Zákon totální kovariance - Law of total covariance
v teorie pravděpodobnosti, zákon totální kovariance,[1] kovarianční rozkladný vzorecnebo podmíněný kovarianční vzorec uvádí, že pokud X, Y, a Z jsou náhodné proměnné na stejné pravděpodobnostní prostor a kovariance z X a Y je tedy konečný

Názvosloví v názvu tohoto článku odpovídá frázi zákon totální odchylky. Někteří autoři s pravděpodobností tomu říkají „podmíněná kovariance vzorec"[2] nebo použít jiné názvy.
(The podmíněné očekávané hodnoty E( X | Z ) a E ( Y | Z ) jsou náhodné proměnné, jejichž hodnoty závisí na hodnotě Z. Všimněte si, že podmíněná očekávaná hodnota X vzhledem k událost Z = z je funkce z. Pokud napíšeme E ( X | Z = z) = G(z) pak náhodná proměnná E ( X | Z ) je G(Z). Podobné komentáře platí pro podmíněnou kovarianci.)
Důkaz
Zákon totální kovariance lze prokázat pomocí zákon úplného očekávání: Za prvé,
![{ displaystyle operatorname {cov} (X, Y) = operatorname {E} [XY] - operatorname {E} [X] operatorname {E} [Y]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f1640f54ab44b3f8b7b3fd6ce9b44e47f6576700)
z jednoduché standardní identity na kovariancích. Poté aplikujeme zákon úplného očekávání podmíněním náhodné proměnné Z:
![{ displaystyle = operatorname {E} { big [} operatorname {E} [XY mid Z] { big]} - operatorname {E} { big [} operatorname {E} [X mid Z] { big]} operatorname {E} { big [} operatorname {E} [Y mid Z] { big]}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e73873e9bb5e80b4f254985371019560dde3459e)
Nyní přepíšeme termín uvnitř prvního očekávání pomocí definice kovariance:
![{ displaystyle = operatorname {E} ! { big [} operatorname {cov} (X, Y mid Z) + operatorname {E} [X mid Z] operatorname {E} [Y mid Z] { big]} - operatorname {E} { big [} operatorname {E} [X mid Z] { big]} operatorname {E} { big [} operatorname {E} [ Y mid Z] { big]}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/88000aa872d3c4aec4ed610180f7d8d2a2329308)
Protože očekávání součtu je součtem očekávání, můžeme přeskupit výrazy:
![{ displaystyle = operatorname {E} ! left [ operatorname {cov} (X, Y mid Z)] + operatorname {E} [ operatorname {E} [X mid Z] operatorname {E } [Y mid Z] right] - operatorname {E} [ operatorname {E} [X mid Z]] operatorname {E} [ operatorname {E} [Y mid Z]]}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f2e9f41eaf3f2aa8d658e3da9c379d7e6de26d26)
Nakonec poznáváme poslední dva pojmy jako kovarianci podmíněných očekávání E [X | Z] a E [Y | Z]:
![{ displaystyle = operatorname {E} { big [} operatorname {cov} (X, Y mid Z) { big]} + operatorname {cov} { big (} operatorname {E} [X mid Z], operatorname {E} [Y mid Z] { big)}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ad3010c7ce77176b93bc8b3cbf13c7c9b789843c)
Viz také
Poznámky a odkazy
- ^ Matthew R. Rudary, Na prediktivních lineárních Gaussových modelech, ProQuest, 2009, strana 121.
- ^ Sheldon M. Ross, První kurz pravděpodobnosti, šesté vydání, Prentice Hall, 2002, strana 392.
externí odkazy