Lagrangeova věta o reverzi - Lagrange reversion theorem

v matematika, Lagrangeova věta o reverzi dává série nebo formální mocenské řady expanze jisté implicitně definované funkce; skutečně skladeb s takovými funkcemi.

Nechat proti být funkcí X a y z hlediska jiné funkce F takhle

${ displaystyle v = x + yf (v)}$

Pak pro jakoukoli funkci G, pro dostatečně malé y:

${ displaystyle g (v) = g (x) + součet _ {k = 1} ^ { infty} { frac {y ^ {k}} {k!}} vlevo ({ frac { částečný } { částečné x}} pravé) ^ {k-1} levé (f (x) ^ {k} g '(x) pravé).}$

Li G je identita, tím se stává

${ displaystyle v = x + součet _ {k = 1} ^ { infty} { frac {y ^ {k}} {k!}} vlevo ({ frac { částečné} { částečné x}} right) ^ {k-1} left (f (x) ^ {k} right).}$

V roce 1770 Joseph Louis Lagrange (1736–1813) publikoval své řešení mocenských řad implicitní rovnice pro proti zmíněno výše. Jeho řešení však používalo těžkopádné rozšiřování logaritmů.^[1][2] V roce 1780 Pierre-Simon Laplace (1749–1827) publikoval jednodušší důkaz věty, který byl založen na vztazích mezi parciálními derivacemi s ohledem na proměnnou x a parametr y.^[3][4][5] Charles Hermite (1822–1901) představil nejpřímější důkaz věty pomocí integrace kontury.^[6][7][8]

Lagrangeova reverzní věta se používá k získání numerických řešení Keplerova rovnice.

Jednoduchý důkaz

Začínáme psaním:

${ Displaystyle g (v) = int delta (yf (z) -z + x) g (z) (1-yf '(z)) , dz}$

Psaní delta-funkce jako integrál máme:

${ displaystyle { begin {zarovnáno} g (v) & = iint exp (ik [yf (z) -z + x]) g (z) (1-yf '(z)) , { frac {dk} {2 pi}} , dz [10pt] & = sum _ {n = 0} ^ { infty} iint { frac {(ikyf (z)) ^ {n}} { n!}} g (z) (1-yf '(z)) e ^ {ik (xz)} , { frac {dk} {2 pi}} , dz [10 bodů] & = součet _ {n = 0} ^ { infty} vlevo ({ frac { částečné} { částečné x}} vpravo) ^ {n} iint { frac {(yf (z)) ^ {n }} {n!}} g (z) (1-yf '(z)) e ^ {ik (xz)} , { frac {dk} {2 pi}} , dz end {zarovnáno} }}$

Integrál skončil k pak dává ${ displaystyle delta (x-z)}$ a máme:

${ displaystyle { begin {zarovnáno} g (v) & = součet _ {n = 0} ^ { infty} vlevo ({ frac { částečné} { částečné x}} vpravo) ^ {n } left [{ frac {(yf (x)) ^ {n}} {n!}} g (x) (1-yf '(x)) right] [10pt] & = sum _ {n = 0} ^ { infty} left ({ frac { partial} { partial x}} right) ^ {n} left [{ frac {y ^ {n} f (x) ^ {n} g (x)} {n!}} - { frac {y ^ {n + 1}} {(n + 1)!}} left {(g (x) f (x) ^ { n + 1}) '- g' (x) f (x) ^ {n + 1} right } right] end {zarovnáno}}}$

Přeskupení částky a zrušení pak dává výsledek:

${ displaystyle g (v) = g (x) + součet _ {k = 1} ^ { infty} { frac {y ^ {k}} {k!}} vlevo ({ frac { částečné } { částečné x}} pravé) ^ {k-1} levé (f (x) ^ {k} g '(x) pravé)}$

Reference

externí odkazy

• Lagrangeova inverze [Reverzní] věta na MathWorld
• Cornish – Fisherova expanze, aplikace věty
• Článek na rovnice času obsahuje aplikaci na Keplerovu rovnici.