Místní Tate dualita - Local Tate duality

v Galoisova kohomologie, místní Tate dualita (nebo jednoduše místní dualita) je dualita pro Galoisovy moduly pro absolutní skupina Galois a non-archimedean místní pole. Je pojmenován po John Tate kdo to poprvé dokázal. Ukazuje, že duál takového modulu Galois je Tate twist obvyklé lineární duální. Tento nový dual se nazývá (místní) Tate dual.

Místní dualita v kombinaci s Tate's lokální Eulerův charakteristický vzorec poskytují všestrannou sadu nástrojů pro výpočet galoisovy kohomologie místních polí.

Prohlášení

Nechat K. být nearchimédským místním polem, ať K.^s označit a oddělitelný uzávěr z K.a nechte G_K. = Gal (K.^s/K.) být absolutní Galoisova skupina K..

Případ konečných modulů

Označte μ Galoisův modul všech kořeny jednoty v K.^s. Vzhledem k konečnému G_K.-modul A řádu připravit na charakteristický z K., Tate dual z A je definován jako

${ displaystyle A ^ { prime} = mathrm {Hom} (A, mu)}$

(tj. je to Tateův obrat obvyklého duálního A^∗). Nechat Hⁱ(K., A) označují skupinová kohomologie z G_K. s koeficienty v A. Věta říká, že párování

${ displaystyle H ^ {i} (K, A) krát H ^ {2-i} (K, A ^ { prime}) rightarrow H ^ {2} (K, mu) = mathbf {Q } / mathbf {Z}}$

dané pohárový produkt nastavuje dualitu mezi Hⁱ(K., A) a H²⁻ⁱ(K., A^′) pro i = 0, 1, 2.^[1] Od té doby G_K. má cohomologická dimenze rovnající se dvěma, vyšší kohomologické skupiny zmizí.^[2]

Případ str-adické reprezentace

Nechat str být prvočíslo. Nechat Q_str(1) označuje str-adický cyklotomický charakter z G_K. (tj Tate modul μ). A str-adická reprezentace z G_K. je kontinuální zastoupení

${ displaystyle rho: G_ {K} rightarrow mathrm {GL} (V)}$

kde PROTI je konečně-dimenzionální vektorový prostor přes p-adic čísla Q_str a GL (PROTI) označuje skupinu invertibilní lineární mapy z PROTI pro sebe.^[3] Dvojí Tate z PROTI je definován jako

${ displaystyle V ^ { prime} = mathrm {Hom} (V, mathbf {Q} _ {p} (1))}$

(tj. je to Tateův obrat obvyklého duálního PROTI^∗ = Hom (PROTI, Q_str)). V tomto případě, Hⁱ(K., PROTI) označuje kontinuální skupinová kohomologie z G_K. s koeficienty v PROTI. Aplikována lokální dualita Tate PROTI říká, že produkt poháru indukuje párování

${ displaystyle H ^ {i} (K, V) krát H ^ {2-i} (K, V ^ { prime}) rightarrow H ^ {2} (K, mathbf {Q} _ {p } (1)) = mathbf {Q} _ {p}}$

což je dualita mezi Hⁱ(K., PROTI) a H²⁻ⁱ(K., PROTI ') pro i = 0, 1, 2.^[4] Vyšší kohomologické skupiny opět zmizí.

Viz také

• Tate dualita, globální verze (tj. pro globální pole )

Poznámky

Reference

• Rubin, Karl (2000), Eulerovy systémyPřednášky Hermanna Weyla, Annals of Mathematics Studies, 147, Princeton University Press, ISBN  978-0-691-05076-8, PAN  1749177
• Serre, Jean-Pierre (2002), Galoisova kohomologieSpringer Monografie z matematiky, Berlín, New York: Springer-Verlag, ISBN  978-3-540-42192-4, PAN  1867431, překlad Cohomologie Galoisienne, Springer-Verlag Lecture Notes 5 (1964).