Schubertův polynom - Schubert polynomial - Wikipedia

V matematice Schubertovy polynomy jsou zobecnění Schurovy polynomy které představují cohomologické třídy Schubertovy cykly v označit odrůdy. Byli představeni Lascoux & Schützenberger (1982) a jsou pojmenovány po Hermann Schubert.

Pozadí

Lascoux (1995) popsal historii Schubertových polynomů.

Schubertovy polynomy ${ displaystyle { mathfrak {S}} _ {w}}$ jsou polynomy v proměnných ${ displaystyle x_ {1}, x_ {2}, ldots}$ v závislosti na prvku ${ displaystyle w}$ nekonečné symetrické skupiny ${ displaystyle S _ { infty}}$ všech obměn ${ displaystyle mathbb {N}}$ opravování všech prvků kromě konečného počtu. Tvoří základ polynomiálního kruhu ${ displaystyle mathbb {Z} [x_ {1}, x_ {2}, ldots]}$ v nekonečně mnoha proměnných.

Komhomologie vlajkového potrubí ${ displaystyle { text {Fl}} (m)}$ je ${ displaystyle mathbb {Z} [x_ {1}, x_ {2}, ldots, x_ {m}] / I,}$ kde ${ displaystyle I}$ je ideál generovaný homogenními symetrickými funkcemi kladného stupně. Schubertův polynom ${ displaystyle { mathfrak {S}} _ {w}}$ je jedinečný homogenní polynom stupně ${ displaystyle ell (w)}$ představující Schubertův cyklus ${ displaystyle w}$ v kohomologii příznak potrubí ${ displaystyle { text {Fl}} (m)}$ pro všechny dostatečně velké ${ displaystyle m.}$^{[Citace je zapotřebí ]}

Vlastnosti

• Li ${ displaystyle w_ {0}}$ je permutace nejdelší délky v ${ displaystyle S_ {n}}$ pak ${ displaystyle { mathfrak {S}} _ {w_ {0}} = x_ {1} ^ {n-1} x_ {2} ^ {n-2} cdots x_ {n-1} ^ {1} }$

• ${ displaystyle částečné _ {i} { mathfrak {S}} _ {w} = { mathfrak {S}} _ {ws_ {i}}}$ -li ${ displaystyle w (i)> w (i + 1)}$, kde ${ displaystyle s_ {i}}$ je provedení ${ displaystyle (i, i + 1)}$ a kde ${ displaystyle částečné _ {i}}$ je dělený operátor rozdílu ${ displaystyle P}$ na ${ displaystyle (P-s_ {i} P) / (x_ {i} -x_ {i + 1})}$.

Schubertovy polynomy lze vypočítat rekurzivně z těchto dvou vlastností. Z toho zejména vyplývá, že ${ displaystyle { mathfrak {S}} _ {w} = částečné _ {w ^ {- 1} w_ {0}} x_ {1} ^ {n-1} x_ {2} ^ {n-2} cdots x_ {n-1} ^ {1}}$.

Další vlastnosti jsou

• ${ displaystyle { mathfrak {S}} _ {id} = 1}$

• Li ${ displaystyle s_ {i}}$ je provedení ${ displaystyle (i, i + 1)}$, pak ${ displaystyle { mathfrak {S}} _ {s_ {i}} = x_ {1} + cdots + x_ {i}}$.

• Li ${ displaystyle w (i)$ pro všechny ${ Displaystyle i neq r}$, pak ${ displaystyle { mathfrak {S}} _ {w}}$ je Schurův polynom ${ displaystyle s _ { lambda} (x_ {1}, ldots, x_ {r})}$ kde ${ displaystyle lambda}$ je oddíl ${ displaystyle (w (r) -r, ldots, w (2) -2, w (1) -1)}$. Zejména všechny Schurovy polynomy (konečného počtu proměnných) jsou Schubertovy polynomy.

• Schubertovy polynomy mají kladné koeficienty. Bylo navrženo domněnkové pravidlo pro jejich koeficienty Richard P. Stanley a prokázáno ve dvou dokumentech, jeden autor Sergej Fomin a Stanley a jeden po druhém Sara Billey, William Jockusch a Stanley.

• Schubertovy polynomy lze považovat za generující funkci nad určitými kombinatorickými objekty zvanými trubkové sny nebo rc-grafy. Ty jsou v bijection s zmenšené Koganovy tváře, (představené v disertační práci Michaila Kogana), které jsou zvláštními tvářemi polytopu Gelfand-Tsetlin.

Jako příklad

${ displaystyle { mathfrak {S}} _ {24531} (x) = x_ {1} x_ {3} ^ {2} x_ {4} x_ {2} ^ {2} + x_ {1} ^ {2 } x_ {3} x_ {4} x_ {2} ^ {2} + x_ {1} ^ {2} x_ {3} ^ {2} x_ {4} x_ {2}.}$

Konstanty multiplikativní struktury

Protože Schubertovy polynomy tvoří základ, existují jedinečné koeficienty ${ displaystyle c _ { beta gamma} ^ { alpha}}$ takhle

${ displaystyle { mathfrak {S}} _ { beta} { mathfrak {S}} _ { gamma} = sum _ { alpha} c _ { beta gamma} ^ { alpha} { mathfrak {S}} _ { alpha}.}$

Lze je chápat jako zobecnění koeficientů Littlewood-Richardson popsaných Vláda Littlewood – Richardson Z reprezentačních teoretických důvodů^{[Citace je zapotřebí ]}, tyto koeficienty jsou nezáporná celá čísla a je to vynikající problém v teorie reprezentace a kombinatorika dát kombinatorické pravidlo pro tato čísla.

Dvojité Schubertovy polynomy

Zdvojnásobte Schubertovy polynomy ${ displaystyle { mathfrak {S}} _ {w} (x_ {1}, x_ {2}, ldots, y_ {1}, y_ {2}, ldots)}$ jsou polynomy ve dvou nekonečných sadách proměnných, parametrizovaných prvkem w nekonečné symetrické skupiny, která se stane obvyklými Schubertovými polynomy, když jsou všechny proměnné ${ displaystyle y_ {i}}$ jsou ${ displaystyle 0}$.

Dvojitý Schubertův polynom ${ displaystyle { mathfrak {S}} _ {w} (x_ {1}, x_ {2}, ldots, y_ {1}, y_ {2}, ldots)}$ jsou charakterizovány vlastnostmi

• ${ displaystyle { mathfrak {S}} _ {w} (x_ {1}, x_ {2}, ldots, y_ {1}, y_ {2}, ldots) = prod limity _ {i + j leq n} (x_ {i} -y_ {j})}$ když ${ displaystyle w}$ je permutace zapnuta ${ displaystyle 1, ldots, n}$ nejdelší délky.

• ${ displaystyle částečné _ {i} { mathfrak {S}} _ {w} = { mathfrak {S}} _ {ws_ {i}}}$ -li ${ displaystyle w (i)> w (i + 1)}$.

Dvojité Schubertovy polynomy lze také definovat jako

${ displaystyle { mathfrak {S}} _ {w} (x, y) = součet _ {w = v ^ {- 1} u { text {a}} ell (w) = ell (u ) + ell (v)} { mathfrak {S}} _ {u} (x) { mathfrak {S}} _ {v} (- y)}$.

Kvantové Schubertovy polynomy

Fomin, Gelfand a Postnikov (1997) představil kvantové Schubertovy polynomy, které mají stejný vztah k (malá) kvantová kohomologie vlajkových potrubí, které mají běžné Schubertovy polynomy k běžné kohomologii.

Univerzální Schubertovy polynomy

Fulton (1999) představil univerzální Schubertovy polynomy, které zobecňují klasické a kvantové Schubertovy polynomy. Popsal také univerzální dvojité Schubertovy polynomy zobecňující dvojité Schubertovy polynomy.

Viz také

• Stanleyova symetrická funkce
• Kostantův polynom
• Monkův vzorec dává součin lineárního Schubertova polynomu a Schubertova polynomu.
• nulová Coxeterova algebra

Reference

• Bernstein, I.N.; Gelfand, I. M.; Gelfand, S. I. (1973), „Schubertovy buňky a kohomologie prostorů G / P“, Ruská matematika. Průzkumy, 28: 1–26, Bibcode:1973RuMaS..28 .... 1B, doi:10.1070 / RM1973v028n03ABEH001557
• Fomin, Sergey; Gelfand, Sergei; Postnikov, Alexander (1997), "Kvantové Schubertovy polynomy", Journal of the American Mathematical Society, 10 (3): 565–596, doi:10.1090 / S0894-0347-97-00237-3, ISSN  0894-0347, PAN  1431829
• Fulton, William (1992), „Flags, Schubert polynomials, degeneracy loci, and determinantal formulas“, Duke Mathematical Journal, 65 (3): 381–420, doi:10.1215 / S0012-7094-92-06516-1, ISSN  0012-7094, PAN  1154177
• Fulton, William (1997), Mladé obrazy, London Mathematical Society Student Texts, 35, Cambridge University Press, ISBN  978-0-521-56144-0, PAN  1464693
• Fulton, William (1999), "Universal Schubert polynomials", Duke Mathematical Journal, 96 (3): 575–594, arXiv:alg-geom / 9702012, doi:10.1215 / S0012-7094-99-09618-7, ISSN  0012-7094, PAN  1671215
• Lascoux, Alain (1995), „Polynômes de Schubert: une accche historique“, Diskrétní matematika, 139 (1): 303–317, doi:10.1016 / 0012-365X (95) 93984-D, ISSN  0012-365X, PAN  1336845
• Lascoux, Alain; Schützenberger, Marcel-Paul (1982), „Polynômes de Schubert“, Comptes Rendus de l'Académie des Sciences, Série I, 294 (13): 447–450, ISSN  0249-6291, PAN  0660739
• Lascoux, Alain; Schützenberger, Marcel-Paul (1985), „Schubertovy polynomy a pravidlo Littlewood-Richardson“, Dopisy z matematické fyziky. Časopis pro rychlé šíření krátkých příspěvků v oblasti matematické fyziky, 10 (2): 111–124, Bibcode:1985LMaPh..10..111L, doi:10.1007 / BF00398147, ISSN  0377-9017, PAN  0815233
• Macdonald, I. G. (1991), „Schubertovy polynomy“, v Keedwell, A. D. (ed.), Průzkumy v kombinatorice, 1991 (Guildford, 1991), London Math. Soc. Přednáška Ser., 166, Cambridge University Press, str. 73–99, ISBN  978-0-521-40766-3, PAN  1161461
• Macdonald, I.G. (1991b), Poznámky k Schubertovým polynomům, Publications du Laboratoire de combineatoire et d'informatique mathématique, 6„Laboratoire de combineatoire et d'informatique mathématique (LACIM), Université du Québec a Montréal, ISBN  978-2-89276-086-6
• Manivel, Laurent (2001) [1998], Symetrické funkce, Schubertovy polynomy a lokusy degenerace, Texty a monografie SMF / AMS, 6„Providence, R.I .: Americká matematická společnost, ISBN  978-0-8218-2154-1, PAN  1852463
• Sottile, Frank (2001) [1994], "Schubertův polynom", Encyclopedia of Mathematics, Stiskněte EMS