} + { bar { alpha}} + 3 beta) kappa + Psi _ {0} , { hat {=}} , 0 ,, }

z toho vyplývá, že ${ displaystyle Psi _ {0}: = C_ {abcd} l ^ {a} m ^ {b} l ^ {c} m ^ {d} , { hat {=}} , 0}$ . Navíc NP rovnice

{ displaystyle (7) qquad delta rho - { bar { delta}} sigma = rho ({ bar { alpha}} + beta) - sigma (3 alpha - { bar { beta}}) + ( rho - { bar { rho}}) tau + ( mu - { bar { mu}}) kappa - Psi _ {1} + Phi _ { 01} , { hat {=}} , 0}

to naznačuje ${ displaystyle Psi _ {1}: = C_ {abcd} l ^ {a} n ^ {b} l ^ {c} m ^ {d} , { hat {=}} , 0}$ . Abych to shrnul, máme

{ displaystyle (8) qquad Psi _ {0} , { hat {=}} , 0 ,, quad Psi _ {1} , { hat {=}} , 0 ,,}

což znamená, že,^[5] geometricky, a hlavní nulový směr z Weylův tenzor se opakuje dvakrát a ${ displaystyle l ^ {a}}$ je zarovnán s hlavním směrem; fyzicky, žádné gravitační vlny (příčná složka ${ displaystyle Psi _ {0}}$ a podélná složka ${ displaystyle Psi _ {1}}$ ) vstoupit do černé díry. Tento výsledek je v souladu s fyzickým scénářem definujícím NEH.

Poznámky: Spinové koeficienty související s Raychaudhuriho rovnicí

Pro lepší pochopení předchozí části stručně přezkoumáme významy příslušných NP spinových koeficientů při znázornění nulové shody.^[7] The tenzor druh Raychaudhuriho rovnice^[12] čte nulové toky

{ displaystyle (9) qquad { mathcal {L}} _ { ell} theta _ {(l)} = - { frac {1} {2}} theta _ {(l)} ^ { 2} + { tilde { kappa}} _ {(l)} theta _ {(l)} - sigma _ {ab} sigma ^ {ab} + { tilde { omega}} _ {ab } { tilde { omega}} ^ {ab} -R_ {ab} l ^ {a} l ^ {b} ,,}

kde ${ displaystyle { tilde { kappa}} _ {(l)}}$ je definován tak, že ${ displaystyle { tilde { kappa}} _ {(l)} l ^ {b}: = l ^ {a} nabla _ {a} l ^ {b}}$ . Množství v Raychaudhuriho rovnici souvisí s rotačními koeficienty via^[5]^[13]^[14]

{ displaystyle (10) qquad theta _ {(l)} = - ( rho + { bar { rho}}) = - 2 { text {Re}} ( rho) ,, quad theta _ {(n)} = mu + { bar { mu}} = 2 { text {Re}} ( mu) ,,}

{ displaystyle (11) qquad sigma _ {ab} = - sigma { bar {m}} _ {a} { bar {m}} _ {b} - { bar { sigma}} m_ {a} m_ {b} ,,}

{ displaystyle (12) qquad { tilde { omega}} _ {ab} = { frac {1} {2}} , { Big (} rho - { bar { rho}} { Big)} , { Big (} m_ {a} { bar {m}} _ {b} - { bar {m}} _ {a} m_ {b} { Big)} = { text {Im}} ( rho) cdot { Big (} m_ {a} { bar {m}} _ {b} - { bar {m}} _ {a} m_ {b} { Big )} ,,}

kde Eq (10) vyplývá přímo z

{ displaystyle { hat {h}} ^ {ab} = { hat {h}} ^ {ba} = m ^ {b} { bar {m}} ^ {a} + { bar {m} } ^ {b} m ^ {a}}

a

{ displaystyle (13) qquad theta _ {(l)} = { hat {h}} ^ {ba} nabla _ {a} l_ {b} = m ^ {b} { bar {m} } ^ {a} nabla _ {a} l_ {b} + { bar {m}} ^ {b} m ^ {a} nabla _ {a} l_ {b} = m ^ {b} { lišta { delta}} l_ {b} + { bar {m}} ^ {b} delta l_ {b} = - ( rho + { bar { rho}}) ,,}

{ displaystyle (14) qquad theta _ {(n)} = { hat {h}} ^ {ba} nabla _ {a} n_ {b} = { bar {m}} ^ {b} m ^ {a} nabla _ {a} n_ {b} + m ^ {b} { bar {m}} ^ {a} nabla _ {a} n_ {b} = { bar {m}} ^ {b} delta n_ {b} + m ^ {b} { bar { delta}} n_ {b} = mu + { bar { mu}} ,.}

Navíc je nulová shoda nadpovrchová ortogonální -li ${ displaystyle { text {Im}} ( rho) = 0}$ .^[5]

Omezení elektromagnetických polí

Vakuum NEH na kterém ${ displaystyle { Phi _ {ij} { hat {=}} 0 ,, Lambda _ {} { hat {=}} 0 }}$ jsou nejjednodušší typy NEH, ale obecně mohou existovat různá fyzicky významná pole obklopující NEH, z nichž nás většinou zajímá elektrovakuum pole s ${ displaystyle Lambda { hat {=}} 0}$ . Jedná se o nejjednodušší rozšíření vakuových NEH a čtecí jednotka nonvanishing energy-stress pro elektromagnetická pole čte

{ displaystyle (15) qquad T_ {ab} = { frac {1} {4 pi}} , { Big (} , F_ {ac} F_ {b} ^ {c} - { frac {1} {4}} g_ {ab} F_ {cd} F ^ {cd} { Big)} ,,}

kde ${ displaystyle F_ {ab}}$ Odkazuje na antisymetrický ( ${ displaystyle F_ {ab} = - F_ {ba}}$ , ${ displaystyle F_ {a} ^ {a} = 0}$ ) intenzita elektromagnetického pole, a ${ displaystyle T_ {ab}}$ je bez stop ( ${ displaystyle T_ {a} ^ {a} = 0}$ ) podle definice a respektuje dominantní energetický stav. (Jeden by měl být opatrný s antisymetrií ${ displaystyle F_ {ab}}$ při definování Maxwell-NP skaláry ${ displaystyle phi _ {i}}$ ).

Okrajové podmínky odvozené v předchozí části platí pro generické NEHs. V elektromagnetickém případě ${ displaystyle Phi _ {ij}}$ lze specifikovat konkrétnějším způsobem. Podle NP formalismu Einstein-Maxwellových rovnic jeden má^[5]

{ displaystyle (16) qquad Phi _ {ij} = , 2 , phi _ {i} , { overline { phi _ {j}}} ,, quad i, j v {0,1,2 } ,,}

kde ${ displaystyle phi _ {i}}$ označit tři Maxwell-NP skaláry. Jako alternativu k Eq () můžeme vidět, že podmínka ${ displaystyle Phi _ {00} = 0}$ vyplývá také z rovnice NP

{ displaystyle (17) qquad D rho - { bar { delta}} kappa = ( rho ^ {2} + sigma { bar { sigma}}) + ( varepsilon + { bar { varepsilon}}) rho - { bar { kappa}} tau - (3 alpha + { bar { beta}} - pi) , kappa + Phi _ {00} , { hat {=}} , 0 ,}

tak jako

{ displaystyle kappa _ {} , { hat {=}} , rho , { hat {=}} , sigma = 0}

, tak

{ displaystyle (18) qquad Phi _ {00} , { hat {=}} , 0 ; ; Leftrightarrow ; ; 2 , phi _ {0} , { overline { phi _ {0}}} , { hat {=}} , 0 ; ; Rightarrow ; ; phi _ {0} = { overline { phi _ {0}}} , { hat {=}} , 0 ,.}

Z toho přímo vyplývá

{ displaystyle (19) qquad Phi _ {01} = { overline { Phi _ {10}}} = , 2 , phi _ {0} , { overline { phi _ {1 }}} , { hat {=}} , 0 ,, quad Phi _ {02} = { overline { Phi _ {20}}} = , 2 , phi _ {0 } , { overline { phi _ {2}}} , { hat {=}} , 0 ,.}

Tyto výsledky ukazují, že neexistují žádné elektromagnetické vlny napříč ( ${ displaystyle Phi _ {00}}$ , ${ displaystyle Phi _ {01}}$ ) nebo podél ( Phi_ {02}) NEH kromě nulové geodetiky generující horizont. Za zmínku stojí také doplňková rovnice ${ displaystyle Phi _ {ij} = 2 , phi _ {i} , { overline { phi _ {j}}}}$ v Eq () platí pouze pro elektromagnetická pole; například v případě polí Yang – Mills tam bude ${ displaystyle Phi _ {ij} = , { text {Tr}} , { big (} , digamma _ {i} , { bar { digamma}} _ {j} , { velký)}}$ kde ${ displaystyle digamma _ {i} (i v {0,1,2 }}$ jsou skaláři Yang – Mills-NP.^[15]

Upravená tetrada na NEH a další vlastnosti

K dosažení nejstručnějších popisů NP se obvykle používají nulové tetrady přizpůsobené vlastnostem časoprostoru. Například null tetrad lze upravit na hlavní nulové směry, jakmile Petrovský typ je známo; také v některých typických hraničních oblastech, jako je nula nekonečno, podobný nekonečno, vesmírný nekonečno, horizonty černé díry a kosmologické horizonty, tetrady lze přizpůsobit hraničním strukturám. Podobně, a přednost tetrad^[1]^[2]^[3] přizpůsobený geometrickému chování na obzoru se v literatuře používá k dalšímu zkoumání NEH.

Jak je naznačeno z pohledu 3 + 1 z podmínky (i) v definici, je NEH fol foliován vesmírnými hypersurfaces ∆ '= S² příčně k jeho nulové normále podél příchozí nulové souřadnice ${ displaystyle v}$ , kde se řídíme standardním zápisem příchozích Eddington – Finkelsteinovy nulové souřadnice a použít ${ displaystyle v}$ označit 2-rozměrné listy ${ displaystyle S_ {v} ^ {2}}$ na ${ displaystyle v = { text {constant}}}$ ; tj. ∆ = ∆ '× [v₀,proti₁] = S²× [v₀,proti₁]. ${ displaystyle v}$ je nastaven tak, aby byl zaměřen na budoucnost a vybral první tetradový covector ${ displaystyle n_ {a}}$ tak jako ${ displaystyle n_ {a} = - dv}$ ,^[2]^[3] a pak bude jedinečné vektorové pole ${ displaystyle l ^ {a}}$ jako nulové normály ${ displaystyle S_ {v} ^ {2}}$ uspokojení křížové normalizace ${ displaystyle l ^ {a} n_ {a} = - 1}$ a afinní parametrizace ${ displaystyle Dv = 1}$ ; takový výběr ${ displaystyle {l ^ {a}, n ^ {a} }}$ by ve skutečnosti poskytlo preferovanou foliaci ∆. Zatímco ${ displaystyle {l ^ {a} ,, n ^ {a} }}$ souvisí s vnějšími vlastnostmi a nulovými generátory (tj. nulové toky / geodetická kongruence na ∆), zbývající dva komplexní nulové vektory ${ displaystyle {m ^ {a}, { bar {m}} ^ {a} }}$ mají překlenout vnitřní geometrii listu foliace ${ displaystyle S_ {v} ^ {2}}$ , tečna k ∆ a příčně k ${ displaystyle {l ^ {a} ,, n ^ {a} }}$ ; to je ${ displaystyle { mathcal {L}} _ { ell} m , { hat {=}} , { mathcal {L}} _ { ell} { bar {m}} { hat { =}} 0}$ .

Podívejme se nyní na důsledky tohoto druhu přizpůsobené tetrady. Od té doby

{ displaystyle (20) qquad { mathcal {L}} _ { ell} m = [ ell, m] , { hat {=}} , 0 ; Rightarrow ; delta DD delta = ({ bar { alpha}} + beta - { bar { pi}}) D + kappa _ {} Delta - ({ bar { rho}} + varepsilon - { bar { varepsilon}}) delta - sigma { bar { delta}} , { hat {=}} , 0 ,,}

s ${ displaystyle kappa _ {} , { hat {=}} , rho , { hat {=}} , sigma , { hat {=}} , 0}$ , my máme

{ displaystyle (21) qquad pi , { hat {=}} , alpha + { bar { beta}} ,, quad varepsilon , { hat {=}} , { bar { varepsilon}} ,.}

V takto upraveném rámci také derivace ${ displaystyle { mathcal {L}} _ { bar {m}} m}$ na ∆ '× [v₀,proti₁] = S²× [v₀,proti₁] by mělo být čistě vnitřní; tedy v komutátoru

{ displaystyle (22) qquad { mathcal {L}} _ { bar {m}} m = [{ bar {m}}, m] = { bar { delta}} delta - delta { bar { delta}} = ({ bar { mu}} - mu) D + ({ bar { rho}} - rho) Delta - ({ bar { beta}} - alfa) delta - ({ bar { alpha}} - beta) { bar { delta}} ,,}

koeficienty pro směrové derivace ${ displaystyle D}$ a ∆ musí být nula, to znamená

{ displaystyle (23) qquad { bar { mu}} , { hat {=}} , mu ,, quad { mathcal {L}} _ { bar {m}} m , { hat {=}} , ( alpha - { bar { beta}}) delta - ({ bar { alpha}} - beta) { bar { delta}} , ,}

takže příchozí nulové normální pole ${ displaystyle n ^ {a}}$ je bez kroucení ${ displaystyle { text {Im}} ( mu) = { text {Im}} ({ bar {m}} ^ {a} m ^ {b} nabla _ {b} n_ {a}) = 0}$ , a ${ displaystyle 2 mu = 2 { text {Re}} ( mu)}$ se rovná rychlosti příchozí expanze ${ displaystyle theta _ {(n)}}$ .

Diskuse

Dosud byla zavedena definice a okrajové podmínky NEH. Okrajové podmínky zahrnují podmínky pro libovolný NEH, specifické vlastnosti pro Einstein-Maxwell (elektromagnetické) NEH, jakož i další vlastnosti v adaptované tetradě. Na základě NEH mohou být definovány WIH, které mají platnou povrchovou gravitaci, aby zobecnily mechaniku černé díry. WIH jsou dostatečné pro studium fyziky na obzoru, ale pro geometrické účely,^[2] na WIH lze uvalit přísnější omezení, aby bylo možné zavést IH, kde je třída ekvivalence nulových normálů ${ displaystyle [ ell]}$ plně zachovává indukované spojení ${ displaystyle { mathcal {D}}}$ na horizontu.

Reference

^ ^A ^b ^C Abhay Ashtekar, Christopher Beetle, Olaf Dreyer a kol. Msgstr "Obecné izolované horizonty a jejich aplikace". Dopisy o fyzické kontrole, 2000, 85(17): 3564-3567.arXiv: gr-qc / 0006006v2
^ ^A ^b ^C ^d ^E Abhay Ashtekar, Christopher Beetle, Jerzy Lewandowski. "Geometrie generických izolovaných horizontů". Klasická a kvantová gravitace, 2002, 19(6): 1195-1225. arXiv: gr-qc / 0111067v2
^ ^A ^b ^C ^d Abhay Ashtekar, Stephen Fairhurst, Badri Krishnan. „Izolované obzory: Hamiltonovská evoluce a první zákon“. Fyzický přehled D, 2000, 62(10): 104025. gr-qc / 0005083
^ Thomas W. Baumgarte, Stuart L. Shapiro. Numerická relativita: Řešení Einsteinových rovnic na počítači. Cambridge: Cambridge University Press, 2010. Kapitola 2: 3 + 1 rozklad Einsteinových rovnic, strana 23.
^ ^A ^b ^C ^d ^E ^F ^G Jeremy Bransom Griffiths, Jiří Podolský. Přesný časoprostor v Einsteinově obecné relativitě. Cambridge: Cambridge University Press, 2009. Kapitola 2.
^ ^A ^b Valeri P Frolov, Igor D Novikov. Fyzika černé díry: základní koncepty a nový vývoj. Berlin: Springer, 1998. Dodatek E.
^ ^A ^b Eric Poisson. Relativist's Toolkit: The Mathematics of Black-Hole Mechanics. Cambridge: Cambridge University Press, 2004. Kapitoly 2 a 3.
^ Ezra T Newman, Roger Penrose. „Přístup k gravitačnímu záření metodou spinových koeficientů“. Journal of Mathematical Physics, 1962, 3(3): 566-768.
^ Ezra T Newman, Roger Penrose. „Errata: Přístup ke gravitačnímu záření metodou spinových koeficientů“. Journal of Mathematical Physics, 1963, 4(7): 998.
^ Ivan Booth. "Hranice černé díry". Kanadský žurnál fyziky, 2005, 83(11): 1073-1099. [arxiv.org/abs/gr-qc/0508107 arXiv: gr-qc / 0508107v2]
^ ^A ^b Subrahmanyan Chandrasekhar. Matematická teorie černých děr. Chicago: University of Chicago Press, 1983. Oddíl 9 (a), strana 56.
^ Sayan Kar, Soumitra SenGupta. Raychaudhuriho rovnice: krátký přehled. Pramana, 2007, 69(1): 49-76. [arxiv.org/abs/gr-qc/0611123v1 gr-qc / 0611123]
^ David McMahon. Relativity Demystified - Průvodce pro samouky. New York: McGraw-Hill, 2006. Kapitola 9.
^ Alex Nielsen. Disertační práce: Horizonty černé díry a termodynamika černé díry. University of Canterbury, 2007. Oddíl 2.3. Dostupný online: http://ir.canterbury.ac.nz/handle/10092/1363.
^ E T Newman, K P Tod. Asymptotically Flat Spacetimes. strana 27, příloha A.2. V držení (editor): Obecná relativita a gravitace: sto let po narození Alberta Einsteina. Vol (2). New York and London: Plenum Press, 1980.

[ref1-1] A ^b ^C Abhay Ashtekar, Christopher Beetle, Olaf Dreyer a kol. Msgstr "Obecné izolované horizonty a jejich aplikace". Dopisy o fyzické kontrole, 2000, 85(17): 3564-3567.arXiv: gr-qc / 0006006v2

[ref2-2] A ^b ^C ^d ^E Abhay Ashtekar, Christopher Beetle, Jerzy Lewandowski. "Geometrie generických izolovaných horizontů". Klasická a kvantová gravitace, 2002, 19(6): 1195-1225. arXiv: gr-qc / 0111067v2

[ref3-3] A ^b ^C ^d Abhay Ashtekar, Stephen Fairhurst, Badri Krishnan. „Izolované obzory: Hamiltonovská evoluce a první zákon“. Fyzický přehled D, 2000, 62(10): 104025. gr-qc / 0005083

[4] Thomas W. Baumgarte, Stuart L. Shapiro. Numerická relativita: Řešení Einsteinových rovnic na počítači. Cambridge: Cambridge University Press, 2010. Kapitola 2: 3 + 1 rozklad Einsteinových rovnic, strana 23.

[NP1-5] A ^b ^C ^d ^E ^F ^G Jeremy Bransom Griffiths, Jiří Podolský. Přesný časoprostor v Einsteinově obecné relativitě. Cambridge: Cambridge University Press, 2009. Kapitola 2.

[NP2-6] A ^b Valeri P Frolov, Igor D Novikov. Fyzika černé díry: základní koncepty a nový vývoj. Berlin: Springer, 1998. Dodatek E.

[Poisson-7] A ^b Eric Poisson. Relativist's Toolkit: The Mathematics of Black-Hole Mechanics. Cambridge: Cambridge University Press, 2004. Kapitoly 2 a 3.

[8] Ezra T Newman, Roger Penrose. „Přístup k gravitačnímu záření metodou spinových koeficientů“. Journal of Mathematical Physics, 1962, 3(3): 566-768.

[9] Ezra T Newman, Roger Penrose. „Errata: Přístup ke gravitačnímu záření metodou spinových koeficientů“. Journal of Mathematical Physics, 1963, 4(7): 998.

[10] Ivan Booth. "Hranice černé díry". Kanadský žurnál fyziky, 2005, 83(11): 1073-1099. [arxiv.org/abs/gr-qc/0508107 arXiv: gr-qc / 0508107v2]

[NP3-11] A ^b Subrahmanyan Chandrasekhar. Matematická teorie černých děr. Chicago: University of Chicago Press, 1983. Oddíl 9 (a), strana 56.

[12] Sayan Kar, Soumitra SenGupta. Raychaudhuriho rovnice: krátký přehled. Pramana, 2007, 69(1): 49-76. [arxiv.org/abs/gr-qc/0611123v1 gr-qc / 0611123]

[13] David McMahon. Relativity Demystified - Průvodce pro samouky. New York: McGraw-Hill, 2006. Kapitola 9.

[14] Alex Nielsen. Disertační práce: Horizonty černé díry a termodynamika černé díry. University of Canterbury, 2007. Oddíl 2.3. Dostupný online: http://ir.canterbury.ac.nz/handle/10092/1363.

[15] E T Newman, K P Tod. Asymptotically Flat Spacetimes. strana 27, příloha A.2. V držení (editor): Obecná relativita a gravitace: sto let po narození Alberta Einsteina. Vol (2). New York and London: Plenum Press, 1980.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

[14]

[15]