Příčinná struktura - Causal structure - Wikipedia

v matematická fyzika, kauzální struktura a Lorentzian potrubí popisuje kauzální vztahy mezi body v potrubí.

Úvod

v moderní fyzika (zvláště obecná relativita ) vesmírný čas je reprezentován a Lorentzian potrubí. Kauzální vztahy mezi body v potrubí jsou interpretovány jako popisující, které události v časoprostoru mohou ovlivnit které další události.

Minkowského časoprostor je jednoduchým příkladem Lorentzianova potrubí. Kauzální vztahy mezi body v Minkowského časoprostoru mají obzvláště jednoduchou formu, protože prostor je byt. Vidět Příčinná struktura Minkowského časoprostoru Pro více informací.

Příčinná struktura libovolného (možná zakřiveného) Lorentzianova potrubí je komplikována přítomností zakřivení. Diskuse o kauzální struktuře těchto potrubí musí být formulována v pojmech hladký křivky spojování dvojic bodů. Podmínky na tečné vektory křivek pak definuje kauzální vztahy.

Tečné vektory

Li ${ displaystyle , (M, g)}$ je Lorentzian potrubí (pro metrický ${ displaystyle g}$ na potrubí ${ displaystyle M}$ ) potom lze tangenciální vektory v každém bodě potrubí rozdělit do tří různých typů. tangenciální vektor ${ displaystyle X}$ je

podobný -li ${ displaystyle , g (X, X) <0}$
nula nebo lehký -li ${ displaystyle , g (X, X) = 0}$
vesmírný -li ${ displaystyle , g (X, X)> 0}$

(Zde používáme ${ displaystyle (-, +, +, +, cdots)}$ metrický podpis ). Tangensový vektor se nazývá „neprostorový“, je-li nulový nebo podobný času.

Tato jména pocházejí z jednoduššího případu Minkowského časoprostoru (viz Příčinná struktura Minkowského časoprostoru ).

Časová orientovatelnost

V každém bodě v ${ displaystyle M}$ časové tečné vektory v bodě tečný prostor lze rozdělit do dvou tříd. K tomu nejprve definujeme vztah ekvivalence na dvojicích časově podobných tečných vektorů.

Li ${ displaystyle X}$ a ${ displaystyle Y}$ jsou dva časové tečné vektory v bodě, který říkáme ${ displaystyle X}$ a ${ displaystyle Y}$ jsou rovnocenné (písemné ${ displaystyle X sim Y}$ ) pokud ${ displaystyle , g (X, Y) <0}$ .

Pak jsou dva třídy ekvivalence které mezi nimi obsahují všechny časové tečné vektory v bodě. Můžeme (libovolně) nazvat jednu z těchto tříd ekvivalence „budoucností“ a druhou „minulostí“. Fyzicky toto označení dvou tříd budoucích a minulých časově podobných vektorů odpovídá výběru z šipka času na místě. Označení zaměřená na budoucnost a minulost lze rozšířit na nulové vektory v bodě kontinuitou.

A Lorentzian potrubí je časově orientovatelné^[1] pokud lze pro celé varieté vytvořit kontinuální označení pro budoucnost a minulost pro vektory, které nejsou podobné vesmíru.

Křivky

A cesta v ${ displaystyle M}$ je kontinuální mapa ${ displaystyle mu: Sigma až M}$ kde ${ displaystyle Sigma}$ je nedegenerovaný interval (tj. připojená množina obsahující více než jeden bod) v ${ displaystyle mathbb {R}}$ . A hladký cesta má ${ displaystyle mu}$ diferencovatelný odpovídající počet opakování (obvykle ${ displaystyle C ^ { infty}}$ ) a a pravidelný cesta má nevanující derivát.

A křivka v ${ displaystyle M}$ je obraz cesty nebo, přesněji řečeno, třída ekvivalence obrazů cesty související s novou parametrizací, tj. homeomorfismy nebo difeomorfismy z ${ displaystyle Sigma}$ . Když ${ displaystyle M}$ je časově orientovatelná, křivka je orientované pokud je požadována změna parametru monotóní.

Vyhlaďte pravidelné křivky (nebo cesty) v ${ displaystyle M}$ lze klasifikovat v závislosti na jejich tečných vektorech. Taková křivka je

chronologický (nebo podobný) pokud je tečný vektor ve všech bodech křivky podobný času.
nula pokud je tečný vektor ve všech bodech křivky nulový.
vesmírný pokud je tečný vektor ve všech bodech křivky vesmírný.
kauzální (nebo ne-vesmírný), je-li vektor tečny podobný nebo null ve všech bodech křivky.

Požadavky na pravidelnost a nedegeneraci ${ displaystyle Sigma}$ zajistit, aby uzavřené kauzální křivky (například křivky skládající se z jediného bodu) nebyly automaticky připuštěny všemi časoprostory.

Pokud je rozdělovač časově orientovatelný, lze mimoprostorové křivky dále klasifikovat v závislosti na jejich orientaci s ohledem na čas.

Chronologická, nulová nebo kauzální křivka v ${ displaystyle M}$ je

do budoucna pokud je pro každý bod křivky vektor tečny směrovaný do budoucnosti.
minulost pokud je pro každý bod křivky vektor tečny směrován do minulosti.

Tyto definice platí pouze pro kauzální (chronologické nebo nulové) křivky, protože orientaci vzhledem k času lze přiřadit pouze časovým nebo nulovým tečným vektorům.

A uzavřená časová křivka je uzavřená křivka, která je všude časově orientovaná na budoucnost (nebo všude časově orientovaná na minulost).
A uzavřená nulová křivka je uzavřená křivka, která je všude null zaměřená na budoucnost (nebo všude null zaměřená na minulost).
The holonomy poměru rychlosti změny afinního parametru kolem uzavřené nulové geodetiky je faktor červeného posunu.

Příčinné vztahy

Existují dva typy příčin vztahy mezi body ${ displaystyle x}$ a ${ displaystyle y}$ v potrubí ${ displaystyle M}$ .

${ displaystyle x}$ chronologicky předchází ${ displaystyle y}$ (často označováno ${ displaystyle , x ll y}$ ) pokud existuje chronologická (časově podobná) křivka zaměřená na budoucnost z ${ displaystyle x}$ na ${ displaystyle y}$ .
${ displaystyle x}$ přísně kauzálně předchází ${ displaystyle y}$ (často označováno ${ displaystyle x$ ) pokud existuje kauzální (neprostorově podobná) křivka zaměřená na budoucnost z ${ displaystyle x}$ na ${ displaystyle y}$ .
${ displaystyle x}$ kauzálně předchází ${ displaystyle y}$ (často označováno ${ displaystyle x prec y}$ nebo ${ displaystyle x leq y}$ ) pokud ${ displaystyle x}$ přísně kauzálně předchází ${ displaystyle y}$ nebo ${ displaystyle x = y}$ .
${ displaystyle x}$ horismos (světelný kužel) ${ displaystyle y}$ ^[2] (často označováno ${ displaystyle x to y}$ nebo ${ displaystyle x blízko y}$ ) pokud ${ displaystyle x prec y}$ a ${ displaystyle x not ll y}$ , ${ displaystyle y ll z}$ naznačuje ${ displaystyle x ll z}$
${ displaystyle , x prec y}$ , ${ displaystyle , y prec z}$ naznačuje ${ displaystyle , x prec z}$

a uspokojit^[3]

${ displaystyle x ll y}$ naznačuje ${ displaystyle x prec y}$ (vyplývá to triviálně z definice)
${ displaystyle x ll y}$ , ${ displaystyle y prec z}$ naznačuje ${ displaystyle x ll z}$
${ displaystyle x prec y}$ , ${ displaystyle y ll z}$ naznačuje ${ displaystyle x ll z}$

Pro bod ${ displaystyle x}$ v potrubí ${ displaystyle M}$ definujeme^[3]

The chronologická budoucnost z ${ displaystyle x}$ , označeno ${ displaystyle , I ^ {+} (x)}$ , jako množina všech bodů ${ displaystyle y}$ v ${ displaystyle M}$ takhle ${ displaystyle x}$ chronologicky předchází ${ displaystyle y}$ :

{ displaystyle , I ^ {+} (x) = {y v M | x ll y }}

The chronologická minulost z ${ displaystyle x}$ , označeno ${ displaystyle , I ^ {-} (x)}$ , jako množina všech bodů ${ displaystyle y}$ v ${ displaystyle M}$ takhle ${ displaystyle y}$ chronologicky předchází ${ displaystyle x}$ :

{ displaystyle , I ^ {-} (x) = {y v M | y ll x }}

Podobně definujeme

The kauzální budoucnost (nazývané také absolutní budoucnost) z ${ displaystyle x}$ , označeno ${ displaystyle , J ^ {+} (x)}$ , jako množina všech bodů ${ displaystyle y}$ v ${ displaystyle M}$ takhle ${ displaystyle x}$ kauzálně předchází ${ displaystyle y}$ :

{ displaystyle , J ^ {+} (x) = {y v M | x prec y }}

The kauzální minulost (nazývané také absolutní minulost) z ${ displaystyle x}$ , označeno ${ displaystyle , J ^ {-} (x)}$ , jako množina všech bodů ${ displaystyle y}$ v ${ displaystyle M}$ takhle ${ displaystyle y}$ kauzálně předchází ${ displaystyle x}$ :

{ displaystyle , J ^ {-} (x) = {y v M | y prec x }}

Body obsažené v ${ displaystyle , I ^ {+} (x)}$ například lze dosáhnout z ${ displaystyle x}$ křivkou časově podobné budoucnosti. Bod ${ displaystyle x}$ lze dosáhnout například z bodů obsažených v ${ displaystyle , J ^ {-} (x)}$ pomocí kosmické křivky zaměřené na budoucnost.

Jako jednoduchý příklad v Minkowského časoprostor sada ${ displaystyle , I ^ {+} (x)}$ je interiér budoucnosti světelný kužel na ${ displaystyle x}$ . Sada ${ displaystyle , J ^ {+} (x)}$ je plný budoucí světelný kužel v ${ displaystyle x}$ , včetně samotného kužele.

Tyto sady ${ displaystyle , I ^ {+} (x), I ^ {-} (x), J ^ {+} (x), J ^ {-} (x)}$ definováno pro všechny ${ displaystyle x}$ v ${ displaystyle M}$ , se souhrnně nazývají kauzální struktura z ${ displaystyle M}$ .

Pro ${ displaystyle S}$ A podmnožina z ${ displaystyle M}$ definujeme^[3]

{ displaystyle I ^ { pm} (S) = bigcup _ {x v S} I ^ { pm} (x)}

{ displaystyle J ^ { pm} (S) = bigcup _ {x v S} J ^ { pm} (x)}

Pro ${ displaystyle S, T}$ dva podmnožiny z ${ displaystyle M}$ definujeme

The chronologická budoucnost ${ displaystyle S}$ ve vztahu k ${ displaystyle T}$ , ${ displaystyle I ^ {+} (S; T)}$ , je chronologická budoucnost ${ displaystyle S}$ považována za podmanifold z ${ displaystyle T}$ . Všimněte si, že se jedná o zcela odlišný koncept ${ displaystyle I ^ {+} (S) cap T}$ což dává množinu bodů v ${ displaystyle T}$ kterých lze dosáhnout pomocí časově podobných křivek zaměřených na budoucnost počínaje od ${ displaystyle S}$ . V prvním případě musí křivky ležet ${ displaystyle T}$ v druhém případě ne. Viz Hawking a Ellis.
The kauzální budoucnost ${ displaystyle S}$ ve vztahu k ${ displaystyle T}$ , ${ displaystyle J ^ {+} (S; T)}$ , je kauzální budoucnost ${ displaystyle S}$ považováno za podmanifold z ${ displaystyle T}$ . Všimněte si, že se jedná o zcela odlišný koncept od ${ displaystyle J ^ {+} (S) cap T}$ což dává množinu bodů v ${ displaystyle T}$ kterého lze dosáhnout kauzálními křivkami zaměřenými na budoucnost počínaje od ${ displaystyle S}$ . V prvním případě musí křivky ležet ${ displaystyle T}$ v druhém případě ne. Viz Hawking a Ellis.
A budoucí sada je množina uzavřená v chronologické budoucnosti.
A minulá sada je množina uzavřená v chronologické minulosti.
An nerozložitelná minulá sada (IP) je minulá množina, která není spojením dvou různých otevřených minulých správných podmnožin.
${ displaystyle I ^ {-} (x)}$ je správná nerozložitelná minulá množina (PIP).
A koncová nerozložitelná minulá sada (TIP) je IP adresa, která není PIP.
Budoucnost Cauchyho vývoj z ${ displaystyle S}$ , ${ displaystyle D ^ {+} (S)}$ je množina všech bodů ${ displaystyle x}$ pro které každá minulost směřovala neroztažitelnou kauzální křivku ${ displaystyle x}$ protíná se ${ displaystyle S}$ alespoň jednou. Podobně pro minulý vývoj Cauchy. Vývoj Cauchy je spojením budoucího a minulého vývoje Cauchy. Cauchyho vývoj je důležitý pro studium determinismus.
Podmnožina ${ displaystyle S podmnožina M}$ je achronální pokud neexistují ${ displaystyle q, r v S}$ takhle ${ displaystyle r v I ^ {+} (q)}$ , nebo ekvivalentně, pokud ${ displaystyle S}$ je disjunktní z ${ displaystyle I ^ {+} (S)}$ .
A Cauchyho povrch je uzavřená achronální množina, jejíž vývoj Cauchy je ${ displaystyle M}$ .
Metrika je globálně hyperbolické pokud to může být ovlivněno Cauchyovými povrchy.
The sada porušující chronologii je sada bodů, kterými procházejí uzavřené časové křivky.
The sada porušující příčinnou souvislost je množina bodů, kterými procházejí uzavřené kauzální křivky.
Pro kauzální křivku ${ displaystyle gamma}$ , kauzální diamant je ${ displaystyle J ^ {+} ( gamma) cap J ^ {-} ( gamma)}$ (zde používáme volnější definici „křivky“, kde jde pouze o množinu bodů). Slovy: kauzální diamant světové linie částice ${ displaystyle gamma}$ je množina všech událostí, které leží v minulosti nějakého bodu v ${ displaystyle gamma}$ a budoucnost nějakého bodu v ${ displaystyle gamma}$ .

Vlastnosti

Viz Penrose (1972), s. 13.

Bod ${ displaystyle x}$ je v ${ displaystyle , I ^ {-} (y)}$ kdyby a jen kdyby ${ displaystyle y}$ je v ${ displaystyle , I ^ {+} (x)}$ .
${ Displaystyle x prec y znamená I ^ {-} (x) podmnožina I ^ {-} (y)}$
${ displaystyle x prec y znamená I ^ {+} (y) podmnožina I ^ {+} (x)}$
${ displaystyle I ^ {+} [S] = I ^ {+} [I ^ {+} [S]] podmnožina J ^ {+} [S] = J ^ {+} [J ^ {+} [ S]]}$
${ displaystyle I ^ {-} [S] = I ^ {-} [I ^ {-} [S]] podmnožina J ^ {-} [S] = J ^ {-} [J ^ {-} [ S]]}$
Horismos je generován nulovými geodetickými kongruencemi.

Topologické vlastnosti:

${ displaystyle I ^ { pm} (x)}$ je otevřen pro všechny body ${ displaystyle x}$ v ${ displaystyle M}$ .
${ displaystyle I ^ { pm} [S]}$ je otevřen pro všechny podskupiny ${ displaystyle S podmnožina M}$ .
${ displaystyle I ^ { pm} [S] = I ^ { pm} [{ overline {S}}]}}$ pro všechny podskupiny ${ displaystyle S podmnožina M}$ . Tady ${ displaystyle { overline {S}}}$ je uzavření podmnožiny ${ displaystyle S}$ .
${ displaystyle I ^ { pm} [S] podmnožina { overline {J ^ { pm} [S]}}}$

Konformní geometrie

Dvě metriky ${ displaystyle , g}$ a ${ displaystyle { hat {g}}}$ jsou konformně související^[4] -li ${ displaystyle { hat {g}} = Omega ^ {2} g}$ pro nějakou skutečnou funkci ${ displaystyle Omega}$ volal konformní faktor. (Vidět konformní mapa ).

Podíváme-li se na definice, které tečné vektory jsou časové, nulové a prostorové, vidíme, že zůstanou nezměněny, pokud použijeme ${ displaystyle , g}$ nebo ${ displaystyle { hat {g}}.}$ Jako příklad předpokládejme ${ displaystyle X}$ je časově podobný tangensový vektor s ohledem na ${ displaystyle , g}$ metrický. Tohle znamená tamto ${ displaystyle , g (X, X) <0}$ . Pak to máme ${ displaystyle { hat {g}} (X, X) = Omega ^ {2} g (X, X) <0}$ tak ${ displaystyle X}$ je časově podobný tangensový vektor s ohledem na ${ displaystyle { hat {g}}}$ také.

Z toho vyplývá, že kauzální struktura Lorentzianova potrubí není ovlivněna a konformní transformace.

Viz také

Poznámky

^ Hawking a Izrael 1979, str. 255
^ Penrose 1972, str. 15
^ ^A ^b ^C Penrose 1972, str. 12
^ Hawking & Ellis 1973, str. 42

Reference

Hawking, S.W.; Ellis, G.F.R. (1973), Struktura velkého měřítka časoprostoru, Cambridge: Cambridge University Press, ISBN 0-521-20016-4
Hawking, S.W.; Izrael, W. (1979), General Relativity, an Einstein Centenary Survey, Cambridge University Press, ISBN 0-521-22285-0
Penrose, R. (1972), Techniky diferenciální topologie v relativitě, SIAM, ISBN 0898710057

Další čtení

G. W. Gibbons S. N. Solodukhin; Geometrie malých kauzálních diamantů arXiv: hep-th / 0703098 (Kauzální intervaly)
S.W. Hawking, A.R. King, P. J. McCarthy; Nová topologie pro zakřivený časoprostor, která zahrnuje kauzální, diferenciální a konformní struktury; J. Math. Phys. 17 2: 174-181 (1976); (Geometrie, Příčinná struktura )
A.V. Levichev; Předepisování konformní geometrie lorentzského potrubí prostřednictvím jeho kauzální struktury; Sovětská matematika. Dokl. 35: 452-455, (1987); (Geometrie, Příčinná struktura )
D. Bolest; Třída spojitých časových křivek určuje topologii časoprostoru; J. Math. Phys. 18 7: 1399-1404 (1977); (Geometrie, Příčinná struktura )
A.A. Robb ; Teorie času a prostoru; Cambridge University Press, 1914; (Geometrie, Příčinná struktura )
A.A. Robb ; Absolutní vztahy času a prostoru; Cambridge University Press, 1921; (Geometrie, Příčinná struktura )
A.A. Robb ; Geometrie času a prostoru; Cambridge University Press, 1936; (Geometrie, Příčinná struktura )
R.D. Sorkin E. Woolgar; Kauzální řád pro časoprostory s Lorentzianovými metrikami C ^ 0: Důkaz kompaktnosti prostoru kauzálních křivek; Classical & Quantum Gravity 13: 1971-1994 (1996); arXiv: gr-qc / 9508018 (Příčinná struktura )

externí odkazy

Turingovy kauzální sítě autor: Enrique Zeleny, Demonstrační projekt Wolfram
Weisstein, Eric W. „Příčinná síť“. MathWorld.

[1] Hawking a Izrael 1979, str. 255

[2] Penrose 1972, str. 15

[Penrose12-3] A ^b ^C Penrose 1972, str. 12

[4] Hawking & Ellis 1973, str. 42

[1]

[2]

[3]

[4]