Haly univerzální skupina - Halls universal group - Wikipedia

v algebra, Hallova univerzální skupina je spočítatelné lokálně konečná skupina, řekněme U, který se jedinečně vyznačuje následujícími vlastnostmi.

• Každá konečná skupina G připouští a monomorfismus na U.
• Všechny tyto monomorfismy jsou konjugovány vnitřní automorfismy z U.

To bylo definováno Philip Hall v roce 1959,^[1] a má univerzální vlastnost všechny spočítatelné lokálně konečné skupiny vložit do toho.

Konstrukce

Vezměte jakoukoli skupinu ${ displaystyle Gamma _ {0}}$ řádu ${ displaystyle geq 3}$. Označit podle ${ displaystyle Gamma _ {1}}$ skupina ${ displaystyle S _ { Gamma _ {0}}}$z obměny prvků ${ displaystyle Gamma _ {0}}$tím, že${ displaystyle Gamma _ {2}}$ skupina

${ displaystyle S _ { Gamma _ {1}} = S_ {S _ { Gamma _ {0}}} ,}$

a tak dále. Protože skupina na sebe jedná věrně permutacemi

${ displaystyle x mapsto gx ,}$

podle Cayleyho věta, to dává řetězec monomorfismů

${ displaystyle Gamma _ {0} hookrightarrow Gamma _ {1} hookrightarrow Gamma _ {2} hookrightarrow cdots. ,}$

A přímý limit (tj. svaz) všech ${ displaystyle Gamma _ {i}}$je Hallova univerzální skupina U.

Vskutku, U pak obsahuje a symetrická skupina libovolně velkého řádu a jakákoli skupina připouští monomorfismus k a skupina permutací, jak je vysvětleno výše G být konečnou skupinou, která připouští dvě vložení U.Od té doby U je přímý limit a G je konečný, obrázky těchto dvou vložení patří ${ displaystyle Gamma _ {i} podmnožina U}$. Skupina ${ displaystyle Gamma _ {i + 1} = S _ { Gamma _ {i}}}$ jedná ${ displaystyle Gamma _ {i}}$permutacemi a sdružuje všechny možné vložení${ displaystyle G hookrightarrow U}$.

Reference