Jacobi operátor - Jacobi operator - Wikipedia

A Jacobi operátor, také známý jako Jacobiho matice, je symetrický lineární operátor jednající na sekvence který je dán nekonečnem tridiagonální matice. To se běžně používá k určení systémů ortonormální polynomy přes konečný, pozitivní Borelův rozměr. Tento operátor je pojmenován po Carl Gustav Jacob Jacobi.

Název je odvozen od věty Jacobiho z roku 1848, která uvádí, že každý symetrická matice přes hlavní ideální doména je shodný s tridiagonální maticí.

Samoadjungující operátoři Jacobi

Nejdůležitějším případem je případ samoobslužných operátorů Jacobi působících na Hilbertův prostor čtvercových sumarizovatelných sekvencí přes kladná celá čísla ${ displaystyle ell ^ {2} ( mathbb {N})}$. V tomto případě je to dáno

${ displaystyle Jf_ {0} = a_ {0} f_ {1} + b_ {0} f_ {0}, quad Jf_ {n} = a_ {n} f_ {n + 1} + b_ {n} f_ { n} + a_ {n-1} f_ {n-1}, quad n> 0,}$

kde se předpokládá, že koeficienty splňují

${ displaystyle a_ {n}> 0, quad b_ {n} in mathbb {R}.}$

Provozovatel bude omezen právě tehdy, pokud jsou omezeny koeficienty.

Existuje úzká souvislost s teorií ortogonální polynomy. Ve skutečnosti řešení ${ displaystyle p_ {n} (x)}$ z relace opakování

${ displaystyle J , p_ {n} (x) = x , p_ {n} (x), qquad p_ {0} (x) = 1 { text {and}} p _ {- 1} (x ) = 0,}$

je polynom stupně n a tyto polynomy jsou ortonormální s respektem k spektrální míra odpovídající prvnímu základnímu vektoru ${ displaystyle delta _ {1, n}}$.

Tato relace opakování je také běžně psána jako

${ displaystyle xp_ {n} (x) = a_ {n + 1} p_ {n + 1} (x) + b_ {n} p_ {n} (x) + a_ {n} p_ {n-1} ( X)}$

Aplikace

Vzniká v mnoha oblastech matematiky a fyziky. Pouzdro A(n) = 1 je známý jako diskrétní jednorozměrný Provozovatel Schrödinger. Vzniká také v:

• The Lax pár z Toda mříž.
• Třídobý vztah opakování ortogonální polynomy, kolmé nad kladným a konečným Borelův rozměr.
• Algoritmy navržené pro výpočet Gaussova kvadraturní pravidla, odvozené ze systémů ortogonálních polynomů.^[1]

Zobecnění

Když člověk uvažuje Bergmanův prostor, jmenovitě prostor čtvercově integrovatelný holomorfní funkce nad nějakou doménou pak můžeme za těchto okolností dát tomuto prostoru základ ortogonálních polynomů, Bergmanovy polynomy. V tomto případě je analogem tridiagonálního Jacobiho operátoru a Operátor Hessenberg - nekonečně-dimenzionální Hessenbergova matice. Systém ortogonálních polynomů je dán vztahem

${ displaystyle zp_ {n} (z) = součet _ {k = 0} ^ {n + 1} D_ {kn} p_ {k} (z)}$

a ${ displaystyle p_ {0} (z) = 1}$. Tady, D je Hessenbergův operátor, který zobecňuje tridiagonální Jacobiho operátor J pro tuto situaci.^[2][3][4] Všimněte si, že D je právo-operátor směny na Bergmanově prostoru: to znamená, že je dán

${ displaystyle [Df] (z) = zf (z)}$

Nuly Bergmanova polynomu ${ displaystyle p_ {n} (z)}$ odpovídají vlastní čísla principu ${ displaystyle n krát n}$ submatice D. To znamená, že Bergmanovy polynomy jsou charakteristické polynomy pro základní submatice operátora směny.

Reference

• Teschl, Gerald (2000), Jacobi operátoři a zcela integrovatelné nelineární mřížky, Providence: Amer. Matematika. Soc., ISBN  0-8218-1940-2

externí odkazy

• "Jacobiho matice", Encyclopedia of Mathematics, Stiskněte EMS, 2001 [1994]