Lokální Eulerův charakteristický vzorec - Local Euler characteristic formula - Wikipedia

V matematický pole Galoisova kohomologie, lokální Eulerův charakteristický vzorec je výsledkem kvůli John Tate který počítá Eulerova charakteristika z skupinová kohomologie z absolutní skupina Galois G_K. a non-archimedean místní pole K..

Tvrzení

Nechat K. být nearchimédským místním polem, ať K.^s označit a oddělitelný uzávěr z K., nechť G_K. = Gal (K.^s/K.) být absolutní Galoisova skupina K.a nechte Hⁱ(K., M) označují skupinovou kohomologii G_K. s koeficienty v M. Protože cohomologická dimenze z G_K. jsou dva,^[1] Hⁱ(K., M) = 0 pro i ≥ 3. Proto Eulerova charakteristika zahrnuje pouze skupiny s i = 0, 1, 2.

Případ konečných modulů

Nechat M být G_K.-modul konečný objednat m. Eulerova charakteristika M je definován jako^[2]

${ displaystyle chi (G_ {K}, M) = { frac { # H ^ {0} (K, M) cdot # H ^ {2} (K, M)} { # H ^ {1} (K, M)}}}$

(dále jen ith kohomologické skupiny pro i ≥ 3 se objevují mlčky, protože jejich velikosti jsou všechny).

Nechat R označit kruh celých čísel z K.. Výsledek Tate pak uvádí, že pokud m je relativně prime do charakteristický z K., pak^[3]

${ displaystyle chi (G_ {K}, M) = doleva ( # R / mR doprava) ^ {- 1},}$

tj. inverzní k pořadí kvocientový kroužek R/pan.

Jsou dva zvláštní případy, které stojí za to vybrat. Pokud je v pořadí M je relativně prvotřídní vzhledem k charakteristice zbytkové pole z K., pak je Eulerova charakteristika jedna. Li K. je konečné prodloužení z str-adická čísla Q_str, a pokud proti_str označuje str-adické ocenění, pak

${ displaystyle chi (G_ {K}, M) = p ^ {- [K: mathbf {Q} _ {p}] v_ {p} (m)}}$

kde [K.:Q_str] je stupeň z K. přes Q_str.

Eulerovu charakteristiku lze přepsat pomocí místní Tate dualita, tak jako

${ displaystyle chi (G_ {K}, M) = { frac { # H ^ {0} (K, M) cdot # H ^ {0} (K, M ^ { prime})} { # H ^ {1} (K, M)}}}$

kde M^′ je místní Tate dual z M.

Poznámky

Reference

• Milne, James S. (2006), Věty o aritmetické dualitě (druhé vydání), Charleston, SC: BookSurge, LLC, ISBN  1-4196-4274-X, PAN  2261462, vyvoláno 2010-03-27
• Serre, Jean-Pierre (2002), Galoisova kohomologieSpringer Monografie z matematiky, Berlín, New York: Springer-Verlag, ISBN  978-3-540-42192-4, PAN  1867431, překlad Cohomologie Galoisienne, Springer-Verlag Lecture Notes 5 (1964).