Zákon celkové pravděpodobnosti - Law of total probability

v teorie pravděpodobnosti, zákon (nebo vzorec) celkové pravděpodobnosti je základním pravidlem mezní pravděpodobnosti na podmíněné pravděpodobnosti. Vyjadřuje celkovou pravděpodobnost výsledku, který lze realizovat několika odlišnými způsoby Události — Odtud název.

Prohlášení

Zákon celkové pravděpodobnosti je^[1] A teorém že uvádí, zda ${ displaystyle left {{B_ {n}: n = 1,2,3, ldots} right }}$ je konečný nebo počítatelně nekonečný rozdělit a ukázkový prostor (jinými slovy, soubor párově disjunktní Události jehož svaz je celý ukázkový prostor) a každou událost ${ displaystyle B_ {n}}$ je měřitelný, pak pro jakoukoli událost ${ displaystyle A}$ stejné pravděpodobnostní prostor:

{ displaystyle P (A) = součet _ {n} P (A cap B_ {n})}

nebo alternativně^[1]

{ displaystyle P (A) = součet _ {n} P (A mid B_ {n}) P (B_ {n}),}

kde, pro všechny ${ displaystyle n}$ pro který ${ displaystyle P (B_ {n}) = 0}$ tyto výrazy jsou ze součtu jednoduše vynechány, protože ${ displaystyle P (A mid B_ {n})}$ je konečný.

Součet lze interpretovat jako a vážený průměr a následně mezní pravděpodobnost, ${ displaystyle P (A)}$ , se někdy nazývá „průměrná pravděpodobnost“;^[2] „celková pravděpodobnost“ se někdy používá v méně formálních spisech.^[3]

Zákon celkové pravděpodobnosti lze stanovit i pro podmíněné pravděpodobnosti.

{ displaystyle P (A mid C) = součet _ {n} P (A mid C cap B_ {n}) P (B_ {n} mid C)}

Užívání ${ displaystyle B_ {n}}$ jak je uvedeno výše, a za předpokladu ${ displaystyle C}$ je událost nezávislý některého z ${ displaystyle B_ {n}}$ :

{ displaystyle P (A mid C) = součet _ {n} P (A mid C cap B_ {n}) P (B_ {n})}

Neformální formulace

Výše uvedený matematický výrok lze interpretovat takto: vzhledem k události ${ displaystyle A}$ , se známými podmíněnými pravděpodobnostmi danými některým z ${ displaystyle B_ {n}}$ události, každá se známou pravděpodobností sama, jaká je celková pravděpodobnost ${ displaystyle A}$ stane se? Odpověď na tuto otázku dává ${ displaystyle P (A)}$ .

Příklad

Předpokládejme, že dodávají dvě továrny žárovky do obchodu. Továrna XŽárovky fungují více než 5 000 hodin v 99% případů, zatímco továrna YŽárovky fungují déle než 5 000 hodin v 95% případů. Je známo, že továrna X dodává 60% z celkového počtu dostupných žárovek a Y dodává 40% z celkového počtu dostupných žárovek. Jaká je šance, že zakoupená žárovka bude fungovat déle než 5 000 hodin?

Při použití zákona o úplné pravděpodobnosti máme:

{ displaystyle { begin {zarovnáno} P (A) & = P (A mid B_ {X}) cdot P (B_ {X}) + P (A mid B_ {Y}) cdot P (B_ {Y}) [4pt] & = {99 nad 100} cdot {6 nad 10} + {95 nad 100} cdot {4 nad 10} = {{594 + 380} nad 1000 } = {974 přes 1000} end {zarovnáno}}}

kde

${ displaystyle P (B_ {X}) = {6 nad 10}}$ je pravděpodobnost, že zakoupená žárovka byla vyrobena v továrně X;
${ displaystyle P (B_ {Y}) = {4 nad 10}}$ je pravděpodobnost, že zakoupená žárovka byla vyrobena v továrně Y;
${ displaystyle P (A mid B_ {X}) = {99 přes 100}}$ je pravděpodobnost, že žárovka vyrobená společností X bude pracovat déle než 5 000 hodin;
${ displaystyle P (A mid B_ {Y}) = {95 přes 100}}$ je pravděpodobnost, že žárovka vyrobená společností Y bude pracovat déle než 5 000 hodin.

Každá zakoupená žárovka má tedy 97,4% šanci pracovat déle než 5 000 hodin.

Ostatní jména

Termín zákon celkové pravděpodobnosti se někdy rozumí zákon alternativ, což je zvláštní případ zákona o úplné pravděpodobnosti vztahující se na diskrétní náhodné proměnné.^{[Citace je zapotřebí ]} Jeden autor používá terminologii „Pravidla průměrných podmíněných pravděpodobností“,^[4] zatímco jiný jej v kontinuálním případě označuje jako „spojitý zákon alternativ“.^[5] Tento výsledek uvádějí Grimmett a Welsh^[6] jako věta o rozdělení, jméno, které také dávají příbuzným zákon úplného očekávání.

Viz také

Poznámky

^ ^A ^b Zwillinger, D., Kokoska, S. (2000) Standardní tabulky pravděpodobnosti a statistiky a vzorce a vzorce CRC, CRC Stiskněte. ISBN 1-58488-059-7 strana 31.
^ Paul E. Pfeiffer (1978). Pojmy teorie pravděpodobnosti. Publikace Courier Dover. 47–48. ISBN 978-0-486-63677-1.
^ Deborah Rumsey (2006). Pravděpodobnost pro figuríny. Pro figuríny. str. 58. ISBN 978-0-471-75141-0.
^ Jim Pitman (1993). Pravděpodobnost. Springer. str. 41. ISBN 0-387-97974-3.
^ Kenneth Baclawski (2008). Úvod do pravděpodobnosti s R.. CRC Press. str. 179. ISBN 978-1-4200-6521-3.
^ Pravděpodobnost: Úvodtím, že Geoffrey Grimmett a Dominic Welsh, Oxford Science Publications, 1986, Theorem 1B.

Reference

Úvod do pravděpodobnosti a statistiky Robert J. Beaver, Barbara M. Beaver, Thomson Brooks / Cole, 2005, strana 159.
Teorie statistiky, Mark J. Schervish, Springer, 1995.
Schaum's Outline of Probability, druhé vydání, John J. Schiller, Seymour Lipschutz, McGraw – Hill Professional, 2010, strana 89.
První kurz stochastických modelů, H. C. Tijms, John Wiley and Sons, 2003, strany 431–432.
Střední kurz pravděpodobnosti, Alan Gut, Springer, 1995, strany 5–6.

[ZK-1] A ^b Zwillinger, D., Kokoska, S. (2000) Standardní tabulky pravděpodobnosti a statistiky a vzorce a vzorce CRC, CRC Stiskněte. ISBN 1-58488-059-7 strana 31.

[Pfeiffer1978-2] Paul E. Pfeiffer (1978). Pojmy teorie pravděpodobnosti. Publikace Courier Dover. 47–48. ISBN 978-0-486-63677-1.

[Rumsey2006-3] Deborah Rumsey (2006). Pravděpodobnost pro figuríny. Pro figuríny. str. 58. ISBN 978-0-471-75141-0.

[Pitman1993-4] Jim Pitman (1993). Pravděpodobnost. Springer. str. 41. ISBN 0-387-97974-3.

[Baclawski2008-5] Kenneth Baclawski (2008). Úvod do pravděpodobnosti s R.. CRC Press. str. 179. ISBN 978-1-4200-6521-3.

[6] Pravděpodobnost: Úvodtím, že Geoffrey Grimmett a Dominic Welsh, Oxford Science Publications, 1986, Theorem 1B.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]