Identita Lagranges (problém hraniční hodnoty) - Lagranges identity (boundary value problem) - Wikipedia

Ve studii o obyčejné diferenciální rovnice a jejich přidružené problémy s hraniční hodnotou, Lagrangeova identita, pojmenoval podle Joseph Louis Lagrange, uvádí hraniční podmínky vyplývající z integrace po částech self-adjoint lineární operátor diferenciálu. Lagrangeova identita je zásadní Teorie Sturm – Liouville. Ve více než jedné nezávislé proměnné je Lagrangeova identita zobecněna na Greenova druhá identita.

Prohlášení

Obecně řečeno, Lagrangeova identita pro jakoukoli dvojici funkcí u a proti v funkční prostor C² (tj. dvakrát rozlišitelné) v n rozměry jsou:^[1]

${ displaystyle vL [u] -uL ^ {*} [v] = nabla cdot { boldsymbol {M}},}$

kde:

${ displaystyle M_ {i} = součet _ {j = 1} ^ {n} a_ {ij} vlevo (v { frac { částečné u} { částečné x_ {j}}} - u { frac { částečné v} { částečné x_ {j}}} pravé) + uv levé (b_ {i} - součet _ {j = 1} ^ {n} { frac { částečné a_ {ij}} { částečné x_ {j}}} vpravo),}$

a

${ displaystyle nabla cdot { boldsymbol {M}} = součet _ {i = 1} ^ {n} { frac { částečný} { částečný x_ {i}}} M_ {i},}$

Operátor L a jeho operátor adjoint L^* jsou dány:

${ displaystyle L [u] = součet _ {i, j = 1} ^ {n} a_ {i, j} { frac { částečné ^ {2} u} { částečné x_ {i} částečné x_ {j}}} + sum _ {i = 1} ^ {n} b_ {i} { frac { částečné u} { částečné x_ {i}}} + cu}$

a

${ displaystyle L ^ {*} [v] = součet _ {i, j = 1} ^ {n} { frac { částečné ^ {2} (a_ {i, j} v)} { částečné x_ {i} částečné x_ {j}}} - součet _ {i = 1} ^ {n} { frac { částečné (b_ {i} v)} { částečné x_ {i}}} + cv .}$

Pokud je Lagrangeova identita integrována přes ohraničenou oblast, pak věta o divergenci lze použít k vytvoření Greenova druhá identita ve formě:

${ displaystyle int _ { Omega} vL [u] d Omega = int _ { Omega} uL ^ {*} [v] d Omega + int _ {S} { boldsymbol {M cdot n}} , dS,}$

kde S je povrch ohraničující objem Ω a n je jednotka vně kolmá k povrchu S.

Obyčejné diferenciální rovnice

Jakákoli druhá objednávka obyčejná diferenciální rovnice formuláře:

${ displaystyle a (x) { frac {d ^ {2} y} {dx ^ {2}}} + b (x) { frac {dy} {dx}} + c (x) y + lambda w (x) y = 0,}$

lze zadat ve tvaru:^[2]

${ displaystyle { frac {d} {dx}} levý (p (x) { frac {dy} {dx}} pravý) + levý (q (x) + lambda w (x) pravý ) y (x) = 0.}$

Tato obecná forma motivuje k zavedení Provozovatel Sturm – Liouville L, definovaný jako operace nad funkcí F takové, že:

${ displaystyle Lf = { frac {d} {dx}} vlevo (p (x) { frac {df} {dx}} vpravo) + q (x) f.}$

Je možné ukázat, že pro všechny u a proti pro které existují různé deriváty, Lagrangeova identita pro běžné diferenciální rovnice platí:^[2]

${ displaystyle uLv-vLu = - { frac {d} {dx}} vlevo [p (x) vlevo (v { frac {du} {dx}} - u { frac {dv} {dx} }dobře dobře].}$

U běžných diferenciálních rovnic definovaných v intervalu [0, 1] lze Lagrangeovu identitu integrovat a získat tak integrální tvar (známý také jako Greenův vzorec):^[3][4][5][6]

${ displaystyle int _ {0} ^ {1} dx (uLv-vLu) = left [p (x) left (u { frac {dv} {dx}} - v { frac {du } {dx}} doprava) doprava] _ {0} ^ {1},}$

kde ${ displaystyle p = P (x)}$, ${ displaystyle q = Q (x)}$, ${ displaystyle u = U (x)}$ a ${ displaystyle v = V (x)}$ jsou funkce ${ displaystyle x}$. ${ displaystyle u}$ a ${ displaystyle v}$ mít spojité druhé deriváty na interval ${ displaystyle [0,1]}$.

Důkaz formy pro obyčejné diferenciální rovnice

My máme:

${ displaystyle uLv = u left [{ frac {d} {dx}} left (p (x) { frac {dv} {dx}} right) + q (x) v right],}$

a

${ displaystyle vLu = v left [{ frac {d} {dx}} left (p (x) { frac {du} {dx}} right) + q (x) u right].}$

Odečtení:

${ displaystyle uLv-vLu = u { frac {d} {dx}} vlevo (p (x) { frac {dv} {dx}} vpravo) -v { frac {d} {dx}} left (p (x) { frac {du} {dx}} right).}$

Násobení se znásobilo u a proti lze přesunout uvnitř diferenciace, protože extra diferencované termíny v u a proti jsou stejné ve dvou odečtených termínech a jednoduše se navzájem ruší. Tím pádem,

${ displaystyle uLv-vLu = { frac {d} {dx}} vlevo (p (x) u { frac {dv} {dx}} vpravo) - { frac {d} {dx}} left (vp (x) { frac {du} {dx}} right),}$

${ displaystyle = { frac {d} {dx}} vlevo [p (x) doleva (u { frac {dv} {dx}} - v { frac {du} {dx}} doprava) že jo],}$

což je Lagrangeova identita. Integrace od nuly do jedné:

${ displaystyle int _ {0} ^ {1} dx (uLv-vLu) = left [p (x) left (u { frac {dv} {dx}} - v { frac {du } {dx}} doprava) doprava] _ {0} ^ {1},}$

jak se mělo ukázat.

Reference