Kostantův polynom - Kostant polynomial

v matematika, Kostantovy polynomy, pojmenoval podle Bertram Kostant, poskytnout výslovný základ kruh polynomů přes kruh polynomů neměnných pod skupina konečné reflexe a kořenový systém.

Pozadí

Pokud reflexní skupina Ž odpovídá Weylova skupina kompaktu polojediná skupina K. s maximální torus T, potom Kostantovy polynomy popisují strukturu de Rhamova kohomologie generalizovaného příznak potrubí K./T, také izomorfní s G/B kde G je komplexifikace z K. a B je odpovídající Podskupina Borel. Armand Borel ukázal, že jeho cohomologický prsten je izomorfní s kvocientem kruhu polynomů pomocí ideál generované neměnnými homogenními polynomy kladného stupně. Tento prsten už byl považován za Claude Chevalley při zakládání základů kohomologie kompaktní Lieovy skupiny a jejich homogenní prostory s André Weil, Jean-Louis Koszul a Henri Cartan; existenci takového základu použil Chevalley k prokázání toho, že prsten invariants byl sám polynomiálním prstencem. Podrobný popis Kostantových polynomů poskytl Bernstein, Gelfand a Gelfand (1973) a nezávisle Demazure (1973) jako nástroj k pochopení Schubertův počet vlajkového potrubí. Kostantovy polynomy souvisejí s Schubertovy polynomy definován kombinatoricky Lascoux & Schützenberger (1982) chyba harvtxt: žádný cíl: CITEREFLascouxSchützenberger1982 (Pomoc) pro klasické vlajky potrubí, když G = SL (n,C). Jejich struktura se řídí operátory rozdílu spojené s odpovídajícím kořenový systém.

Steinberg (1975) definoval analogický základ, když je polynomiální kruh nahrazen kruh exponenciálů z váhová mřížka. Li K. je jednoduše připojeno, tento prsten lze identifikovat pomocí reprezentační prsten R(T) a Ž-invariantní podřetězec s R(K.). Steinbergův základ byl opět motivován problémem na topologii homogenních prostorů; základem je popis T-ekvivariační K-teorie z K./T.

Definice

Nechť Φ být a kořenový systém v konečném trojrozměrném skutečném vnitřním prostoru produktu PROTI s Weylova skupina Ž. Nechť Φ⁺ být množina kladných kořenů a Δ odpovídající množina jednoduchých kořenů. Pokud α je kořen, pak s_α označuje odpovídající operátor odrazu. Kořeny jsou považovány za lineární polynomy na PROTI pomocí vnitřního produktu α (proti) = (α,proti). Volba Δ vede k a Bruhatův řád na Weylově skupině určené způsoby zápisu prvků minimálně jako produktů jednoduchého kořenového odrazu. Minimální délka pro elenet s je označen${displaystyle ell (s)}$. Vyberte prvek proti v PROTI takové, že α (proti)> 0 pro každý pozitivní kořen.

Pokud α_i je jednoduchý root s operátorem reflexe s_i

${displaystyle s_ {i} x = x-2 {(x, alpha _ {i}) nad (alpha _ {i}, alpha _ {i})} alpha _ {i},}$

pak odpovídající operátor děleného rozdílu je definováno

${displaystyle delta _ {i} f = {f-fcirc s_ {i} přes alfa _ {i}}.}$

Li ${displaystyle ell (s) = m}$ a s má snížený výraz

${displaystyle s = s_ {i_ {1}} cdots s_ {i_ {m}},}$

pak

${displaystyle delta _ {s} = delta _ {i_ {1}} cdots delta _ {i_ {m}}}$

je nezávislý na redukovaném výrazu. navíc

${displaystyle displaystyle delta _ {s} delta _ {t} = delta _ {st}}$

-li ${displaystyle ell (st) = ell (s) + ell (t)}$ a 0 jinak.

Li w₀ je nejdelší prvek z Ž, prvek největší délky nebo ekvivalentně prvek odesílající Φ⁺ až − Φ⁺, pak

${displaystyle delta _ {w_ {0}} f = {sum _ {sin W} {m {det}}, s, fcirc s over prod _ {alpha> 0} alpha}.}$

Obecněji

${displaystyle delta _ {s} f = {{m {det}}, s, fcirc s + součet _ {t 0,, s ^ ​​{ -1} alfa <0} alfa}}$

pro některé konstanty A_s,t.

Soubor

${displaystyle displaystyle d = | W | ^ {- 1} prod _ {alpha> 0} alfa.}$

a

${displaystyle displaystyle P_ {s} = delta _ {s ^ {- 1} w_ {0}} d.}$

Pak P_s je homogenní polynom stupně ${displaystyle ell (s)}$.

Tyto polynomy jsou Kostantovy polynomy.

Vlastnosti

Teorém. Kostantovy polynomy tvoří volný základ prstence polynomů nad polynomy invariantními k W.

Ve skutečnosti matice

${displaystyle displaystyle N_ {st} = delta _ {s} (P_ {t})}$

je unitriangular pro jakoukoli celkovou objednávku takovou s ≥ t naznačuje ${displaystyle ell (s) geq ell (t)}$.

Proto

${displaystyle displaystyle {m {det}}, N = 1.}$

Tedy pokud

${displaystyle displaystyle f = součet _ {s} a_ {s} P_ {s}}$

s A_s neměnný pod Ž, pak

${displaystyle displaystyle delta _ {t} (f) = součet _ {s} delta _ {t} (P_ {s}) a_ {s}.}$

Tím pádem

${displaystyle displaystyle a_ {s} = součet _ {t} M_ {s, t} delta _ {t} (f),}$

kde

${displaystyle displaystyle M = N ^ {- 1}}$

další unitriangular matrix s polynomiálními záznamy. To lze přímo zkontrolovat A_s je neměnný pod Ž.

Ve skutečnosti δ_i uspokojuje derivace vlastnictví

${displaystyle delta _ {i} (fg) = delta _ {i} (f) g + (fcirc s_ {i}) delta _ {i} (g).}$

Proto

${displaystyle delta _ {i} delta _ {s} (f) = součet _ {t} delta _ {i} (delta _ {s} (P_ {t})) a_ {t}) = součet _ {t} (delta _ {s} (P_ {t}) circ s_ {i}) delta _ {i} (a_ {t}) + součet _ {t} delta _ {i} delta _ {s} (P_ {t} )na}.}$

Od té doby

${displaystyle delta _ {i} delta _ {s} = delta _ {s_ {i} s}}$

nebo 0, z toho vyplývá

${displaystyle sum _ {t} delta _ {s} (P_ {t}), delta _ {i} (a_ {t}) circle s_ {i} = 0}$

tak, že díky invertibilitě N

${displaystyle displaystyle delta _ {i} (a_ {t}) = 0}$

pro všechny i, tj. A_t je neměnný pod Ž.

Steinbergův základ

Jak je uvedeno výše, buď Φ kořenový systém ve skutečném vnitřním prostoru produktu PROTIa Φ⁺ podmnožina pozitivních kořenů. Z těchto dat získáme podmnožinu Δ = {α₁, α₂, ..., α_n} jednoduchých kořenů, kořenů

${displaystyle displaystyle alpha _ {i} ^ {vee} = 2 (alpha _ {i}, alpha _ {i}) ^ {- 1} alpha _ {i},}$

a základní váhy λ₁, λ₂, ..., λ_n jako dvojí základ kořenů.

Pro každý prvek s v Ž, nechť Δ_s být podmnožinou Δ skládající se z uspokojujících jednoduchých kořenů s⁻¹α <0 a řečeno

${displaystyle lambda _ {s} = s ^ {- 1} součet _ {alpha _ {i} v Delta _ {s}} lambda _ {i},}$

kde se součet počítá v mřížce hmotnosti P.

Sada lineárních kombinací exponenciálů E^μ s celočíselnými koeficienty pro μ in P se stává kruhem Z isomorphic to the group algebra of P, nebo ekvivalentně k reprezentačnímu kruhuR(T) z T, kde T je maximální torus v K., jednoduše spojená, propojená kompaktní polojednoduchá Lieova skupina s kořenovým systémem Φ. Li Ž je Weylova skupina Φ, pak reprezentační kruh R(K.) z K. lze identifikovat pomocí R(T)^Ž.

Steinbergova věta. Exponenciály λ_s (s v Ž) tvoří volný základ pro kruh exponenciálů nad podřetězcem Ž-invariantní exponenciály.

Nechť ρ označuje poloviční součet kladných kořenů a A označují operátora antisymetrie

${displaystyle A (psi) = součet _ {sin W} (- 1) ^ {ell (s)} scdot psi.}$

Pozitivní kořeny β s sβ pozitivní lze považovat za soubor pozitivních kořenů pro kořenový systém v podprostoru PROTI; kořeny jsou ty kolmé k s.λ_s. Odpovídající Weylova skupina se rovná stabilizátoru λ_s v Ž. Je generován jednoduchými odrazy s_j pro který sα_j je pozitivní kořen.

Nechat M a N být maticemi

${displaystyle M_ {ts} = t (lambda _ {s}) ,,, N_ {st} = (- 1) ^ {ell (t)} cdot t (psi _ {s}),}$

kde ψ_s je dána váhou s⁻¹ρ - λ_s. Pak matice

${displaystyle B_ {s, s ^ ​​{prime}} = Omega ^ {- 1} (NM) _ {s, s ^ ​​{prime}} = {A (psi _ {s} lambda _ {s ^ {prime}} ) přes Omegu}}$

je trojúhelníkový vzhledem k jakékoli celkové objednávce dne Ž takhle s ≥ t naznačuje ${displaystyle ell (s) geq ell (t)}$. Steinberg dokázal, že záznamy z B jsou Ž-invariantní exponenciální součty. Navíc jsou jeho diagonální položky všechny rovny 1, takže má determinant 1. Proto je jeho inverzní C má stejnou formu. Definovat

${displaystyle varphi _ {s} = součet C_ {s, t} psi _ {t}.}$

Pokud je χ libovolný exponenciální součet, pak z toho vyplývá

${displaystyle chi = sum _ {sin W} a_ {s} lambda _ {s}}$

s A_s the Ž-invariantní exponenciální součet

${displaystyle a_ {s} = {A (varphi _ {s} chi) nad Omegou}.}$

Ve skutečnosti se jedná o jedinečné řešení systému rovnic

${displaystyle tchi ​​= sum _ {sin W} t (lambda _ {s}) ,, a_ {s} = součet _ {s} M_ {t, s} a_ {s}.}$

Reference

• Bernstein, I.N .; Gelfand, I. M.; Gelfand, S. I. (1973), „Schubertovy buňky a kohomologie prostorů G / P“, Ruská matematika. Průzkumy, 28 (3): 1–26, doi:10.1070 / RM1973v028n03ABEH001557
• Billey, Sara C. (1999), „Kostantovy polynomy a kohomologický kruh pro G / B.“, Vévoda Math. J., 96: 205–224, CiteSeerX  10.1.1.11.8630, doi:10.1215 / S0012-7094-99-09606-0
• Bourbaki, Nicolasi (1981), Groupes et algèbres de Lie, Chapitres 4, 5 a 6, Masson, ISBN  978-2-225-76076-1
• Cartan, Henri (1950), „Notions d'algèbre différentielle; application aux groupes de Lie et aux variétés où opère un groupe de Lie“, Colloque de Topologie (espaces Fibrés), Bruxelles: 15–27
• Cartan, Henri (1950), „La transgression dans un groupe de Lie et dans un espace fibré principal“, Colloque de Topologie (espaces Fibrés), Bruxelles: 57–71
• Chevalley, Claude (1955), "Invarianty konečných skupin generované odrazy", Amer. J. Math., 77 (4): 778–782, doi:10.2307/2372597, JSTOR  2372597
• Demazure, Michel (1973), „Invariants symétriques entiers des groupes de Weyl et torsion“, Vymyslet. Matematika., 21 (4): 287–301, doi:10.1007 / BF01418790
• Greub, Werner; Halperin, Stephen; Vanstone, Ray (1976), Spojení, zakřivení a kohomologie. Svazek III: Kohomologie hlavních svazků a homogenních prostorů, Pure and Applied Mathematics, 47-III, Academic Press
• Humphreys, James E. (1994), Úvod do Lie Algebry a teorie reprezentace (2. vyd.), Springer, ISBN  978-0-387-90053-7
• Kostant, Bertram (1963), "Lie algebra cohomology and generalized Schubert cells", Ann. matematiky., 77 (1): 72–144, doi:10.2307/1970202, JSTOR  1970202
• Kostant, Bertram (1963), „Reprezentace Lieových skupin na polynomiálních prstencích“, Amer. J. Math., 85 (3): 327–404, doi:10.2307/2373130, JSTOR  2373130
• Kostant, Bertram; Kumar, Shrawan (1986), „Nulový Heckův prsten a kohomologie G / P pro skupinu Kac – Moody G.“, Proc. Natl. Acad. Sci. USA, 83 (6): 1543–1545, doi:10.1073 / pnas.83.6.1543, PMC  323118, PMID  16593661
• Alain, Lascoux; Schützenberger, Marcel-Paul (1982), „Polynômes de Schubert [Schubert polynomials]“, Comptes Rendus de l'Académie des Sciences, Série I, 294: 447–450
• McLeod, John (1979), Kunnethův vzorec v ekvivariantní teorii K., Poznámky k přednášce v matematice., 741, Springer, str. 316–333
• Steinberg, Robert (1975), „Na Pittiovu větu“, Topologie, 14 (2): 173–177, doi:10.1016/0040-9383(75)90025-7