Dieudonné determinant - Dieudonné determinant - Wikipedia

v lineární algebra, Dieudonné determinant je zobecněním determinant matice do matic dělící kroužky a místní prsteny. To bylo představeno Dieudonné (1943 ).

Li K. je dělící kruh, pak je Dieudonné determinant a homomorfismus skupin ze skupiny GL_n(K.) invertible n podle n matice přes K. na abelianizace K.^×/[K.^×, K.^×] multiplikativní skupiny K.^× z K..

Například Dieudonné determinant pro matici 2 na 2 je

{ displaystyle det left ({ begin {pole} {* {20} c} a & b c & d end {pole}} doprava) = left lbrace { begin {pole} {* {20} c} -cb & { text {if}} a = 0 ad-aca ^ {- 1} b & { text {if}} a neq 0 end {pole}} vpravo ..}

Vlastnosti

Nechat R být místním kruhem. Existuje maticová mapa z maticového kruhu GL (R) do abelianizované skupiny jednotek R^×_ab s následujícími vlastnostmi:^[1]

Determinant je neměnný pod základní řádkové operace
Determinant identity je 1
Pokud je řádek vlevo vynásoben A v R^× pak je determinant ponechán vynásoben A
Determinant je multiplikativní: det (AB) = det (A) det (B)
Pokud se vymění dva řádky, determinant se vynásobí −1
Pokud je R komutativní, pak je determinant při transpozici neměnný

Problém Tannaka – Artin

Předpokládat, že K. je konečný přes jeho střed F. The snížená norma dává homomorfismus N_n od GL_n(K.) až F^×. Máme také homomorfismus z GL_n(K.) až F^× získané složením Dieudonného determinantu z GL_n(K.) až K.^×/[K.^×, K.^×] se sníženou normou N₁ od GL₁(K.) = K.^× na F^× prostřednictvím abelianizace.

The Problém Tannaka – Artin je, zda mají tyto dvě mapy stejné jádro SL_n(K.). To je pravda, když F je místně kompaktní^[2] ale obecně nepravdivé.^[3]

Viz také

Mooreův determinant nad algebrou dělení

Reference

^ Rosenberg (1994) str.64
^ Nakayama, Tadasi; Matsushima, Yozô (1943). „Über die multiplikative Gruppe einer p-adischen Divisionsalgebra“. Proc. Imp. Acad. Tokio (v němčině). 19: 622–628. doi:10,3792 / pia / 1195573246. Zbl 0060.07901.
^ Platonov, V.P. (1976). „Problém Tannaka-Artin a redukovaná K-teorie“. Izv. Akad. Nauk SSSR, ser. Rohož. (v Rusku). 40: 227–261. Zbl 0338.16005.

Dieudonné, Jean (1943), „Les déterminants sur un corps non commutatif“, Bulletin de la Société Mathématique de France, 71: 27–45, doi:10,24033 / bsmf.1345, ISSN 0037-9484, PAN 0012273, Zbl 0028.33904
Rosenberg, Jonathan (1994), Algebraická K-teorie a její aplikace, Postgraduální texty z matematiky, 147, Berlín, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-94248-3, PAN 1282290, Zbl 0801.19001. Errata
Serre, Jean-Pierre (2003), Stromy, Springer, str. 74, ISBN 3-540-44237-5, Zbl 1013.20001
Suprunenko, D.A. (2001) [1994], „Určující“, Encyclopedia of Mathematics, Stiskněte EMS

[Ros64-1] Rosenberg (1994) str.64

[2] Nakayama, Tadasi; Matsushima, Yozô (1943). „Über die multiplikative Gruppe einer p-adischen Divisionsalgebra“. Proc. Imp. Acad. Tokio (v němčině). 19: 622–628. doi:10,3792 / pia / 1195573246. Zbl 0060.07901.

[3] Platonov, V.P. (1976). „Problém Tannaka-Artin a redukovaná K-teorie“. Izv. Akad. Nauk SSSR, ser. Rohož. (v Rusku). 40: 227–261. Zbl 0338.16005.

[1]

[2]

[3]